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复合材料力学
第九章复合材料力学
材料力学的任务是研究均匀、各向同性材料在外力作用下的变形、受力和破坏的规律。
为合理设计构件提供有关强度、刚度和稳定性分析的基本理论和方法。
自20世纪40年代开始，现代复合材料得到了飞速发展，这种由两种或两种以上组分材料复合而成的多相材料，其物理、化学、力学等性能，满足了任何单一材料都难以满足的性能要求。
然而，这种复合材料在外力作用下的变形、受力和破坏的规律已不同于像传统金属材料那样的规律，因此复合材料力学就是研究这种新型的材料在外力作用下的变形、受力和破坏规律，为合理设计复合材料构件提供有关强度、刚度和稳定性分析的基本理论和方法。
本章介绍的复合材料力学是以纤维和塑料组成的纤维增强复合材料为主要对象的，主要介绍连续纤维增强复合材料在外力作用下的变形、受力和破坏的规律。
9.1各向异性体弹性力学基础传统的金属材料一般看作是各向同性体，通常在弹性范围内研究其变形和受力采用的是各向同性体弹性力学。
然而纤维增强复合材料最常用的是层合板结构形式，即由纤维和基体组成一种铺层（或称单层），并以不同方向层合而成一种多向层合板（如果同一种铺层都处于同一方向称为单向层合板）。
这种层合板成为复合材料结构件的基本单元，而铺层是层合板的基本单元。
因此本章介绍复合材料的刚度与强度，是从介绍铺层的刚度与强度开始，然后介绍多向层合板的刚度和强度。
铺层是由无纬布或交织布经预浸胶处理并按实际结构件的形状及构成多向层合板所规定的方向进行铺设，然后加温（或常温）固化制成。
所以铺层、层合板和复合材料结构件是一次完成的一般的铺层（无论是无纬布或交织布形成的）是正交各向异性的，即具有两个相互垂直的弹性对称面。
因此复合材料不同于金属材料，它具有各向异性的弹性特性，为此首先要对各向异性体弹性力学作一简要介绍。
各向异性体弹性力学与各向同性体弹性力学的主要差别，仅在于应力-应变关系的不同，而解决弹性力学问题还需涉及的平衡方程、几何方程、协调方程和边界条件等，则完全相同。
这是由于在这里，假设铺层也是连续的、均匀的（不考虑铺层组分材料各自的性能差别及其相互作用，而将两相材料的影响反映在平均的表观性能上）、线弹性的和小变形的。
所以，
本节只对各向异性体弹性力学的应力-应变关系作简单的介绍
9.1.1各向异性体的
应力-应变关系
一般情况
嗟三堆应力状怂的应力分険
一般情况下，均匀连续体中的任意一点所取出的单元体具有图9-1所示的三维应力状态。
一点的应力态由6个应变分童所确定。
由于将铺层看作是均匀的、连续的，且在线弹性、小变形情况下，应力与应变可以取如下线性关系式，称为应变-应力关系式为或改写成应力-应变关系式为式（9-1）和式（9-2）可分别简写成或分别简写成张量形式为其中Sij称为柔量分量，Cij称为模量分量。
显然，模量分量构成的矩阵与柔量分量构成的矩阵是互逆的，即
模量分量与柔量分量称为弹性系数。
各向异性体的弹性系数共有36个。
实际上，独立的弹性系数只有21个，因为模量或柔量存在对称性，即
Cij=CjiSij=Sji
F面给予简要的说明。
（9-8）
根据线弹性假设，各向异性弹性体在受到应力而引起应变时，所储存的单位体积的弹性应变能w为这是用应变分量来表示的单位体积的弹性应变能，是"i的单值连续函数，则dw为w的全微分可表达为另一方面，单位体积上的应力已，二2，…，匚6在应变'I,乙，…，二有微小变化d；，d；，…，几时，则此单位体积的应变能增量dw为
将式（9-10）与式（9-11）比较，可得于是由式（9-2）得
由式（9-13）对不同的应变再取一次导数，得一般来说，
因为函数对两个变量求导时，与求导的次序无关，即所以，
同理也可证明，
可见模量分量和柔量分量的矩阵都是对称的，也就是说，独立的弹性系数实际只有21个。
当铺层在任意坐标系卿：
下时（如图9-2所示），其应力应变关系即为此情况。
有一弹性对称面情况
当xoy面为弹性对称面时，将垂直于弹性对称面的方向称为材料主方向，或称为弹性主轴，此时z轴即为弹性主轴。
在存在一个弹性主轴的情况下，利用弹性主轴方向改变弹性性能不变的原理可以证明式（9-1）和式（9-2）中的下列系数为零因而得到有一弹性对称面情况的应力-应变关系式为或应变-应力关系式为式（9-16）和式（9-17）中，独立的弹性系数减少为13个。
当铺层面为xoy坐标面．坐标z轴为垂直于铺层面的坐标时，则xoy平面为弹性对称面，z轴为弹性主轴时（如图9-3）,其应力-应变关系即为此情况。
正交各向异性的情况正交各向异性系指有三个互相垂直的弹性对称面（可以证明，具有两个互相垂直的弹性对称面必存在另一个与之垂直的弹性对称面），也即有三个互相垂直的弹性主轴．同样利用弹性主轴方向改变弹性性能不变的原理可以证明式（9-16）和式（9-17）中的下列系数为零由于垂直于弹性对称面的方向为材料主方向，本节情况的坐标也正好设在三个材料主方向上，根据一般的习惯，材料主方向采用l,2,3，故改用坐标系
1,2,3,弹性系数的上方也不加“-”，故得正交各向异性悄况的应力应变关系式如下：
或应变-应力关系式为式（9-20）和式（9-21）中，独立的弹性系数减少为9个。
当铺层的三个相互垂直的材料主方向以1,2,3为坐标时（如图9-4所示），其应力一应变关系即为此情况。
横向各向同性的情况
若2-3坐标面为各向同性面，即在这个平面的一切方向，弹性性能均相同，则称为横向各向同性的情况。
在此情况下利用在2-3面各向同性时有关弹性系数之间的关系，可得如下关系所以横向各向同性情况的应力-应变关系式在式（9-20）的基础上变为或在式（9-21）的基础上应变-应力关系式变为在式（9-24）和式（9-25）中，独立的弹性系数减少为5个。
铺层可以由无纬布或交织布制成的，前面介绍的几种情况，无论是无纬布或交织布形成的铺层都适用。
然而横向各向同性情况，一般只适用于无纬铺层的情况，当无纬布铺层的纤维方向为1方向时，其应力-应变关系即为此情况。
各向同性的情况
若为各向同性的情况，在横向各向同性情况基础上可得如下关系所以各向同性情况的应力-应变关系式在式（9-24）的基础上变为或在式（9-25）的基础上应变-应力关系式变为
由连续纤维增强塑料制成的铺层很难成为各向同性的。
即使在铺层面内可制成具有各向同性弹性性能的，但垂直于铺层方向的弹性性能一般是不与之相同的。
通常，随机分布的非连续纤维增强塑料有可能成为具有各向同性性能的。
9.1.2各向异性体的工程弹性常数
上一节讨论各向异性体应力－应变关系时出现的是用模量分量和柔量分量来表达的弹性系数，工程上还常用工程弹性常数来表达。
工程弹性常数是由简单试验（即单轴试验和纯剪试验）测得的，他们是简单试验应力－应变关系的系数。
所以它们在描述各向异性体材料刚度性能的物理意义上是比较清楚的。
以正交各向异性情况为例，根据单轴试验和纯剪试验可以确定工程弹性常数与柔量分量之间有如下关
系
根据式（9-8）可以得到若用工程弹性常数来表示柔量分量矩阵，则可写成由式（9-35），并考虑到[C]=[S]」，可得模量分量与工程弹性常数之间有如下关系
工程弹性常数的取位范围
各向异性体材料的工程弹性常数之间的关系是较为复杂的。
为了避免用各向同性体材料的工程弹性常数的取值概念简单地套用到各向异性体材料，因此需给出各向异性体材料的取值范围。
现仍以正交各向异性情况为例，根据不考虑变形过程中动能和势能的损失，依据能量不灭原理可以推得工程弹性常数的取值范围如下也有将式（9-37）连同式（9-34）称为正交各向异性体材料的限制条件。
9.1.3各向异性体弹性系数的转换公式
各向异性体弹性系数的转换公式是指弹性系数在各向异性体处于不同坐标系下所显示的弹性系数之间的关系式。
而弹性系数是应力一应变关系式的系数，因此首先要给出应力转换公式和应变转换公式。
应力转换公式
如图9-5所示，oxyz为原坐标系，ox'y'z'为新坐标系，两坐标系之间的方向余弦，即各坐标轴之间夹角的弦由表9-1所示。
据此，任何一点的坐标有如下的转换关系。
根据一点的应力状态和截面法求斜截面上应力的平衡关系，再利用上述坐标转换公式可以推得应力转换公式如下
应变转换公式
由于应变是几何量，所以利用几何关系就可推得如下的应变转换公式
利用式（9-39）和式（9-40）可以得到如下的弹性系数的转换公式
式中［可与司分别对应于x，y，z坐标系下的模量矩阵和柔量矩阵；C'与s'分别对应于x',y',z'坐标系下的模量矩阵与柔量矩阵，"1与［T］；分别由式（9-39）和式（9-40）给出，分别为应力转换矩阵与应变转换矩阵，［TLt与［T］T分别为它们各自的转换矩阵。
前已说明，各向异性体弹性力学与各向同性体弹性力学主要差别仅在于应力-应变关系的不同，所以较多地介绍了这方面的内容。
至于完整了解各向异性体弹性力学，还要给出平衡方程、几何方程、应变协调方程和边界条件等。
考虑到这涉及结构分析，故在第十章再作介绍。
9.2复合材料的刚度
本节介绍复合材料的刚度是指铺层的刚度和层合板的刚度。
由于层合板的刚度是在已知铺层刚度的基础上分析的，因此先介绍铺层刚度后叙述层合板刚度。
9.2.1铺层的刚度
在工程上，通常层合板的厚度与结构的其它尺寸相比较小，因此，在复合材料分析与设计中通常是将铺层假役为平面应力状态，即认为
只考虑：
x，:
y，xy等面内应力分量。
对于这种平面应力状态情况，9.1.1节的应力-应变关系将得到较大的简化。
铺层的正轴刚度
铺层材料主方向的刚度称为铺层的正轴刚度。
铺层在正轴下平面应力状态即为所以式（9-20）的应力-应变关系可简化为式中Qij称为正轴下的平面应力状态模量，其与式
（9-20）中的Cij有如下关系式而式（9-21）的应变-应力关系式，在平面应力状态下,其柔量分量不变，即类似于式（9-8），同样存在对称性，即
铺层在正轴下平面应力状态时单轴应力或纯剪应力所得应力-应变关系的系数即为铺层的正轴工程弹性常数。
与式（9-30）至式（9-33）类似推得另外，与式（9-34）类似存在关系式若用正轴工程弹性常数来表示正轴柔量分量矩阵，则可写成由式（9-51），并考虑到[Q]=[S]-1，可得平面应力状态下正轴模量分量与工程弹性常数之问有如下关系类似于式（9-37），在平面应力状态下正轴工程弹性常数的取值范围为式（9-53）连同式（9-50）称为正交各向异性体材料在平面应力状态下的限制条件。
综上所述，铺层在三维情况下的正轴刚度有三种表达形式，式（9-20）给出模量分量Cij（i,j=1,2,3,4,5,6），式（9-21）给出柔量分量
Sij（i,j=1,2,3,4,5,6），以及式（9-30）至（9-33）
给出工程弹性常数；而铺层在平面应力状态下的正轴刚度也有三种表达形式，式（9-45）给出的模量分量Qij（i，j=1,2,6），式（9-47）给出的柔量分
量Sij（i，j=1,2,6），以及式（9-49）给出的工程弹性常数。
事实上，铺层的模量分量是Cij，而
Qij是在平面应力状态下的模量分量，它们之间有关系式（9-46），故Qij也称为折算模量分量。
一般铺层是正交各向异性的，它们有五个工程弹性常数，见式（9-49），由于有关系式（9-50），所以独立的工程弹性常数是4个，实际侧试时只要测4个即可。
在工程实际中，还常遇到一种纵向和横向弹性性能相同的铺层，如由1:
1经纬交织布形成的铺层就是如此，它们还存在如下关系式：
这种铺层称为正交对称铺层。
这种材料的独立弹性常数只有3个。
在工程实际中，还可遇到一种铺层面内任意方向弹性性能均相同的铺层，如由相同的三股纱彼此相隔60°编织而成的铺层就是如此，它们又存在如下关系式：
这种铺层称为准各向同性铺层。
这种材料的独立弹性常数只有2个，如同金属材料。
但垂直于铺层方向的弹性性能并不与铺层面内的弹性性能相同。
铺层的偏轴刚度
铺层的偏轴刚度为铺层非材料主方向的刚度。
如图9-6所示，1,2为材料的主方向，x，y向称为偏轴向。
两者的夹角：
称为铺层角，规定x轴到1轴，逆时针方向为正，顺时针方向为负。
铺层的偏轴刚度是由偏轴下的应力-应变关系确定的。
它是通过应力与应变的转换，将正轴下的应力-应变关系（或应变-应力关系）变为偏轴下的应力-应变关系（或应变-应力关系）得到的。
1、应力转换公式
在如图9-6所示的情况下，式（9-39）的应力转换公式就可化简为这是由偏轴应力求正轴应力的公式。
复合材料中的转换通常主要是在正轴与偏轴之间的转换。
如果由正轴应力求偏轴应力则需用如下公式：
这里m，n同式（5-57）。
这里还需说明的是，上述约定应力的符号规则是，正面正向或负面负向均为正，否则为负。
所谓面的正负是指该面外法线方向与坐标方向同向还是反向。
所谓向的正负是指应力方向与坐标方向同向还是反向。
图9-6示出的应力分量均为正。
2、应变转换公式
在如图9-6所示的情况下，式（9-40）的应变转换公式就可化简为
式中mn同式〔9-57）。
同样，由正轴应变求偏轴应变的公式为
这里也需说明的是，上述约定应变的特号规则是，线应变伸长为正，缩短为负，剪应变是与两个坐标方向一致的直角变小为正，变大为负。
3、铺层的偏轴应力-应变关系
如果将式（9-58）中的正轴应力用式（9-45）代人，然后再将正轴应变用式（9-59）代入，即可得如式
（9-61）所示的偏轴应力应变关系。
该式还可简写成
式中，Qij（i,j=l,2，6）称为偏轴模量分量。
4、偏轴模量转换公式
如果将式（9-61）中的系数矩阵作出乘法运算，并与式（9-62）中的系数矩阵对应起来，即可得如式
（9-63）所示的由正轴模量求偏轴模量的模量转换公式。
式中，m=cosr，n=sinr与前面所述相同。
这里Q“=Q»,即偏轴模量仍具有对称性，所以式（9-63）中偏轴模量只需列出6个。
图9-7与图9-8分别给出碳/环氧材料T300/5208的｛Q｝的分量随：
的变化曲线。
图中所有值都是关于对其最大值作正则化的。
5、铺层的偏轴应变-应力关系
如果将式（9-60）中的正轴应变用式（9-57）代入，然后再将正轴应力用式（9-56）代入，即可得式
（9-64）所示的偏轴应变一应力关系。
式（9-64）简写成
式中，Sij（i,j=1,2,6）称为偏轴柔量分量。
6、偏轴柔量转换公式
如果将式（9-64）中的系数矩阵作出乘法运算，并与式（9-65）中的系数矩阵对应起来，即可得如式
（9-66）所示由正轴柔量求偏轴柔量的柔量转换公式。
式中，m=cos），n=sinv也与前面所述相同。
这里Sij=Sji，即偏轴柔量仍具有对称性，所以式（9-66）中偏轴柔量只需列出6个。
7、偏轴模量与偏轴柔量之间的关系
与正轴时模量与柔量存在互逆关系一样，
根据矩阵的求逆规则，可得
8铺层的偏轴工程弹性常数
铺层的偏轴工程弹性常数是铺层在偏轴下由单轴应力或纯剪应力确定的刚度性能参数。
禾U用式（9-65）给出的偏轴应变-应力关系，求偏轴向时单轴应力或纯剪应力下的应变-应力关系，即可求得偏轴工程弹性常数与偏轴柔量之间的关系
由于柔量分量的对称性，Sij=Sji,所以偏轴工程弹性常数具有如下关系式
9、偏轴工程弹性常数的转换关系
偏轴工程弹性常数与正轴工程弹性常数之间不能得到象式（9-63）那样的模量转换公式和式（9-66）那样的柔量转换公式，但可以利用式（9-69）和柔量转换公式（9-66）以及正轴柔量与正轴工程弹性常数之间的关系式（9-49）得到如下由正轴工程弹性常数求偏轴工程弹性常数的转换关系：
式中，m=cosr，n=sinr。
由于偏轴工程弹性常数由4个正轴工程弹性常数确定，具体材料不同，其4个常数一般均会有所变化，因此必须针对具体材料画出其偏轴工程弹性常数随：
的变化曲线，才能了解其偏轴工程弹性常数的变化规律。
图9-9与图9-10分别给出碳/环氧材料T300/5208的各偏轴工程弹性常数随：
的变化曲线。
图中的所有值对其最大值作正则化的。
弹性模量Ex在纤维方向是最大的，但随偏轴方向增大很快下降。
这种T3OO/5208材料的纵向和横向模量的比值要大于12。
剪切模量Gxy变化很小，并且在八-45处达到它的最大值。
泊松比和拉剪耦合系数xy,x变化很大。
泊松比总是正的，而xy,x可正可负，随偏轴方向而定。
对于T300
/5208,泊松比从0.372的最大值至0.019的最小值范围内变化。
拉剪耦合系数xy,x变化很大，最大值和最小值则分别为在_120处和_2.140。
9.2.2层合板的刚度
本节介绍层合板刚度是建立在经典层合理论基础上，即假设层合板由连续、均匀、正交各向异性的铺层构成的一种连续性材料，并假设各铺层之间是完全紧密粘接的，即忽略层间的影晌，变形符合直法线假设，且限于线弹性、小变形情况，各铺层按平面应力状态计算，并忽略.。
通常在复合材料设计中这样处理是合适的。
层合板的应变
根据直法线假设，层合板中面法线变形后仍然为直线并垂直于变形后的中面，而且中面法线的长度不变。
在这假设下，离中面任意距离z的应变；x，‘，xy为
中面应变与在x，y向的中面位移U0，Vo有如下关系：
而中面曲率与在z向的中面位移w有如下关系：
层合板的内力
层合板的内力包括面内力和弯矩（包括扭矩），见图9-11（xoy面在层合板中面处）。
它们的定义如下
层合板的内力-应变关系式
综合上述内力和应变即可给出层合板的内力应变关系式：
式中，A,B和D中各分量由下式给出：
Aij称为面内刚度系数，Bij称为耦合刚度系数，Dij称为弯曲刚度系数。
Aij=Aji，Bij=Bji，Dij=Dji。
式（9-83）还可相反地表示成：
若铺层的铺设顺序关于中面不是对称的，则[B]阵不恒等于零。
弯曲和拉伸之间存在耦合作用。
例如设非对称层合板受有面内力｛N｝,则得其曲率为同样，仅受有弯矩｛M｝会得到中面应变：
特殊层合板
为了讨论方便起见，以下假定构成层合板的所有铺层由同一复合材料制成，且有相同的厚度。
1、对称层合板对称层合板从中面向上或向下观察各铺层方向，其铺设顺序是相同的，即关于中面是镜面对称的。
此时Bij恒等于零，故不存在拉-弯之间的耦合作用，即有于对称层合板，面内行为也可写成如下形式：
弯曲行为可写成如下形式：
式中d---对称层合板的考曲柔度矩阵，
d=D-1。
如同定义铺层的工程弹性常数一样，利用单轴层合板应力或纯剪层合板应力可定义对称层合板的面内工程弹性常数。
为此需先设这里带*的层合板面内力称为正则化面内力，即为层合板应力，它们是应力的量纲。
这样，就可得到类似于铺层工程弹性常数的对称层合板面内工程弹性常数
（右上角冠以0以示与铺层的区别）与面内柔度系数之间的关系式：
2、对称均衡层合板
对称均衡层合板是“铺层数和~铺层数为相同的对称层合板。
在这种情况Ai6和A系数为零。
因为Qw和Q26关于r是奇函数（见图9-8），它的总和为零。
所以,拉伸和剪切之间无耦合作用。
均衡层合板还可以包含任意量的0°和90°层。
因为16分量和26分量对于这些铺层方向恒等于零。
3、对称均衡斜交层合板
对称均衡斜交层合板是仅由相同数量的“铺层和〜铺层的对称均衡层合板。
这类层合板能清楚地给出铺层方向对层合板性能的影响。
图9-12-图9-14给出了这类层合板工程弹性常数随铺层方向的变化。
4、对称正交层合板
对称正交层合板是指只含有00和900铺层的对称层合板。
这种层合板除［B］矩阵为零外，在［A］和［D］矩阵中的所有16和26分量均为零，因此层合板无论在拉伸和弯曲时均为正交各向异性的，也即面内变形的拉伸与剪切之间无耦合作用，弯曲变形时弯曲与扭转之间无耦合作用。
5、准各向同性层合板
准各向同性层合板是指面内各个方向的刚度为相同的对称层合板。
这种层合板的弯曲刚度不是各向同性的。
通常，由铺层体积含量相同的m个铺层组（对称层合板的m以层合板的一半计数），且m_3时，将其按间隔为n/m的铺层方向铺设成的对称层合板即为准各向同性层合板。
无论m为多少，同一种材料组成的准各向同性层合板，其面内刚度性能是相同的。
6、一般n/4层合板
各个铺层均按00,900，+450,-450方向的一种或几种铺设的对称层合板称为一般n/4层合板。
一般n/4层合板是目前工程上主要应用的一类层合板。
事实上，前面讨论过的许多层合板，如0°,900,+4£-450的单向层合板，以及-45°的对称均衡层合板，-450的对称均衡斜交层合板，对称正交层合板，按n/4铺设的准各向同性层合板均属此类层合板。
这类层合板的不同铺设情况，即各定向层包含不同体积含量所得的面内工程弹性常数的变化规律的例子，见图9-15〜图9-17。
平行移抽定理前面给出的层合板刚度系数都是对层合板中面而言的，因此可称为中面刚度系数。
实际结构计算刚度时对层合板而言往往是指非中面的刚度系数，对此可利用平行移轴定理来计算。
平行移轴定理还可用于在已知各铺层模量下计算层合板的中面刚度系数。
层合板的平行移轴定理是指，层合板相对于平行层合板中面的面（见图9-18）的层合板刚度系数与中面刚度系数之间具有如下关系：
9、3复合材料的强度上一节介绍复合材料的刚度，指铺层的刚度与层代板的刚度。
本节介绍复合材料的强度也指铺层的强度与层合板的强度。
9.3.1铺层的强度
铺层的强度也是确定层合板强度的基础。
铺层的强度问题主要包括铺层的强度指标、失效准则和计算方法。
铺层的强度指标有5个，称为基本强度。
铺层的失效准则较多，将在9.4节专题介绍，本节仅介绍一种较常用的方法，便于对铺层强度与层合板强度的
完整论述。
铺层的强度计算方法，介绍一种采用强度比方程的方法。
铺层的基本强度各向同性材料中的强度指标是用于表征材料在简单应力状态下的强度。
在平面应力状态下的铺层具有正交各向异性的性能，而且铺层的失效机理在铺层纤维向和垂直纤维向，以及面内剪切向是不同的，且铺层纤维向和垂直纤维向在拉和压时的失效机理也是不同的，所以铺层的强度指标需给出铺层在面内正轴向单轴应力和纯剪应力作用下的极限应力，称为铺层的基本强度，也称为复合材料的基本强度。
其具体定义如下：
纵向拉伸强度：
铺层或单向层合板刚度较大的材料主方向作用单轴拉伸应力时的极限应力值，记作Xt；
纵向压缩强度：
铺层或单向层合板刚度较大的材料主方向作用单轴压缩应力时的极限应力值，记作Xc；
横向拉
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