垂径定理圆心角圆周角复习doc.docx
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垂径定理、
心角、
周角复习
—、知识点
1、旋转不变性：
圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是
中心对称图形，对称中心是圆心.
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.
2、轴对称：
圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴,
3、圆是轴对称图形，经过圆心的每一条都是它的对称轴。
（因为直径是线段，而对称轴是直线，
所以不能说“圆的对称轴是直径而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成：
“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线'：
）
4、、垂径定理：
垂直于弦的直径这条弦，并且弦所对的弧。
（这里的垂径可以是直径、
半径或过圆心的直线或线段，其本质是过“圆心《）
5、推论：
（1）平分弦（不是直径）的直径,并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过,并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径，眩且平分弦所对的另一条弧。
6、与圆有关的角
（1）圆心角：
顶点在圆心的角叫圆心角.
圆心角的性质：
圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
（2）圆周角：
顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角的性质，
%1圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
%1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的瓠相等.
%190°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.
%1如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
%1圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.
7、垂径定理及推论：
%1垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条或
%1平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条如
%1弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条如
%1平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦
20.（温州）（本题8分）如图，在正方形ABCD中,AB=4,0为对角线BD的中点,分别以OB,0D为直径作。
Oi,0O2.o“I7^^^
⑴求0201的半径；（/\
（2）求图中阴影部分的面积.
（第20题）
二、同步题型分析
1、关于垂径定理
例题1、如图，的半径ODJJ^AB于点C,连结A0并延长交。
。
于点E,连结EC.若AB=8,CD=2,则EC的长为（）
B
也2
例题1
【变式练习】2、如图，在。
。
中，OCJJ玄AB于点C,AB=4,OC=1,则0B的长是（）
例题2、的直径AB=12,CD是。
0的弦，CD1AB,垂足为P,且BP：
AP=1：
5,则CD的长为（）
O
例题2
*（相似）【变式练习】1、如图.RtAABC内接于。
0,BC为直径，AB=4,AC=3,D是弧AD的中点,CD与ABCF
的交点为E,则——等于（）
B
坂1
变强2
【变式练习】2如图，AB是。
0的直径，弦CD交AB于点E,且AE=CD=8,ZBAC=-ZB0D,则。
0的半径为
（）
【变式练习】3在半径为13的。
0中，弦AB〃CD,弦AB和CD的距离为7,若AB=24,则CD的长为（）
*（相似）例题3、如图，以M（-5,0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是0M±异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于C、D,以CD为直径的。
N与x轴交于E、F,则EF的R（）
【变式练习】1、已知。
0的直径CD=10cm,AB>00的弦,AB1CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长为（）
【变式练习】2如图所示，在圆。
0内有折线OABC,其中0A二8,AB二12,ZA=ZB=60°,则BC的长为
12
变式2
Bl
2关于圆周角、
III
心角:
【例题1】如图，弧AB是半圆，0为AB中点，C、D两点在弧AB上，且AD〃0C,连接BC、BD.若弧CD=62°,
则弧AD的度数为（）
例题1
【变式练习1】如图,
【变式练习2］如图,
半圆0的直径AB=10cm,弦AC=6cm,AD平分ZBAC,则AD的长为（）
AABC的外接圆上，AB,BC,CA三弧的度数比为12：
13：
11.自劣弧BC上取一点D,
过D分别作直线AC,直线AB的平行线，且交孤BC于E,F两点，则ZEDF的度数为（）
例题2】如图，AB,CD是。
0的弦，AB±CD,BE是。
。
的直径.若AC=3,则DE=.
*【变式练习1］如图，边长为1的小正方形网格中，。
。
的圆心在格点上，则NAED的余弦值是
【变式练习2】如图，矩形0ABC内接于扇形M0N,当CN=C0时，ZXMB的度数是
*（相似）【例题3】如图，在。
。
上有定点C和动点P,位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的
53
延长线交于点Q,已知：
。
。
半径为一，AC/BC二一，则CQ的最大值是（）
24
【变式练习1】如图，AB是。
。
的直径，弦BC=2cm,F是弦BC的中点，ZABC=60°.若动点E以2cm/s的
速度从A点出发沿着A-B-A方向运动，设运动时间为t（s）（0WtV3）,连接EF,当ABEF是直角三角形时，t（s）的值为（）
*（相似）【变式练习2】如图，已知。
。
的半径为1,锐角Z\ABC内接于00,BD1AC于点D,0M1AB于点M,则DC/BC的值等于（）
A.0M的长B.20M的长C.CD的长D.2CD的长
【变式练习3】如图，MN是。
O的直径，MN=2,点A在OO上，ZAMN=30°,B为弧线、AN的中点，P是直径MN±一动点，则PA+PB的最小值为（）
三、专题过关
1、如图所示，矩形ABCD与。
。
相交于M、N、F、E,若AM=2,DE=1,EF=8,则MN的R为（）
2、如图，点A,B是。
。
上两点，AB=10,点P是。
。
上的动点（P与A,B不重合），连接AP,PB,过点。
分别作0E1AP于E,OFJLPB于F,则EF二。
3、如图所示，00的直径AB和弦CD交于E,己知AE=6cra,EB=2cm,ZCEA=30°,求CD二—。
4、在圆柱形油槽内装有一些油.截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（）
6、如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为0,直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD〃AB,且CD=24m,0E±CD于点E.已测得DE/D0=12/13
14、
（1）求半径0D；
（2）根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？
*（相似）7、如图，已知。
。
的半径为1,锐角AABC内接于。
0,BD1AC于点D,0M1AB于点M,0M=-,
3
则CD/BC的值等于（）
7题图
6、（2013・绍兴）绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m,桥拱半径OC为5m,
则水面宽AB%（）
A.4mB.5mC.6mD.8m
四、收获与感悟
1.半径是圆中重要的线段，恰当地添加好这条辅助线，是解题的关键.
2.在圆中有关弦、弦心距、半径的问题常作的辅助线是连半径或作弦心距，常把垂径定理和勾股定理结合起来解题.利用方程思想解，是解决圆中有关计算最有效的方法.
3.求圆中与弦有关的线段长的基本方法:
（1）作弦心距，构造RtA；
（2）寻求图形之间的厕或全等，确定等量关系，建立方程.
4.角的转化途径：
弧的度数。
圆心角的度数。
圆周角的度数.
5.线段的转化途径：
同圆的半径相等.
课后作业
1.如图AB是。
0的直径，AC是弦，OD_LAB于0,交AC于D,0D=2,ZA=30°，求CD。
3、如图，AB是。
0的直径，且AD〃0C,若X5的度数为80°。
求CD的度数。
A
O
B
5、如图，弦CD±AB于P,AB=8,CD=8,。
。
半径为5,则OP长为
6、在OO中，弦CD与直径AB相交于点E,且ZAEC=30°,AE=lcm,BE=5cm,那么弦CD的弦心距
OF=cm,弦CD的长为cm。
7、矩形ABCD的边AB过OO的圆心，E、F分另"为AB、CD与＜30的交点，若AE=3cm,
AD=4cm,DF=5cm,则。
O的直径为多少？
I）F、C
8、。
。
的半径为10cm,两平行弦AC,BD的长分别为12cm,16cm,则两弦间的距离是（）
A.2cmB.14cmC.6cm或8cmD.2cm或14cm
10、如图，。
。
是MBC的外接圆，AO1BC于F,D为的中点，E是BA延长线上一点，ZDAE=1I4°,则ZCAD等于（
A.57°
B.38°
D.28.5°
y
B
M
y
A
C.33°11＞如图，OC经过原点且与两坐标轴分别交于点A与点B,点A的坐标为（0,4）,M是圆上一点，ZBMO=1200.求：
OC的半径和圆心C的坐标.
12、如图，BC是圆。
的直径，AD垂直BC于D,弧BA等于弧AF,BF与AD交于E,求证：
（1）AE=BE；
（2）若A、F把半圆三等分，BC=12,求AE的长。
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