九年级数学专题复习图形的折叠和动点问题.docx

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九年级数学专题复习图形的折叠和动点问题

中考冲刺：

动手操作与运动变换型问题

【中考展望】

1．对于实践操作型问题，在解题过程中学生能够感受到数学学习的情趣与价值，经历“数学化”和“再创造”的过程，不断提高自己的创新意识与综合能力，这是《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的基本要求之一，因此，近年来实践操作性试题受到命题者的重视，多次出现.

2．估计在今年的中考题中，实践操作类题目依旧是出题热点，仍符合常规题型，与三角形的全等和四边形的性质综合考查．需具备一定的分析问题能力和归纳推理能力．

图形的设计与操作问题，主要分为如下一些类型：

1．已知设计好的图案，求设计方案（如：

在什么基本图案的基础上，进行何种图形变换等）．

2．利用基本图案设计符合要求的图案（如：

设计轴对称图形，中心对称图形，面积或形状符合特定要求的图形等）．

3．图形分割与重组（如：

通过对原图形进行分割、重组，使形状满足特定要求）．

4．动手操作（通过折叠、裁剪等手段制作特定图案）．

解决这样的问题，除了需要运用各种基本的图形变换（平移、轴对称、旋转、位似）外，还需要综合运用代数、几何知识对图形进行分析、计算、证明，以获得重要的数据，辅助图案设计．

另外，由于折叠操作相当于构造轴对称变换，因此折叠问题中，要充分利用轴对称变换的特性，以获得更多的图形信息．必要时，实际动手配合上理论分析比单纯的理论分析更为快捷有效．

从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的.动态问题一般分两类，一类是代数综合题，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解.另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考查.所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分.

【方法点拨】

实践操作问题：

解答实践操作题的关键是要学会自觉地运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题．解答实践操作题的基本步骤为：

从实例或实物出发，通过具体操作实验，发现其中可能存在的规律，提出问题，检验猜想．在解答过程中一般需要经历操作、观察、思考、想象、推理、探索、发现、总结、归纳等实践活动过程，利用自己已有的生活经验和数学知识去感知发生的现象，从而发现所得到的结论，进而解决问题．

动态几何问题：

1、动态几何常见类型

（1）点动问题（一个动点）

（2）线动问题（二个动点）

（3）面动问题（三个动点）

2、运动形式

平移、旋转、翻折、滚动

3、数学思想

函数思想、方程思想、分类思想、转化思想、数形结合思想

4、解题思路

（1）化动为静，动中求静

（2）建立联系，计算说明

（3）特殊探路，一般推证

【典型例题】

类型一、图形的剪拼问题

例1．直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形．方法如下（如图所示）：

请你用上面图示的方法，解答下列问题：

（1）对下图中的三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；

（2）对下图中的四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．

举一反三：

【变式】把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再按如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是（　　）

A．

B．

C．

D．

类型二、实践操作

例2．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片

，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．

（1）求证：

∠APB=∠BPH；

（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？

并证明你的结论；

（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？

若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

例3．刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B＝90°，∠C＝60°，∠A＝30°，BC＝6cm；图②中，∠D＝90°，∠E＝45°，DE＝4cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：

他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）．

（1）在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：

F、C两点间的距离逐渐________．（填“不变”、“变大”或“变小”）

（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：

问题①：

当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行?

问题②：

当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形?

问题③：

在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD＝15°？

如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由．

请你分别完成上述三个问题的解答过程．

举一反三：

【变式】如图，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB，OB=6,CD=BC=4，BC⊥OB于B,以O为坐标原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4,2）处.为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线

将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分，你认为直线

是否存在？

若存在求出直线

的解析式,若不存在，请说明理由.

类型三、平移旋转型操作题

例4．两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A＝60°，AC＝1．固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：

（1）如图所示，△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），连结DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断地变化，但它的面积不变化，请求出其面积．

（2）如图所示，当D点移动到．AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由．

（3）如图所示，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB边上，此时，点恰好与B点重合，连结AE，请你求出sinα的值．

类型四、动态数学问题

例5．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB，过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D，运动时间为t秒．

（1）当点B与点D重合时，求t的值；

（2）当t为何值时，S△BCD=

？

举一反三：

【变式】如图，平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，∠A=60°，点P从点A出发沿折线AB-BC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当P与C重合时停止运动，过点P作AB的垂线PQ交AD或DC于Q．设P运动时间为t秒，直线PQ扫过平行四边形ABCD的面积为S．求S关于t的函数解析式．

【巩固练习】

一、选择题

1.将一张正方形纸片按如图所示对折两次，并在如图位置上剪去一个圆形小洞后展开铺平得到的图形是（　　）

A．

B．

C．

D．

2.一张正方形的纸片，如图1进行两次对折，折成一个正方形，从右下角的顶点，沿斜虚线剪去一个角剪下的实际是四个小三角形，再把余下的部分展开，展开后的这个图形的内角和是多少度？

（　　）

A．1080°B．360°C．180°D．900°

3.如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN（图甲），再把B点叠在折痕MN上的B′处.得到Rt△AB′E（图乙），再延长EB′交AD于F，所得到的△EAF是（）

A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形

4.如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是（）

A、

B、

C、

D、

二、填空题

5.如图

（1）是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图

（2）所示的一个菱形．对于图

（1）中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：

．

6．如图,△ABC中,∠BAC=600,∠ABC=450,AB=

D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O

分别交AB,AC于E,F,连接EF,则线段EF长度的最小值为___________

7．如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，CD=6cm．动点Q从点B出发，以1cm/S的速度沿BC运动到点C停止，同时，动点P也从B点出发，沿折线B→A→D运动到点D停止，且PQ⊥BC．设运动时间为t（s），点P运动的路程为y（cm），在直角坐标系中画出y关于t的函数图象为折线段OE和EF（如图②）．已知点M（4，5）在线段OE上，则图①中AB的长是　cm．

三、解答题

8．阅读下列材料：

小明遇到一个问题：

5个同样大小的正方形纸片排列形式如图

（1）所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．

他的做法是：

按图

（2）所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点D旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．

请你参考小明的做法解决下列问题：

（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图（3）所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：

在图（3）中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；

（2）如图（4），在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ．请在图（4）中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果）．

9.如图（a），把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸……．已知标准纸的短边长为a．

（1）如图（b），把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：

第一步将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B′处，铺平后得折痕AE；

第二步将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF；

则AD:

AB的值是________，AD，AB的长分别是________，________；

（2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等?

若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值；

（3）如图（c），由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的4个顶点E，F，G，H分别在“16开”纸的边AB，BC，CD，DA上，求DG的长；

（4）已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M＝90°，MN＝MQ＝2PQ，且四个顶点M，N，P，Q都在“4开”纸的边上，请直接写出两个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．

10.操作与探究

（1）图（a）是一块直角三角形纸片．将该三角形纸片按图中方法折叠，点A与点C重合，DE为折痕．试证明△CBE是等腰三角形；

（2）再将图（b）中的△CBE沿对称轴EF折叠（如图（b））．通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合（指无缝重叠）所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”．你能将图（c）中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？

如果能折成，请在图（c）中画出折痕；

（3）请你在图（d）的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：

①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点（各小正方形的顶点）上；

（4）有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形（其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四边上）．请你进一步探究，一个非特殊的四边形（指除平行四边形、梯形外的四边形）满足什么条件时，一定能折成组合矩形?

11.在图1至图5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．

操作示例：

当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．

思考发现：

小明在操作后发现：

该剪拼方法是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上，连接CH．由剪拼方法可得DH＝BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图所示），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH＝HC＝GC＝FG，∠FHC＝90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．

实践探究：

（1）正方形FGCH的面积是________；（用含a、b的式子表示）

（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2至图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．

联想拓展：

小明通过探究后发现：

当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．

当b＞a时，如图所示的图形能否剪拼成一个正方形？

若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．

12.已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点（A、B两点除外），将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．

（1）如图1，当α=90°时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF．求证：

GF∥AC；

（2）如图2，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M．

①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数；

②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长．