人教版 学年初三上学期期末考试数学试题及答案.docx
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人教版学年初三上学期期末考试数学试题及答案
2019-2020 学年初三上学期期末考试数学试题
一、选择题（每题 3 分，满分 30 分）
1．下面计算正确的是（）
A．B．C．D．
2．已知△ABC∽△DEF，且相似比为 1：
，则ABC 与△DEF 的面积比为（）
A．1：
4B．4：
1C．1：
2D．2：
1
3．实数 a 在数轴上的位置如图所示，则
化简后为（ ）
A．7B．﹣7C．2a﹣15D．无法确定
4．关于 x 的方程 2x2+mx+n＝0 的两个根是﹣2 和 1，则 nm的值为（）
A．﹣8B．8C．16D．﹣16
5．如图，一辆小车沿坡度为的斜坡向上行驶 13 米，则小车上升的高度是（）
A．5 米B．6 米C．6.5 米D．12 米
6．如果一元二次方程 2x2+3x+m＝0 有两个相等的实数根，那么实数 m 的取值为（）
A．m＞B．mC．m＝D．m＝
7．如图，菱形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，将△CDE 沿 CE 折叠后，点 A 和点 D 恰好重合，若
菱形 ABCD 的面积为 4，则菱形 ABCD 的周长是（）
A．8B．16C．8D．16
8．如图，在△ABC 中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝
，将ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的
阴影三角形与原三角形不相似的是（）
A．B．
C．D．
9．某校举行“激情五月，唱响青春”为主题的演讲比赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁
四名同学，则甲、乙同学获得前两名的概率是（）
A．B．C．D．
10．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为 1，点 A、B、O 都在格点上，则∠AOB 的正
弦值是（）
A．B．C．D．
二、填空题（每题 3 分，满分 18 分）
11．如果 x：
y＝1：
2，那么＝．
12．设 m、n 是一元二次方程 x2+2x﹣7＝0 的两个根，则 m2+3m+n＝．
13．如图，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，位似中心点是 O，
＝ ，则 ＝ ．
14．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样 一组数：
1，1，2，3，
5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．现以这组数中
的各个数作为正方形的边长值构造正方形，再分别依次从左到右取 2 个、3 个、4 个、5
个…正方形拼成如上长方形，若按此规律继续作长方形，则序号为⑦的长方形周长
是．
15．如图，把 n 个边长为 1 的正方形拼接成一排，求得 tan∠BA C＝1，tan∠BA C＝ ，tan
12
34n
的代数式表示）．
16．如图，在矩形 ABCD 中，∠B 的平分线 BE 与 AD 交于点 E，∠BED 的平分线 EF 与 DC 交于
点 F，若 AB＝9，DF＝2FC，则 BC＝．（结果保留根号）
三.解答题（本大题共 6 题，满分 72 分）
17．（10 分）
（1）计算：
（2）解分式方程：
18．（6 分）如图是从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是黑桃1，2，3，4 和方块 1，2，3，
4，将 它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张，那么摸出的两张牌的牌
面数字之和等于 5 的概率是多少？
请你用列表法加以分析说明．
（
19． 8 分）已知双曲线 y＝ 和直线 y＝kx+2 相交于点 A（x ，y ）和点 B（x ，y ），且 x 2+x 2
112212
＝10，求 k 的值．
20．（8 分）如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行
且距离为 0.8 米．已知小汽车车门宽 AO 为 1.2 米，当车门打开角度∠AOB 为 40°时，车
门是否会碰到墙？
请说明理由．（参考数据：
sin40°≈0.64；cos40°≈0.77；tan40°
≈0.84）
21．（10 分）我市某楼盘准备以每平方米 8000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产
的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次
下调后，决定以每平方米 6480 元的均价开盘销售
（1）求平均每次下调的百分率．
（2）某人准备以开盘价均价购买一套 100 平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以
供选择：
①打 9.8 折销售；
②不打折，一次性送装修费每平方米 80 元．
试问哪种方案更优惠？
22．（10 分）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，D 是 AC 上一点，DE⊥AB 于点 E，若 AB＝5x，
AE＝2x，AC＝3x+2，AD＝2x+1，求 BC 的长．
23．（10 分）如图，在直角梯形OABC 中，BC∥AO，∠AOC＝90°，点 A，B 的坐标分别为（5，
0），（2，6） ，点 D 为 AB 上一点，且 BD＝2AD，双曲线 y＝ （k＞0）经过点 D，交 BC
于点 E．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求四边形 ODBE 的面积．
24．（10 分）如图，已知四边形 ABCD 是矩形，cot∠ADB＝ ，AB＝16．点 E 在射线 BC 上，
点 F 在线段 BD 上，且∠DEF＝∠ADB．
（1）求线段 BD 的长；
（2）设 BE＝
，DEF 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出函数定义域；
（
）当DEF 为等腰三角形时，求线段 BE 的长．
参考答案
一、选择题
1．下面计算正确的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的混合运算方法，分 别进行运算即可．
解：
A.3+不是同类项无法进行运算，故 A 选项错误；
B.
C.
＝
× ＝
＝
＝
＝3，故 B 选项正确；
，故 C 选项错误；
D．∵
＝
＝2，故 D 选项错误；
故选：
B．
【点评】此题主要考查了二次根式的混 合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，
有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；
较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．
2．已知△ABC∽△DEF，且相似比为 1：
，则ABC 与△DEF 的面积比为（）
A．1：
4B．4：
1C．1：
2D．2：
1
【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．
解：
∵△ABC∽△DEF，且相似比为 1：
2，
∴△ABC 与△DEF 的面积比为 1：
4，
故选：
A．
【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．
3．实数 a 在数轴上的位置如图所示，则
化简后为（ ）
A．7B．﹣7C．2a﹣15D．无法确定
【分析】先从实数 a 在数轴上的位置，得出 a 的取值范围，然后求出（a﹣4）和（a﹣11）
的取值范围，再开方化简．
解：
从实数 a 在数轴上的位置可得，
5＜a＜10，
所以 a﹣4＞0，
a﹣11＜0，
则
，
＝a﹣4+11﹣a，
＝7．
故选：
A．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式的算术平方根等概念．
4．关于 x 的方程 2x2+mx+n＝0 的两个根是﹣2 和 1，则 nm 的值为（）
A．﹣8B．8C．16D．﹣16
【分析】由方程的两根结合根与系数的关系可求出 m、n 的值，将其代入 nm 中即可求出结论．
解：
∵关于 x 的方程 2x2+mx+n＝0 的两个根是﹣2 和 1，
∴﹣ ＝﹣1， ＝﹣2，
∴m＝2，n＝﹣4，
∴nm＝（﹣4）2＝16．
故选：
C．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根据方程的两根结合根与系数的关系求出 m、n 的值
是解题的关键．
5．如图，一辆小车沿坡度为的斜坡向上行驶 13 米，则小车上升的高度是（）
A．5 米B．6 米C．6.5 米D．12 米
【分析】在
ABC 中，设 BC＝5k，AC＝12k，利用勾股定理求出 k 即可解决问题；
解：
作 BC⊥AC．
在
ABC 中，∵AB＝13m，BC：
AC＝5：
12，
∴可以假设：
BC＝5k，AC＝12k，
∵AB2＝BC2+AC2，
∴132＝（5k）2+（12k）2，
∴k＝1，
∴BC＝5m，
故选：
A．
【点评】本题考查解直角三角形的应 用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会利用参数构建
方程解决问题，属于中考常考题型．
6．如果一元二次方程 2x2+3x+m＝0 有两个相等的实数根，那么实数 m 的取值为（）
A．m＞B．mC．m＝D．m＝
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出＝
﹣8m＝0，解之即可得出结论．
解：
∵一元二次方程 2x2+3x+m＝0 有两个相等的实数根，
∴＝
2﹣4×2m＝9﹣8m＝0，
解得：
m＝ ．
故选：
C．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当＝
时，方程有两个相等的实数根”是解题的
关键．
7．如图，菱形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，将△CDE 沿 CE 折叠后，点 A 和点 D 恰好重合，若
菱形 ABCD 的面积为 4，则菱形 ABCD 的周长是（）
A．8B．16C．8D．16
【分析】先证明△ADC 是等边三角形，根据锐角三角函数得出 CE＝
出 CD，即可得出周长．
解：
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AD＝CD，
又∵CD＝AC，
∴AD＝CD＝AC，
CD，由菱形的面积求
即△ADC 是等边三角形，
∴∠D＝60°，
∴CE＝CD•sin60°＝CD，
∵菱形 ABCDABCD的面积＝AD•CE＝
∴CD＝2，
CD2＝4 ，
∴菱形 ABCD 的周长为 2
×4＝8
；
故选：
A．
【点评】本题考查了菱形的性质、翻折变换以及锐角三角函数的运用；证明△ADC 是等边三
角形，根据面积求出边长是解决问题的关键．
8．如图，在△ABC 中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝
，将ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的
阴影三角形与原三角形不相似的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
解：
A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
故选：
C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
9．某校举行“激情五月，唱响青春”为主题的演讲比赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁
四名同学，则甲、乙同学获得前两名的概率是（）
A．B．C．D．
【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式
即可求出该事件的概率．
解：
画树状图得：
∴一共有 12 种等可能的结果，甲、乙同学获得前两名的有 2 种情况，
∴甲、乙同学获得前两名的概率是
＝ ；
故选：
D．
【点 评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不
遗漏的列 出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：
概率＝所求情
况数与总情况数之比．
10．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为 1，点 A、B、O 都在格点上，则∠AOB 的正
弦值是（）
A．B．C．D．
【分析】作 AC⊥OB 于点 C，利用勾股定理求得 AC 和 AO 的长，根据正弦的定义即可求解．
解：
作 AC⊥OB 于点 C．
则 AC＝，
AO＝
＝
＝2 ，
则 sin∠AOB＝
故选：
D．
＝
＝ ．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：
在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，
余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
二、填空题（本大题共 6 题，每题 3 分，满分 18 分）个
11．如果 x：
y＝1：
2，那么＝．
【分析】根据合比性质，可得答案．
解：
+1＝ +1，即
＝ ．
故答案为：
．
【点评】本题考查了比例的性质，利用了和比性质：
＝＝．
12．设 m、n 是一元二次方程 x2+2x﹣7＝0 的两个根，则 m2+3m+n＝5．
【分析】根据根与系数的关系可知 m+n＝﹣2，又知 m 是方程的根，所以可得 m2+2m﹣7＝0，
最后可将 m2+3m+n 变成 m2+2m+m+n，最终可得答案．
解：
∵设 m、 n 是一元二 次方程 x2+2x﹣7＝0 的两个根，
∴m+n＝﹣2，
∵m 是原方程的根，
∴m2+2m﹣7＝0，即 m2+2m＝7，
∴m2+3m+n＝m2+2m+m+n＝7﹣2＝5，
故答案为：
5．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是把 m2+3m+n 转化为 m2+2m+m+n 的形
式，结合根与系数的关系以及一元二次方程的解即可解答．
13．如图，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，位似中心点是 O，＝ ，则＝．
【分析】直接利用位似图形的性质得出△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，进而得出答案．
解：
如图所示：
∵四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，
∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，
∴
∴
＝
＝
＝ ，
＝ ．
故答案为：
．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．
14．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：
1，1，2，3，
5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．现以这组数中
的各个数作为正方形的边长值构造正方形，再分别依次从左到右取 2 个、3 个、4 个、5
个…正方形拼成如上长方形，若按此规律继续作长方形，则序号为⑦的长方形周长是
110．
【分析】根据图示规律，依次写出相应序号的矩形的宽与长，便不难发现，下一个矩形的宽
是上一个矩形的长，长是上一个矩形的长与宽的和，然后写到序号为⑧的矩形宽与长，
再根据矩形的周长公式计算即可得解．
解：
由图可知，序号为①的矩形的宽为 1，长为 2，
序号为②的矩形的宽为 2，长为 3，3＝1+2，
序号为③的矩形的宽为 3，长为 5，5＝2+3，
序号为④的矩形的宽为 5，长为 8，8＝3+5，
序号为⑤的矩形的宽为 8，长为 13，13＝5+8，
序号为⑥的矩形的宽为 13，长为 21，21＝8+13，
序号为⑦的矩形的宽为 21，长为 34，34＝13+21，
所以，序号为⑦的矩形周长＝2（34+21）＝2×55＝110．
故答案为：
110．
【点评】考查了图形的变化类问题，要想得到长方形的周长规律，应先找长方形长、宽的变
换规律．分析图形中的长和宽，然后结合图表中长方形的周长即可得出长方形周长的变
换规律．
15．如图，把 n 个边长为 1 的正方形拼接成一排，求得 tan∠BA C＝1，tan∠BA C＝ ，tan
12
∠BA C＝ ，计算 tan∠BA C＝
34
含 n 的代数式表示）．
n
【分析】作 CH⊥BA 于 H，根据正方形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求出 CH、A H，
44
根据正切的概念求出 tan∠BA C，总结规律解答．
4
解：
作 CH⊥BA 于 H，
4
由勾股定理得，BA ＝＝，A C＝，
44
C 的面积＝4﹣2﹣ ＝，
4
∴××CH＝ ，
解得，CH＝
，
则 A H＝
4
∴tan∠BA C＝
4
1＝12﹣1+1，
3＝22﹣2+1，
＝
＝ ，
，
7＝32﹣3+1，
n
，
故答案为：
；
．
【点评】本题考查的是正方形的性质、勾股定理的应用以及正切的概念，掌握正方形的性质、
熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．
16．如图，在矩形 ABCD 中，∠B 的平分线 BE 与 AD 交于点 E，∠BED 的平分线 EF 与 DC 交于
点 F，若 AB＝9，DF＝2FC，则 BC＝．（结果保留根号）
【分析】先延长 EF 和 BC，交于点 G，再根据条件可以判断三角形 ABE 为等腰直角三角形，
并求得其斜边 BE 的长，然后根据条件判断三角形 BEG 为等腰三角形，最后根据△EFD∽
△GFC 得出 CG 与 DE 的倍数关系，并根据 BG＝BC+CG 进行计算即可．
解：
延长 EF 和 BC，交于点 G
∵矩形 ABCD 中，∠B 的角平分线 BE 与 AD 交于点 E，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝AE＝9，
∴直角三角形 ABE 中，BE＝＝，
又∵∠BED 的角平分线 EF 与 DC 交于点 F，
∴∠BEG＝∠DEF
∵AD∥BC
∴∠G＝∠DEF
∴∠BEG＝∠G
∴BG＝BE＝
由∠G＝∠DEF，∠EFD＝∠GFC，可得△EFD∽△GFC
∴
设 CG＝x，DE＝2x，则 AD＝9+2x＝BC
∵BG＝BC+CG
∴＝9+2x+x
解得 x＝
∴BC＝9+2（
故答案为：
﹣3）＝
【点评】本题主要考查了矩形、相似三角形以及等腰三角形，解决问题的关键是掌握矩形的
性质：
矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．解题时注意：
有两个角对应相等的两
个三角形相似．
三.解答题（本大题共 6 题，满分 72 分）
17．（10 分）
（1）计算：
（2）解分式方程：
（
【分析】 1）根据特殊角的三角函数值、二次根式的乘法和加减法可以解答本题；
（2）根据解分式方程的方法可以解答此方程．
解：
（1）
＝
＝
＝+2
＝；
（2）
方程两边同乘以 x（x+1），得
3＝x（x+1）﹣3x
去括号，得
3＝x2+x﹣3x
移项及合并同类项，得
x2﹣2x﹣3＝0
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
解得，x ＝3，x ＝﹣1，
12
经检验，x＝3 时原分式方程的根，x＝﹣1 不是原分式方程的根，
∴原分式方程的根是 x＝3．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值、解分式方 程，解答本题的
关键是明确它们各自的计算方法．
18．（6 分）如图是从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是黑桃1，2，3，4 和方块 1，2，3，
4，将它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张，那么摸出的两张牌的牌面
数字之和等于 5 的概率是多少？
请你用列表法加以分析说明．
【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式
求出该事件的概率．
解：
可以用下表列举所有可能得到的牌面数字之和：
方块
黑桃
1 2 3 4
1
2
3
1+1＝2
1+2＝3
1+3＝4
2+1＝3
2+2＝4
2+3＝5
3+1＝4
3+2＝5
3+3＝6
4+1＝5
4+2＝6
4+3＝7
41+4＝52+4＝63+4＝74+4＝8
由上表可知，共有 16 种情况，每种情况发生的可能性相同，而两张牌的牌面数字之和等于
5 的情况共出现 4 次，因此牌面数字之和等于 5 的概率为＝ ．
【点评】列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．概率＝
所求情况数与总情况数之比．
（
19． 8 分）已知双曲线 y＝ 和直线 y＝kx+2 相交于点 A（x ，y ）和点 B（x ，y ），且 x 2+x 2
112212
＝10，求 k 的值．
【分析】由，消去 y 得到：
kx2+2x﹣2＝0，根据 x 2+x 2＝10，利用根与系数的关系
12
构建方程求出 k 即可；
解：
由，消去 y 得到：
kx2+2x﹣2＝0，
由题意：
x +x ＝﹣ ，x x ＝﹣ ，
121 2
∵x 2+x 2＝10，
12
∴（x +x ）2﹣2x x ＝10，
121 2
∴+ ＝10，
解得 k＝
，
经检验 k＝
是分式方程的解．
∴k＝
．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程的根与系数的关系等知
识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
20．（8 分）如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行
且距离为 0.8 米．已知小汽车车门宽 AO 为 1.2 米，当车门打开角度∠AOB 为 40°时，车
门是否会碰到墙？
请说明理由．（参考数据：
sin40°≈0.64；cos40°≈0.77；tan40°
≈0.84）
【分析】过点 A 作 AC⊥OB，垂足为点 C，解三角形求出 AC 的长度，进而作出比较即可．
解：
过点 A 作 AC⊥OB，垂足为点 C，
在
ACO 中，
∵∠AOC＝40°，AO＝1.2 米，
∴AC＝sin∠AOC•AO≈0.64×1.2＝0.768，
∵汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行且距离为 0.8 米，
∴车门不会碰到墙．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确添加辅助线，此题难度不
大．
21．（10 分）我市某楼盘准备以每平方米 8000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产
的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次
下调后，决定以每平方米 6480 元的均价开盘销售
（1）求平均每次下调的百分率．
（2）某人准备以开盘价均价购买一套 100 平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以
供选择：
①打 9.8 折销售；
②不打折，一次性送装修费每平方米 80 元．
试问哪种方案更优惠？
（
【分析】 1）设出平均每次下调的百分率为 x，利用准备每平方米销售价格×（1﹣每次下
调的百分率）2＝开盘每平方米销售价格，列方程解答即可；
（2）分别利用两种销售方式求出房子的优惠价，进而得出答案．
解：
（1）设平均每次下调的百分比为
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