成考专升本高等数学二重点及解析精简版.docx

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成考专升本高等数学二重点及解析精简版

高等数学

（二）重点知识及解析（占80分左右）I、函数、极限

一、基本初等函数（又称简朴函数）：

（1）常值函数：

y=c

（2）幕函数：

y=（3）指数函数：

y=/（“〉0,且dH1）

（4）对数函数：

y=\ogax（u）0,且oHl）

（5）三角函数：

y=sinx>y=cosx>y=tanx»y=cotx

（6）反三角函数：

y=arcsinx,y=arccosx>y=arctanx»y=arccotx

二、复合函数：

要会判断一种复合函数是由哪几种简朴函数复合而成。

例如：

|y=lncosx是由y=ln“,u=cosx这两个个简朴函数复合而成.例如：

|y=arctane'x是由y=arctanu>u=e和y=3x这三个简朴函数复合而成.该某些是背而求导核心！

三、极限计算

1、运用函数持续性求极限（代入法）：

对于普通极限式（即非未定式），只要将凡代入到函数表达式中，函数值即是极限值，即lim/（x）=/（x0）.

XT心

注意：

（1）常数极限等于她自身，与自变量变化趋势无关，即limC=Co

（2）该办法使用前提是当x->x0时候，而xts时则不能用此办法。

例lim4=4,lim-3=-3,Iimlg2=lg2,lim/r=/r,

A—»-XA—>-l.TfXJ〜丸

•1弋

2.未定式极限运算法

（1）对于+未定式：

分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将代入后函数值即是

极限值。

解：

原式二lim-V~3）（V+3）

23x-3

（2）对于三未定式：

分子、分母同步除以未知量最髙次幫，然后运用无穷大倒数是无穷小Q0

这一关系进行讣算。

（1）定义：

设a和0是同一变化过程中两个无穷小，如果limE二1,称0与a是等价无a

穷小，记作0〜a・

（2）定理：

设a、a、卩、0’均为无穷小，又a〜a,卩〜卩、且lim£存在a1

（3）惯用等价无穷小代换：

当xt*0时，sinx~x,tanx~x

例1：

|当x—»0时，sin2x〜2x,tan（-3x）〜-3x

例2：

|极限limS"J’二lim—=lim二二二sin2兀用2x等价代换

g（）5xgo5xz55

.tan3y3v

tan3x用3工等价代换

例3：

极限lim-=lim—=lim3=3

.V—>0xv-M）xx-><）

II、一元函数微分学

一、导数表达符号

（1）函数/（Q在点％处导数记作：

/（x0）,y\或—I

（2）

函数/（x）在区间Q,b）内导数记作:

运算公式（设U,V是关于X函数，求解时把已知题目中函数代入公式中U和V即可，代

入后用导数公式求解•）

（1）（M±V）=11±v

（2）（«•v）=uv+uv特别地（Cu）=Cu（C为常数）

例1：

|已知函数y=x"+3cosx—2,求y.

解：

y=（^4）+3（cosx）-2=4x3-3sinx-0=4.r3-3sinx例东1已知函数f（x）=x2\nx,求厂（x）和f（e）.

解：

/（a）=（x2）lnx+x2（lnx）=2x-lnx+x2--=2x-lnx+x

因此fXe）^2eAne+e=2e+e=3e（注意：

lne=l,lnl=O）亟訂已知函数f（x）=—^,求f\x）.

1+疋

1+x2（1+F）

解：

八斫⑴（1+十）—彳1+十）（1+十）—id

4.复合函数求导

1、方法一：

亟|求复合函数y=sinx2导数.

（1）一方面•判断该复合函数是由哪几种简朴函数复合而成.如y=sinx2由y=sin"和u=x2这两个简朴函数复合而成

（2）甩导数公式求出每个简朴函数导数.

（3）每个简朴函数导数乘私即为复合函数导数；注意中间变量要用原变量x代替回去.

dyducc2

—•——=2xcosii=2xcosdudx

2.方法二（直接求导法）:

复合函数导数等于构成该复合函数简朴函数导数乘积。

如果对导数公式熟悉，对复合

函数过程淸晰，可以不必写出中间变量而直接对复合函数丛处隹里求导.

|例1：

|设函数y=cos（—3x）,求y・

解：

y=（cox（-3x））=-sin（-3x）•（一3x）二一sin（-3x）•（-3）=3sin（-3x）

例2：

设函数y=求y・

注意:

一种复合函数求几次导,取决于它由几种简朴函数复合而成。

5.高阶导数

1、二阶导数记作：

〉，”，f\x）或孕

dx~

咱们把二阶和二阶以上导数称为蕊阶.足数：

2、求法：

（1）二阶导数就是对一阶导数再求一次导

（2）三阶导数就是对一阶导数求两次导，对二阶导求一次导

例1：

|已知y=5sinx,求y.

・

解：

Ty=5cosx,:

.y=-5sinx

例2：

|己知y=e2x,求y|A=0.

即几=。

二4

六、微分求法：

（1）求出函数y=f（x）导数f\x）.

（2）再乘以dx即可.即dy=f\x）dx.例1：

|已知y=Inx2,求dy.

解：

•・•y=（lnx2）'=-l-（x2）'=-l--2x=|-

••dy——d.\

例2：

|设函数y=xJ・cosx,求

解:

Ty二（x4）cosx+xA（cosx）=4x3cosx-x4sinxdy=（4x‘cosx-xsinx\dx

川、二元函数微分学

1.多元函数定义：

由两个或两个以上自变量所构成函数，称为多元函数。

其自变量变

••••

化范畴称为泄义域，普通记作

•••

例如：

二元函数普通记作：

z=/（x,y）t（x,y）eD

2.二元函数偏导数

1、偏导数表达办法:

（1）设二元函数2=/（坨刃，则函数z在区域D内对x和对y偏导数记为:

（2）设二元函数？

=/（“*）,则函数z在点（兀,儿）处对％和对y偏导数记为^

2、偏导数求法

（1）对x求偏导时，只要将y当作是常量，将x当作是变量，直接对兀求导即可.

（2）对y求偏导时，只要将x当作是常量，将y当作是变量，直接对y求导即可.如果规泄函数在点（如,％）处偏导数，只规立出上述偏导函数后将％和儿代入即可.丽一|已知函数z=求兰和二.

dxoy

解：

—=3x2y-2y2,—-4xydxdy•

亟訂已知函数z=x2sin2y,求字和竿.

解：

—=2xsin2ys—=2x2cos2y

dxdy

三、全微分

$7力7

K全微分公式：

函数z=/（x,y）在点（x,y）处全微分公式为:

dz=—dx+—dydxdy

2、全微分求法:

（1）.先求出两个一阶偏导数上和一.

（2）.然后裔入上述公式即可.dxoy

例1：

I设函数z=sin（x・y）+3/+y-l,求dz・

dzdz

解:

T—=ycos（x・y）+6x,—=xcos（x・y）+1dx'dy

dz.=^dx+^~dy=[ycos（x•y）+6x]dx+[xcos（x•y）+1同例2：

|设函数z=/"v,求虫.

解:

V—=2e2x^y,—二孑"•••dz=—dx+—dy=2e2x^ydx+e2x^dy

dxdydxdy

四、二阶偏导表达办法和求法：

（1）—（―）==f"„（x,y）=z"xv两次都对X求偏导

dxdxdx~

ddzd2z«.

（2）「（「）二=-二八、（兀刃二j……先对x求偏导，再对y求偏导

oyoxoxoy

（3）—（―）=-^-==……先对y求偏导，再对％求偏导

dxdydydx

dd?

7nK

（4）「

（一）二仝二/、.（忑刃二zv>.……两次都对y求偏导

dyoyoy^

可见二元函数二阶偏导琴四林，它们都是函数。

在求二阶偏导时候一左要注意对变量枣

导顺序（写在符号前面变量先求偏导）・

•••丽一|设函数z=x3y2-3xy3-xy+\,求匸，上二，上二和空.

11ax2dxoydydxdy2

q2z

=6x2y-9v2-H—二2疋一18小

解:

•••££=3x2y2一3y?

-厂—=2x3y-9xy^2一x饭•6y

/QC2Z.9C2Z「c0（&兀

得亦"b，硏皿》9—l,—

&乙・

=—sinx

dxdy

解：

V—=-ysinx

IV、一元函数积分学

一、原函数定义：

设F（x）是区间I上一种可导函数，对于区间I上任意一点X,

均有F\x）=/（x）,则称F（x）是f（x）在区间I上一种原函数.

例1：

|（sinx）=cosx,因而sinx是cosx—种原函数，cosx是sinx导数.

由于（sinx+c）=cosx,可见只要函数有一种原函数，那么她原函数就有无穷各种.匝訂设/（x）一种原函数为£，求f（x）.

11,/1\1

解:

由于一是f（x）-种原函数，即F（X）=-9因此f（X）=F（X）=-二—r・

XX\xJ

二.不定积分

（一人定义:

咱们把/（X）脈直愿•敢数•称为/（X）在区间I上不左积分，记作:

Jf（x）dx=F（x）+C（其中F（x）=/（x））

注意：

不左积分是原函数全体.因而计算成果常数C勿忘!

（二入不定积分性质

⑴J[/（x）土g（x）}h・=\f（x）dx±Jg（x）dx

2sinAz£r=-2cosx+C

<2）^kftMdx=k^f（x）dx（其中k为常数）

<1）

J（）〃x=C

（2>

⑶

r严

\xadx-+C（QH1）

Ja+\

（4>

⑸

jVdx=K+C

（6>

<7）

Jsinaz£v=-cosx+C

<8>

⑼

[=arctanx+C

J\+x2

（三入基本积分公式（和导数公式同样,必要熟记）

J丄必=ln|x|+C

cosxclx=sinx+C

^kdx=kx+C（k为常数）

丽~|J_3dx=_3牙+C

f]=arcsinx+C

f-vtZx=-—+C

又如：

|cos~}xdcosx=In|cosx|+C

（四入不定积分计算

K直接积分法：

对被枳函数进行恒等变形，并用积分性质和积分公式进行积分办法。

例1：

|J（F+1）=j（x4

x4+2x2+1=JxAdx+2jxvZr+jJx=—+—x?

+x+C

例2：

J（1一2sinx+—）dx=jkZv-2Jsinxdx+3

Lx=x+2cosx+31n|A|+C

2、凑微分法

（1）合用前提：

如果被积函数是两个函数相乘（或相除）或者被积函数是复合函数（普通为较为简朴复合函数）状况，此时可以考虑用凑微分法。

（2）凑微分法解法环节

••

〈1〉凑微分〈2〉换元〈3〉

直接积分法〈4〉反换元

（1•凑微分）将xdx凑成d—x2

（2.换元）将F换元成"

……（3.直接积分法）求出"不上积分

……（4.反换元）"再用疋反换元

……（1•凑微分）将丄心凑成Jinx

（2•换元）将lnx换元成"

（3•直接积分法）求出“不左积分

二J+C

二丄严2+c

……（3.直接积分法）求出“不泄积分

（4.反换元）“再用3x+2反换元

注意:

凑微分时要注意凑完微分后先后变量要统一！

如果能纯熟掌握换元过程,此时就可以

•••

不必写出中间变量,而直接进行积分。

（将心凑成*/（3x+2））

（将xdx凑成£〃（1+））

例4：

|sin\vcosxdx-Jsin"xdsinx-■+C

訂|Xyjx+^dx=-|Jl+X「/（1+x2）=-（l+x2尸

3.分部积分法（考到概率为40%左右，要理解可参照重点解析“详细版”）

三.不定积分

（一）、定积分定义：

由曲边梯形面积引出左义公式

A=£/（x）Ja-（A为曲边梯形面积）

其中/（x）为被积函数，［“/"为积分区间，d为积分下限，〃为积分上限。

用定积分所要注意事项：

1、由于左积分是曲边梯形而枳，因而僅积分值一左是一种常数，因此对世积分求导，导数

值必为零。

2、当a二b时，£f（x）clx=0

因泄积分上限b>a,当b

（二入定积分计算

K变上限积分计算

（1）定义：

积分上限x为变量时是积分称为变上限积分，变上限积分是上限x函数,

记作0（工）=£'/⑴

（2）变上限积分导数：

（［/◎〃）=/（劝……将x代入到/⑴即可

例1：

I设/（X）=£sintdt,则/（x）=sinx.

2、牛顿一莱布尼茨公式

（1）公式：

如果F（x）是持续函数/⑴在［a,b］上一种原函数，则有

=ha=F（b）-F（a）

（2）由公式可知：

持续函数/W在［（/，列上年积令，.就罐/（x）—种原函数F（x）在［匕列

上增量（上限值减下限值）。

而持续函数/（X）不左积分，就是/（x）全体原函数（原函数背而加常数C）。

可见定积分和不定积分计算都是环绕求原函数进行。

航求泄积分^x2dx

解:

原式冷I冷气

7~3

例2：

求怎积分£2cos2xsinxdx

（将sinxdx凑成一〃cosx）

解:

原式二-£2cos2xdcosx=-

1）_1

3丿3

丽求泄积分［字厶

（将丄厶凑成dInx）

解：

原式二Jlnx〃lnx二£

In2xe\n2e

ln2l101

注意:

用凑微分法计算怎积分肘,在换元时,由于引入了新变虽:

故原变量枳分限要更换成

••••

新变量积分限;如不想更换积分限,可省略换元环节。

3.分部积分法（考到概率为40%左右，要理解可参照重点解析“详细版”）

附表：

几种特殊角三角函数值

2兀

-71

sinx

-1

COSX

逅

~2~

-1

-I

tanx

羽

不存在

cotX

不存在

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