贵州省名校联盟届高三上学期期末数学理试题含答案解析.docx
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贵州省名校联盟届高三上学期期末数学理试题含答案解析
贵州省名校联盟2022届高三上学期期末数学（理）试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知复数z满足
，则
（ ）
A．5B．4C．
D．2
3．在等比数列
中，
，
，则
（ ）
A．4B．8C．16D．32
4．某工厂为了检验一条生产线生产的某种零件的质量，从该生产线生产的这种零件中随机抽取2000个，测量其长度（单位：
厘米），将所得数据分成
，
，
，
，
五组，得到如图所示的频率分布直方图．已知零件长度在
内的是一等品，则该生产线生产的10000个零件中，估计一等品的数量是（ ）
A．3125个B．3750个C．4250个D．6250个
5．函数
的部分图象可能是
A．
B．
C．
D．
6．青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一．已知某青花瓷花瓶的外形上下对称，可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示．若该花瓶的瓶口直径是8，瓶身最小的直径是4，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知等差数列
满足
，
，数列
满足
，记数列
的前
项和为
，则当
取得最小值时，
的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
9．已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
的周期为
的奇函数B．
的图象关于点
对称
C．
在
上单调递增D．
的值域是
10．已知椭圆
的左、右焦点分别是
，
，直线
与椭圆C交于A，B两点，若
，且四边形
的面积为
（c是椭圆C的半焦距），则椭圆C的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，它是三组对棱分别相等的四面体．已知某等腰四面体的三组对棱长分别是4，
，
，则该等腰四面体的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数
，若
恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．已知向量
，
不共线，且
，则
___________.
14．
的展开式中
的系数是______．（用数字作答）
15．很多购物网站都有手机验证码功能，这样可以保证购物的安全性．一般手机验证码由0，1，2，…，9中的4个数字（数字可以相同）随机组成．已知某人收到一个四位数的手机验证码，则该验证码由3个不同数字组成的概率是______．
16．在三棱锥
中，底面是以
为斜边的等腰直角三角形，
，
，则三棱锥
外接球的表面积为______．
三、解答题
17．在△
中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知
.
（1）求角B的值；
（2）若
，点D是边BC的中点，且
，求b.
18．某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参加志愿者活动次数为2，3，4的人数分别为1，3，2，现从这6人中随机选出2人作为该组的代表参加表彰会．
（1）求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率；
（2）记选出的2人参加志愿者活动次数之和为X，求X的分布列和期望．
19．在四棱锥
中，
平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，
，
，E，F分别是棱AB，PC的中点．
（1）证明：
平面PAD．
（2）若
，
，求平面AEF与平面CDF所成锐二面角的余弦值．
20．已知抛物线
的焦点为
，点
在抛物线
上，
为坐标原点，
是直角三角形．
（1）求抛物线
的方程．
（2）若点
在第一象限，直线
与抛物线
交于异于点
的
两点，以线段
为直径的圆经过点
．直线
是否过定点？
若是，求出所过定点的坐标；若不是，请说明理由．
21．已知函数
.
（1）当
时，讨论
的单调性；
（2）当
时，
，求a的取值范围.
22．在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数），以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．
（1）求直线
的普通方程和曲线
的直角坐标方程；
（2）若直线
与曲线
交于
，
两点，点
，求
的值．
23．已知函数
．
（1）求不等式
的解集；
（2）求直线
与函数
的图象围成的封闭图形的面积．
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求集合
，再应用集合的交运算求
即可．
【详解】
由题意可得
，则
．
故选：
A
2．C
【解析】
【分析】
设
，根据复数相等概念即可求解
，从而解得模．
【详解】
设
，则
.因为
，所以
解得
，
，则
．
故选：
C
3．B
【解析】
【分析】
由等比数列的通项公式基本量求出首项和公比，进而求出答案.
【详解】
设等比数列
的公比为q，则
解得:
，
，故
．
故选：
B
4．D
【解析】
【分析】
根据频率分布直方图求出一等品的频率，从而可估计一等品的数量
【详解】
由图可知一等品的频率是
，
则10000个零件中一等品的数量大约是
个．
故选：
D
5．A
【解析】
由函数的奇偶性可排除B、C,再利用特殊值排除D
【详解】
由
因为
所以
为奇函数,图象关于原点对称,
故排除B、C,
又由
排除D,
故选:
A
【点睛】
本题考查函数的图像,考查函数的奇偶性的图像性质,考查特殊值法处理选择题
6．B
【解析】
【分析】
由已知得双曲线的焦点在x轴上，设该双曲线的方程为
，代入建立方程组，求解即可得双曲线的标准方程．
【详解】
解：
由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点（4，3）在该双曲线上．设该双曲线的方程为
，
则
解得
，
，故该双曲线的标准方程是
．
故选：
B.
7．D
【解析】
【分析】
根据指数函数和对数函数的单调性进行判断即可.
【详解】
因为
，
，
，所以
.
故选：
D
8．C
【解析】
【分析】
先求得数列
的通项公式，再根据数列
的正负项求解.
【详解】
因为
，
，
所以
，公差
，
所以
，
故在数列
中，
，
，
，
，
均小于0，
中其余项均大于0．
又因为
，
，
所以当
取得最小值时，
的值为6．
故选：
C．
9．C
【解析】
【分析】
由题可得
，然后利用正弦函数的性质逐项判断即得.
【详解】
由题意可得
.
因为
，所以
不是奇函数，故A错误；
因为
，所以
的图象不关于点
对称，故B错误；
令
，解得
，当
时，
，则C正确；
因为
，所以
，所以
，即
的值域是
，故D错误.
故选：
C.
10．B
【解析】
【分析】
由椭圆的对称性和
，易知四边形
为矩形，设
，
，利用椭圆的定义，结合勾股定理和矩形的面积公式，即可求出结果．
【详解】
由椭圆的对称性可知四边形
是平行四边形．因为
，所以平行四边形
是矩形．
设
，
，则
整理得
，所以
，解得
，故椭圆C的离心率为
．
故选：
B.
11．B
【解析】
【分析】
将等腰四面体
补成长方体求解.
【详解】
如图，
，
将等腰四面体
补成长方体，
设该长方体的长、宽、高分别是
，
，
，
则
解得
，
，
，
则该等腰四面体的体积为：
．
故选：
B
12．C
【解析】
【分析】
依题意可得
，进而可得
在
上恒成立，构造函数
，利用导数研究函数的单调性以及最值，即可求出参数的取值范围.
【详解】
等价于
．
令函数
，则
，故
是增函数．
等价于
，即
．
令函数
，则
．
当
时，
，
单调递增：
当
时，
，
单调递减．
.
故实数a的取值范围为
．
故选：
C.
13．
【解析】
【分析】
根据平面共线向量的性质进行求解即可.
【详解】
因为向量
，
不共线，且
，
所以有
，则
解得
.
故答案为：
14．-448
【解析】
【分析】
利用二项展开式的通项公式即可.
【详解】
的展开式的第r+1项为为
．
令
，得
，则
故答案为：
-448
15．
##0.432
【解析】
【分析】
利用分步相乘原理算出总数，再利用排列组合算出满足3个不同数字所组成的情况.
【详解】
从0，1，2，…，9中随机取出4个数字（可以相同），共有
种情况；其中有3个不同数字的情况为：
先选出3个数字，然后其中一个需要用2次，对其全排列后再除去两个相同数子的顺序，即
种
故所求概率
．
故答案为：
16．
##
【解析】
【分析】
取
的中点
可得
，由
得
，根据线面垂直的判断定理得
平面
，得三棱锥
外接球的球心
在线段
上，由
可得答案.
【详解】
如图，取
的中点
，连接
，
．由题意可得
，
因为
，所以
，
因为
，所以
，所以
，所以
，
即
．因为
，所以
平面
，
设三棱锥
外接球的球心为
，
由题意易得三棱锥
外接球的球心
在线段
上，如下图
则三棱锥
外接球的半径
满足
，
解得
，所以
，
；
若三棱锥
外接球的球心
在线段
的延长线上，如下图，
则三棱锥
外接球的半径
满足
，
，无解；
所以，
三棱锥
外接球的表面积
．
故答案为：
.
17．
（1）
（2）7
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换即可求出；
（2）分别在
和△
中使用余弦定理即可求解.
（1）
∵
，∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∵
，∴
，
又∵
，∴
.
（2）
在
中，
，
，
，
由余弦定理得
，
整理得
，解得
（
舍去）
在△
中，由余弦定理得
，
即
，解得
.
18．
（1）
；
（2）分布列见解析，
.
【解析】
【分析】
（1）利用古典概率公式即求；
（2）由题可知X的可能取值为5，6，7，8，然后利用求分布列的步骤及期望公式即得.
（1）
从这6人中随机选出2人，共有
种选法，
其中这2人参加志愿者活动次数相同的选法有
种．，
故选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率为
．
（2）
由题可知，X的可能取值分别为5，6，7，8，
，
，
，
．
故X的分布列为：
X
5
6
7
8
P
∴
．
19．
（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】
（1）线面平行、线线平行、面面平行的判定和性质；
（2）向量法求二面角的余弦值.
（1）
证明：
取CD的中点G，连接EG，FG．
因为F，G分别是PC，CD的中点，FG是
的中位线，所以
，又因为
平面PAD，
平面PAD，所以
．
因为
，且E、G分别是棱AB，CD的中点，
是梯形ABCD的中位线，所以
，又因为
平面PAD，
平面PAD所以
．
因为EG，
平面EFG，且
，所以平面
．
因为
平面EFG，所以
．
（2）
解：
以A为原点，分别以
，
，
的方向为x，y，z轴的正方向，
如下图所示，建立空间直角坐标系A－xyz．
设
，则A（0，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0），E（1，0，0），P（0，0，2）．
因为F是棱PC的中点，所以F（1，1，1），所以
，
，
，
．
设平面AEF的法向量为
则
，令
，得
．
设平面CDF的法向量为
，
则
，令
，得
．
设平面AEF与平面CDF所成的锐二面角为
，
则
．
【点睛】
20．
（1）
；
（2）过定点
.
【解析】
【分析】
（1）当
为直角时，由
和
在抛物线上可构造方程组求得
，不合题意；当
为直角时，由
可求得
，从而得到抛物线方程；
（2）设
，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式；由
，根据向量数量积的坐标运算，代入韦达定理的形式进行整理化简可得
或
，代回直线验证即可得到所求定点坐标.
（1）
由题意知：
不是直角．
①当
为直角时，
，则
，即
．
点
在抛物线
上，
，
，解得：
，
与
矛盾，不符合题意；
②当
为直角时，
，解得：
，符合题意．
抛物线
的方程为：
．
（2）
设直线
，
，
，
联立
整理得：
，则
，即
，
则
，
．
由
（1）可知：
，则
，
．
以线段
为直径的圆经过点
，
，即
，
则
，
即
．
将
，
代入得：
，
整理得：
，即
，
解得：
或
．
当
时，直线
，过定点
，
经验证此时
，符合题意；
当
时，直线
，此时点
在直线
上，则点
与点
或点
重合，与
异于点
矛盾，不符合题意．
综上所述：
直线
过定点
．
【点睛】
思路点睛：
本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于
或
的一元二次方程的形式；
②利用
求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；
④根据直线过定点的求解方法可求得结果.
21．
（1）在
上单调递减，在
上单调递增
（2）
【解析】
【分析】
（1）研究当
时
的导数的符号即可讨论得到
的单调性；
（2）对原函数求导，对a的范围分类讨论即可得出答案.
（1）
当
时，
，
令
，则
，所以
在
上单调递增.
又因为
，所以当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）
，且
.
①当
时，由
（1）可知当
时
，所以
在
上单调递增，则
，符合题意.
②当
时，
，不符合题意，舍去.
③当
时，令
，则
，
则
，
，当
时，
，所以
在
上单调递减，
当
时，
，不符合题意，舍去.
综上，a的取值范围为
.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．
22．
（1）l：
，C：
；
（2）
.
【解析】
【分析】
（1）消去参数t得l的普通方程，根据极坐标与直角坐标的转化关系可求C的直角坐标方程；
（2）根据直线参数方程中参数的几何意义，结合二次方程根与系数的关系即可求解.
（1）
由
（
为参数），得
．
由
，得
，即
．
（2）
将直线
的参数方程代入曲线
的普通方程得
．
设
，
两点对应的参数分别为
，
，
则
，
，
故
．
23．
（1）
；
（2）
.
【解析】
【分析】
（1）分类讨论去绝对值求解即可；
（2）作出f（x）图像，数形结合即可求解.
（1）
不等式
等价于
或
或
解得
或
，即不等式
的解集为
．
（2）
由
的图象可知直线
与
的图象围成的封闭图形是四边形
，
且
，
，
，
，
则
的面积
．
延长
交直线
于点
，则
，
从而
的面积
．
故四边形
的面积为
．
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