带电粒子在磁场中运动.docx

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带电粒子在磁场中运动

带电粒子在磁场中运动

一、基本知识

由洛伦兹力提供向心力：

轨道半径：

运动周期：

对于确定磁场，有Tm/q，仅由粒子种类决定，与R和v无关。

角速度：

频率：

动能：

二、解决带电粒子在匀强磁场中运动的基本环节

1、找圆心：

①已知两个速度方向：

可找到两条半径，其交点是圆心。

②已知入射方向和出射点的位置：

通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作中垂线，交点是圆心。

2、定半径：

①几何法求半径②公式求半径

3、算时间：

注意：

θ应以弧度表示，偏向角等于粒子转过的圆心角

三、三种典型的边界

1、双直线边界

例1、如图一束电子（电量为e）以速度V垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁场，穿透磁场时的速度与电子原来的入射方向的夹角为600。

求:

（1）电子的质量m=?

（2）电子在磁场中的运动时间t=?

例2、如图，若电子的电量e，质量m，磁感应强度B及宽度d已知，

若要求电子不从右边界穿出，则初速度v0应满足什么条件？

变化1：

若v0向上与边界成60º角，则v0应满足什么条件？

变化2：

若v0向下与边界成60º角，则v0应满足什么条件？

例3、如图，区域内存在方向垂直纸面向外，大小B=0.6T的匀强磁场，d=16cm，有一点状的放射源S向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v=3.0×106m/s，已知α粒子的电荷与质量之比q/m=5.0×107C/kg，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求右边界上被α粒子打中的区域的长度。

例4、如图，一端无限伸长的矩形区域abcd内存在着磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场。

从边ad中点O射入一速率v0、方向与Od夹角θ=30º的正电粒子，粒子质量为m，重力不计，带电量为q，已知ad=L。

（1）要使粒子能从ab边射出磁场，求v0的取值范围。

（2）从ad边射出的粒子在磁场中运动时间？

（3）从ab边射出的粒子在磁场中运动时间t的范围。

2、单直线边界

例5、如图直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。

正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？

射出的时间差是多少？

规律要点：

（1）对称性：

若带电粒子以与边界成θ角的速度进入磁场，则一定以与边界成θ角的速度离开磁场.

（2）完整性与等距性：

比荷相等的正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场，

则它们运动的轨道半径相等且圆弧轨道恰构成一个完整的圆；两粒子轨道圆弧对应的圆心角之和等于2π.出射点到入射点距离相等。

例6、如图所示，在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感应强度为B，一带正电的粒子以速度V0从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正方向的夹角为θ，若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L，求粒子运动的半径和运动时间。

3、圆形边界

例7、.如图823所示，半径为r的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子（不计重力）从A点以速度v0垂直于磁场方向射入磁场中，并从B点射出，若∠AOB＝120°，则该带电粒子在磁场中运动的时间为？

规律：

对心进，背心出。

例8、如图所示，在某空间实验室中，有两个靠在一起的等大的圆柱形区域，分别存在着等大反向的匀强

磁场，磁感应强度B＝0.10T，磁场区域半径r＝

m，左侧区圆心为O1，磁场向里，右侧区圆心为O2，

磁场向外．两区域切点为C.今有质量m＝3.2×10－26kg.带电荷量q＝1.6×10－19C的某种离子，从左侧区

边缘的A点以速度v＝106m/s正对O1的方向垂直磁场射入，它将穿越C点后再从右侧区穿出．求：

（1）该离子通过两磁场区域所用的时间.

（2）离子离开右侧区域的出射点偏离最初入射方向的侧移距离为多大？

（侧移距离指垂直初速度方向上移动的距离）

例9、受控热核聚变要把高度纯净的氘、氚混合材料加热到1亿度以上，即达到所谓热核温度．在这样的超高温度下，氘、氚混合气体已完全电离，成为氘、氚原子核和自由电子混合而成的等离子体．从常温下处于分子状态的氘、氚材料开始，一直到上述热核温度的整个加热过程中，必须把这个尺寸有限的等离子体约束起来，使组成等离子体的原子核在发生足够多的聚变反应之前不至于失散，可一般的容器无法使用，因为任何材料的容器壁都不可能承受这样的高温．而磁约束是目前的重点研究方案，利用磁场可以约束带电粒子这一特性，构造一个特殊的磁容器建成聚变反应堆．图中所示是一种简化示意图，有一个环形匀强磁场区域的截面内半径R1＝

m，外半径R2＝3m，磁感应强度B＝0.5T，被约束的粒子的比荷

＝4.0×107C/kg，不计粒子重力和粒子间相互作用．

（1）若带电粒子从中间区域沿半径方向射入磁场，则粒子不能穿越磁场外边界的最大速率vm是多少？

（2）若带电粒子以

（1）问中最大速率vm从圆心O出发沿圆环半径方向射入磁场，请在图中画出其运动轨迹，并求出粒子从出发到第一次回到出发点所用的时间．

例10、如图（a）所示，在以O为圆心，内外半径分别为R1和R2的圆环区域内，存在辐射状电场和垂直纸面的匀强磁场，内外圆间的电势差U为常量，R1＝R0，R2＝3R0.一电荷量为＋q，质量为m的粒子从内圆上的A点进入该区域，不计重力．

（1）已知粒子从外圆上以速度v1射出，求粒子在A点的初速度v0的大小．

（2）若撤去电场，如图（b），已知粒子从OA延长线与外圆的交点C以速度v2射出，方向与OA延长线成45°角，求磁感应强度的大小及粒子在磁场中运动的时间．

（3）在图（b）中，若粒子从A点进入磁场，速度大小为v3，方向不确定，要使粒子一定能够从外圆射出，磁感应强度应小于多少？

例11、如图，在半径为R的圆筒内有匀强磁场，质量为m，带电量为q的带电粒子在小孔A处以速度v向着圆心射入，问磁感应强度为多大，此粒子才能绕行一周后从原孔射出？

粒子在磁场中的运动时间是多

少？

（设相碰时电量和动能皆无损失）

•

例12（2013全国新课标I）、如图，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面（纸面），磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。

一电荷量为q（q>0），质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向射人磁场区域，射入点与ab的距离为R/2。

已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为600。

，则粒子的速率为？

四、区域场复合场周期场交替场

例13、.如图所示，在空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场，其竖直边界AB，CD的宽度为d，在边界AB左侧是竖直向下、场强为E的匀强电场．现有质量为m、带电荷量为＋q的粒子（不计重力）从P点以大小为v0的水平初速度射入电场，随后与边界AB成45°射入磁场．若粒子能垂直CD边界飞出磁场，穿过小孔进入如图所示两竖直平行金属板间的匀强电场中减速至零且不碰到正极板.

（1）请画出粒子上述过程中的运动轨迹，并求出粒子进入磁场时的速度大小v；

（2）求匀强磁场的磁感应强度B；

（3）求金属板间的电压U的最小值.

例14、在如图所示的空间坐标系中，y轴的左侧有一匀强电场，场强大小为E，场强方向与y轴负方向成30°，y轴的右侧有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B（未画出）．现有一质子在x轴上坐标为x0＝10cm处的A点，以一定的初速度v0第一次沿x轴正方向射入磁场，第二次沿x轴负方向射入磁场，回旋后都垂直于电场方向射入电场，最后又进入磁场．求：

（1）质子在匀强磁场中的轨迹半径R；

（2）质子两次在磁场中运动时间之比；

（3）若第一次射入磁场的质子经电场偏转后，恰好从第二次射入磁场的质子进入电场的位置再次进入磁场，试求初速度v0和电场强度E、磁感应强度B之间需要满足的条件.

例15、如图所示，与水平面成37°的倾斜轨道AC，其延长线在D点与半圆轨道DF相切，全部轨道为绝缘材料制成且位于竖直面内，整个空间存在水平向左的匀强电场，MN的右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场（C点处于MN边界上）．一质量为0.4kg的带电小球沿轨道AC下滑，至C点时速度为vC＝

m/s，接着沿直线CD运动到D处进入半圆轨道，进入时无动能损失，且恰好能通过F点，在F点速度vF＝4m/s（不计空气阻力，g＝10m/s2，cos37°＝0.8）．求：

（1）小球带何种电荷？

（2）小球在半圆轨道部分克服摩擦力所做的功；

（3）小球从F点飞出时磁场同时消失，小球离开F点后的运动轨迹与直纾AC（或延长线）的交点为（G未标出）求G点到D点的距离.

例16、如图所示，竖直平面内有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度E1＝2500N/C，方向竖直向上；磁感应强度B＝103T，方向垂直纸面向外；有一质量m＝1×10－2kg、电荷量q＝4×10－5C的带正电小球自O点沿与水平线成45°角以v0＝4m/s的速度射入复合场中，之后小球恰好从P点进入电场强度E2＝2500N/C，方向水平向左的第二个匀强电场中．不计空气阻力，g取10m/s2.求：

（1）O点到P点的距离s1；

（2）带电小球经过P点的正下方Q点时与P点的距离s2.

例17、如图所示，在x轴上方有垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为B，在x轴下方有沿y轴负方向的匀强电场，场强为E，一质量为m、电荷量为q的粒子从坐标原点O沿着y轴正方向射出，射出之后，第三次到达x轴时，它与O点的距离为L，求此时粒子射出时的速度和运动的总路程（重力不计）．

例18、如图，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。

左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场方向垂直纸面向外，右侧区域匀强磁场方向垂直纸面向里，两个磁场区域的磁感应强度大小均为B。

一个质量为m、电量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O点，然后重复上述运动过程。

求：

（1）中间磁场区域的宽度d；

（2）带电粒子的运动周期。

例19、如图所示，在x＜0与x＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且B1＞B2。

一个带负电的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与B2的比值应满足什么条件？

例20、如图所示，一理想磁场以x轴为界，下方磁场的磁感应强度是上方磁感应强度B的两倍．今有一质量为m、电荷量为＋q的粒子，从原点O沿y轴正方向以速度v0射入磁场中，求此粒子从开始进入磁场到第四次通过x轴的位置和时间（重力不计）．

例21、如图所示，互相平行且水平放置的金属板，板长L＝1.2m，两板距离d＝0.6m，两板间加上U＝0.12V恒定电压及随时间变化的磁场，磁场变化规律如图8311乙所示，规定磁场方向垂直纸面向里为正．当t＝0时，有一质量为m＝2.0×10－6kg、电荷量q＝＋1.0×10－4C的粒子从极板左侧以v0＝4.0×103m/s沿与两板平行的中线OO′射入，取g＝10m/s2、π＝3.14.求：

（1）

粒子在0～10-4s内位移的大小x；

（2）粒子离开中线oo’的最大距离h；

（3）粒子在板间运动的时间t；

（4）画出粒子在板间运动的轨迹图。

五、真题再现

例22．（2011·大纲全国卷，25）如图所示，与水平面成45°角的平面MN将空间分成Ⅰ和Ⅱ两个区域．一质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子以速度v0从平面MN上的P0点水平向右射入Ⅰ区．粒子在Ⅰ区运动时，只受到大小不变、方向竖直向下的电场作用，电场强度大小为E；在Ⅱ区运动时，只受到匀强磁场的作用，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里．求粒子首次从Ⅱ区离开时到出发点P0的距离．粒子的重力可以忽略．

•

•

例23、如图，一半径为R的圆表示一柱形区域的横截面（纸面）。

在柱形区域内加一方向垂直于纸面的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的粒子沿图中直线在圆上的a点射入柱形区域，在圆上的b点离开该区域，离开时速度方向与直线垂直。

圆心O到直线的距离为3R/5。

现将磁场换为平等于纸面且垂直于直线的匀强电场，同一粒子以同样速度沿直线在a点射入柱形区域，也在b点离开该区域。

若磁感应强度大小为B，不计重力，求电场强度的大小。

例24、如图所示，间距为d，垂直于纸面的两平行板P、Q间存在匀强磁场。

取垂直与纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度的变化规律如图乙所示。

t=0时刻，一质量为m，带电荷量为+q的粒子（不计重力），以初速度

由Q板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区。

当

和

取某些特定值时，可使t=0时刻射入的粒子经

时间恰能垂直打到P板上（不考虑粒子反弹）。

上述m，q，d，

为已知量。

（1）若

，求

（2）若

，求粒子在磁场中运动的加速度大小。

（3）若

，为使粒子仍能垂直打到P板上，求

例25、（2013山东理综）如图所示，在坐标系xoy的第一、第三象限内存在相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xoy面向里；第四象限内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E.一质量为

、带电量为

的粒子自y轴的P点沿x轴正方向射入第四象限，经x轴上的Q点进入第一象限，随即撤去电场，以后仅保留磁场。

已知OP=d,OQ=2d,不计粒子重力。

（1）求粒子过Q点时速度的大小和方向。

（2）若磁感应强度的大小为一定值B0，粒子将以垂直y轴的方向进入第二象限，求B0；

（3）若磁感应强度的大小为另一确定值，经过一段时间后粒子将再次经过Q点，且速度与第一次过Q点时相同，求该粒子相邻两次经过Q点所用的时间。

例26、.（2014海南卷）

如图，在x轴上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外；在x轴下方存在匀强电场，电场方向与xoy平面平行，且与x轴成450夹角。

一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子以速度v0从y轴上P点沿y轴正方向射出，一段时间后进入电场，进入电场时的速度方向与电场方向相反；又经过一段时间T0，磁场方向变为垂直纸面向里，大小不变，不计重力。

（1）求粒子从P点出发至第一次到达x轴时所需的时间；

（2）若要使粒子能够回到P点，求电场强度的最大值。

例2

7、如图所示，在0≤x≤a，0≤y≤

范围内有垂直于xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。

坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0~90°范围内。

已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。

求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的

（1）速度的大小；

（2）速度方向与y轴正方向夹角的正弦。