版浙江数学知识清单与冲A训练3 基本初等函数.docx
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版浙江数学知识清单与冲A训练3基本初等函数
知识点一 根式
1.a的n次方根的定义
如果________,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.
2.a的n次方根表示
x=
3.根式
4.根式的性质(n>1,且n∈N*)
(1)n为奇数时,
=________.
(2)n为偶数时,
=________=
(3)
(4)负数没有________方根.
知识点二 分数指数幂
正数的分数指数幂
正数的正分数指数幂
规定:
a-
=________(a>0,m,n∈N*,且n>1)
正数的负分数指数幂
a
规定
0的正分数指数幂等于________,0的负分数指数幂________
知识点三 指数幂的运算性质
1.有理数指数幂的运算性质
(1)aras=________(a>0,r,s∈Q);
(2)(ar)s=________(a>0,r,s∈Q);
(3)(ab)r=________(a>0,b>0,r∈Q).
2.无理数指数幂的运算
无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数,有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用.
知识点四 指数函数及其性质
1.指数函数的定义
一般地,函数________(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中________是自变量,函数的定义域是________.
2.指数函数的图象和性质
a>1
0图象性质定义域R值域过定点________,即当x=0时,y=________单调性在R上是________在R上是________奇偶性非奇非偶函数知识点五 对数的概念1.定义一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以________为底________的对数.记作________________,a叫做对数的________,N叫做________.2.特殊对数3.对数和指数的关系当a>0,a≠1时,ax=N⇔x=________.4.对数的性质(1)负数和0没有对数.(2)loga1=0.(3)logaa=1.知识点六 对数的运算如果a>0,且a≠1,M>0,N>0.(1)loga(M·N)=________________.(2)loga=________________.(3)logaMN=________(N∈R).(4)alogaN=N(对数恒等式).(5)对数的换底公式:logab=________________(a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1).特别地,logab·logba=1(a>0,a≠1,b>0,b≠1).知识点七 对数函数及其性质1.对数函数的定义一般地,我们把函数y=________(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中________是自变量,函数的定义域是________.2.对数函数的图象及其性质a>10图象性质定义域(0,+∞)值域R过定点过定点(1,0),即x=1时,y=0函数值的变化当01时,y>0当00,当x>1时,y<0单调性在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数知识点八 指数函数和对数函数的关系同底的指数函数与对数函数图象关于直线________对称,单调性________.知识点九 幂函数1.幂函数的概念一般地,函数________叫做幂函数,其中________是自变量,α是常数.2.幂函数的图象与性质幂函数y=xy=x2y=x3y=y=x-1图象定义域值域奇偶性奇函数单调性在R上是________x∈0,+∞)______,x∈(-∞,0]______在R上是________在0,+∞)上是增函数x∈(0,+∞)____,x∈(-∞,0)____公共点(1,1)例1 (2016年4月学考)对任意的正实数a及m,n∈Q,下列运算正确的是( )A.(am)n=am+nB.(am)n=amnC.(am)n=am-nD.(am)n=amn例2 (2016年10月学考)设函数f(x)=()x,g(x)=()x,其中e为自然对数的底数,则( )A.对于任意实数x恒有f(x)≥g(x)B.存在正实数x0使得f(x0)>g(x0)C.对于任意实数x恒有f(x)≤g(x)D.存在正实数x0使得f(x0)例3 (2016年4月学考)函数f(x)=2x+a(a∈R),若函数f(x)的图象过点(3,18),则a的值为________.例4 若loga(a2+1)A.(0,1)B.(,1)C.(0,)D.(1,+∞)例5 已知lga+lgb=0,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx的图象可能是( )例6 幂函数f(x)=(m2-m-1)在(0,+∞)上为增函数,则m=________.例7 在同一平面直角坐标系中,函数y=f(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称,函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称.若g(m)=-1,则m=________.例8 已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1).(1)若a=3,f()=-5,求x的值;(2)若f(3a-1)>f(a),求实数a的取值范围;(3)若函数f(x)在区间a,2a]上最大值是最小值的3倍,求a的值. 例9 已知定义在R上的奇函数f(x)=a·3x+3-x,a为常数.(1)求a的值;(2)用单调性定义证明f(x)在0,+∞)上是减函数;(3)解不等式f(x-1)+f(2x+3)<0. 一、选择题1.下列四类函数中,具有性质“对任意的x>0,y>0,函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)”的是( )A.幂函数B.对数函数C.指数函数D.余弦函数2.若log32=a,则log38-2log36用a表示为( )A.a-2B.a-1-a2C.5a-2D.3a-2-a23.设a=3,b=()0.2,c=,则( )A.aC.c4.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上是单调增函数的是( )A.y=B.y=|x|-1C.y=lgxD.y=()|x|5.对a(a>0且a≠1)取不同的值,函数y=loga的图象恒过定点P,则P的坐标为( )A.(1,0)B.(-2,0)C.(2,0)D.(-1,0)6.在同一平面直角坐标系中,函数y=ax(a>0,且a≠1)与函数y=(1-a)x的图象可能是( )7.设偶函数f(x)=loga|x+b|在(-∞,0)上单调递减,则f(b-2)与f(a+1)的大小关系是( )A.f(b-2)=f(a+1)B.f(b-2)>f(a+1)C.f(b-2)D.不能确定二、填空题8.已知幂函数f(x)的图象过点(2,),则f(x)的单调减区间为________.9.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数,其图象经过点(,a),则f(2)=________.10.若x+x-1=4,则+=________.11.已知f(x)=则f(log23)=________.12.函数f(x)=log2·(2x)的最小值为________.三、解答题13.已知函数f(x)=2x+k·2-x,k∈R.(1)若函数f(x)为奇函数,求实数k的值;(2)若对任意的x∈0,+∞),都有f(x)>2-x成立,求实数k的取值范围. 答案精析知识条目排查知识点一1.xn=a3.根指数 被开方数4.(1)a (2)|a| (3)0 (4)偶次知识点二 0 没有意义知识点三1.(1)ar+s (2)ars (3)arbr知识点四1.y=ax x R2.(0,+∞) (0,1) 1 增函数 减函数知识点五1.a N x=logaN 底数 真数3.logaN知识点六(1)logaM+logaN (2)logaM-logaN (3)NlogaM (5)知识点七1.logax x (0,+∞)知识点八y=x 相同知识点九1.y=xα x2.R R R 0,+∞) {x|x≠0} R 0,+∞) R 0,+∞) {y|y≠0} 奇函数 偶函数 非奇非偶 奇函数 增函数 递增 递减 增函数 递减 递减题型分类示例例1 D例2 D例3 10解析 由题意可得f(3)=23+a=18,得a=10.例4 B 因为a2+1-2a=(a-1)2>0(a≠1),所以a2+1>2a.由loga(a2+1)又loga2a<0=loga1,所以2a>1⇒a>.综上所述,例5 B ∵lga+lgb=0,∴lgab=0,即ab=1.A项,∵g(x)的定义域为{x|x>0},∴A错误;B项,由图象知指数函数单调递增,∴a>1,此时g(x)单调递增,满足条件;C项,由图象知指数函数单调递减,∴0D项,由图象知指数函数单调递增,∴a>1,此时g(x)单调递增,不满足条件.故答案为B.]例6 2解析 由题意知m2-m-1=1,解得m=2或-1,当m=-1时,幂函数f(x)=x-3在(0,+∞)上为减函数,不合题意,舍去;当m=2时,幂函数f(x)=x3在(0,+∞)上为增函数,满足题意,∴m=2.例7 -解析 由题意,得f(x)=lnx.由于函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称,可得g(x)=f(-x)=ln(-x),g(m)=-1,即ln(-m)=-1,解得m=-e-1=-.例8 解 (1)f()=log3()=-5,∴=3-5,∴x===38.(2)①若a>1,则f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴3a-1>a>1,解得a>1;②若0∴0<3a-1.综上,a的取值范围是(,)∪(1,+∞).(3)由题意知,当0logaa=3loga2a,解得a=;当a>1时,loga2a=3logaa,解得a=.∴a=或.例9 解 (1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,即a+1=0,解得a=-1.(2)f(x)=-3x+3-x,设x1>x2≥0,则f(x1)-f(x2)=3x2-3x1
图象
性质
定义域
R
值域
过定点
________,即当x=0时,y=________
单调性
在R上是________
奇偶性
非奇非偶函数
知识点五 对数的概念
1.定义
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以________为底________的对数.记作________________,a叫做对数的________,N叫做________.
2.特殊对数
3.对数和指数的关系
当a>0,a≠1时,ax=N⇔x=________.
4.对数的性质
(1)负数和0没有对数.
(2)loga1=0.
(3)logaa=1.
知识点六 对数的运算
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0.
(1)loga(M·N)=________________.
(2)loga
=________________.
(3)logaMN=________(N∈R).
(4)alogaN=N(对数恒等式).
(5)对数的换底公式:
logab=________________(a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1).
特别地,logab·logba=1(a>0,a≠1,b>0,b≠1).
知识点七 对数函数及其性质
1.对数函数的定义
一般地,我们把函数y=________(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中________是自变量,函数的定义域是________.
2.对数函数的图象及其性质
0图象性质定义域(0,+∞)值域R过定点过定点(1,0),即x=1时,y=0函数值的变化当01时,y>0当00,当x>1时,y<0单调性在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数知识点八 指数函数和对数函数的关系同底的指数函数与对数函数图象关于直线________对称,单调性________.知识点九 幂函数1.幂函数的概念一般地,函数________叫做幂函数,其中________是自变量,α是常数.2.幂函数的图象与性质幂函数y=xy=x2y=x3y=y=x-1图象定义域值域奇偶性奇函数单调性在R上是________x∈0,+∞)______,x∈(-∞,0]______在R上是________在0,+∞)上是增函数x∈(0,+∞)____,x∈(-∞,0)____公共点(1,1)例1 (2016年4月学考)对任意的正实数a及m,n∈Q,下列运算正确的是( )A.(am)n=am+nB.(am)n=amnC.(am)n=am-nD.(am)n=amn例2 (2016年10月学考)设函数f(x)=()x,g(x)=()x,其中e为自然对数的底数,则( )A.对于任意实数x恒有f(x)≥g(x)B.存在正实数x0使得f(x0)>g(x0)C.对于任意实数x恒有f(x)≤g(x)D.存在正实数x0使得f(x0)例3 (2016年4月学考)函数f(x)=2x+a(a∈R),若函数f(x)的图象过点(3,18),则a的值为________.例4 若loga(a2+1)A.(0,1)B.(,1)C.(0,)D.(1,+∞)例5 已知lga+lgb=0,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx的图象可能是( )例6 幂函数f(x)=(m2-m-1)在(0,+∞)上为增函数,则m=________.例7 在同一平面直角坐标系中,函数y=f(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称,函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称.若g(m)=-1,则m=________.例8 已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1).(1)若a=3,f()=-5,求x的值;(2)若f(3a-1)>f(a),求实数a的取值范围;(3)若函数f(x)在区间a,2a]上最大值是最小值的3倍,求a的值. 例9 已知定义在R上的奇函数f(x)=a·3x+3-x,a为常数.(1)求a的值;(2)用单调性定义证明f(x)在0,+∞)上是减函数;(3)解不等式f(x-1)+f(2x+3)<0. 一、选择题1.下列四类函数中,具有性质“对任意的x>0,y>0,函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)”的是( )A.幂函数B.对数函数C.指数函数D.余弦函数2.若log32=a,则log38-2log36用a表示为( )A.a-2B.a-1-a2C.5a-2D.3a-2-a23.设a=3,b=()0.2,c=,则( )A.aC.c4.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上是单调增函数的是( )A.y=B.y=|x|-1C.y=lgxD.y=()|x|5.对a(a>0且a≠1)取不同的值,函数y=loga的图象恒过定点P,则P的坐标为( )A.(1,0)B.(-2,0)C.(2,0)D.(-1,0)6.在同一平面直角坐标系中,函数y=ax(a>0,且a≠1)与函数y=(1-a)x的图象可能是( )7.设偶函数f(x)=loga|x+b|在(-∞,0)上单调递减,则f(b-2)与f(a+1)的大小关系是( )A.f(b-2)=f(a+1)B.f(b-2)>f(a+1)C.f(b-2)D.不能确定二、填空题8.已知幂函数f(x)的图象过点(2,),则f(x)的单调减区间为________.9.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数,其图象经过点(,a),则f(2)=________.10.若x+x-1=4,则+=________.11.已知f(x)=则f(log23)=________.12.函数f(x)=log2·(2x)的最小值为________.三、解答题13.已知函数f(x)=2x+k·2-x,k∈R.(1)若函数f(x)为奇函数,求实数k的值;(2)若对任意的x∈0,+∞),都有f(x)>2-x成立,求实数k的取值范围. 答案精析知识条目排查知识点一1.xn=a3.根指数 被开方数4.(1)a (2)|a| (3)0 (4)偶次知识点二 0 没有意义知识点三1.(1)ar+s (2)ars (3)arbr知识点四1.y=ax x R2.(0,+∞) (0,1) 1 增函数 减函数知识点五1.a N x=logaN 底数 真数3.logaN知识点六(1)logaM+logaN (2)logaM-logaN (3)NlogaM (5)知识点七1.logax x (0,+∞)知识点八y=x 相同知识点九1.y=xα x2.R R R 0,+∞) {x|x≠0} R 0,+∞) R 0,+∞) {y|y≠0} 奇函数 偶函数 非奇非偶 奇函数 增函数 递增 递减 增函数 递减 递减题型分类示例例1 D例2 D例3 10解析 由题意可得f(3)=23+a=18,得a=10.例4 B 因为a2+1-2a=(a-1)2>0(a≠1),所以a2+1>2a.由loga(a2+1)又loga2a<0=loga1,所以2a>1⇒a>.综上所述,例5 B ∵lga+lgb=0,∴lgab=0,即ab=1.A项,∵g(x)的定义域为{x|x>0},∴A错误;B项,由图象知指数函数单调递增,∴a>1,此时g(x)单调递增,满足条件;C项,由图象知指数函数单调递减,∴0D项,由图象知指数函数单调递增,∴a>1,此时g(x)单调递增,不满足条件.故答案为B.]例6 2解析 由题意知m2-m-1=1,解得m=2或-1,当m=-1时,幂函数f(x)=x-3在(0,+∞)上为减函数,不合题意,舍去;当m=2时,幂函数f(x)=x3在(0,+∞)上为增函数,满足题意,∴m=2.例7 -解析 由题意,得f(x)=lnx.由于函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称,可得g(x)=f(-x)=ln(-x),g(m)=-1,即ln(-m)=-1,解得m=-e-1=-.例8 解 (1)f()=log3()=-5,∴=3-5,∴x===38.(2)①若a>1,则f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴3a-1>a>1,解得a>1;②若0∴0<3a-1.综上,a的取值范围是(,)∪(1,+∞).(3)由题意知,当0logaa=3loga2a,解得a=;当a>1时,loga2a=3logaa,解得a=.∴a=或.例9 解 (1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,即a+1=0,解得a=-1.(2)f(x)=-3x+3-x,设x1>x2≥0,则f(x1)-f(x2)=3x2-3x1
(0,+∞)
过定点(1,0),即x=1时,y=0
函数值的变化
当01时,y>0
当00,当x>1时,y<0
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
知识点八 指数函数和对数函数的关系
同底的指数函数与对数函数图象关于直线________对称,单调性________.
知识点九 幂函数
1.幂函数的概念
一般地,函数________叫做幂函数,其中________是自变量,α是常数.
2.幂函数的图象与性质
幂函数
y=x
y=x2
y=x3
y=
y=x-1
奇函数
x∈0,+∞)______,x∈(-∞,0]______
在0,+∞)上是增函数
x∈(0,+∞)____,x∈(-∞,0)____
公共点
(1,1)
例1 (2016年4月学考)对任意的正实数a及m,n∈Q,下列运算正确的是( )
A.(am)n=am+n
B.(am)n=amn
C.(am)n=am-n
D.(am)n=amn
例2 (2016年10月学考)设函数f(x)=(
)x,g(x)=(
)x,其中e为自然对数的底数,则( )
A.对于任意实数x恒有f(x)≥g(x)
B.存在正实数x0使得f(x0)>g(x0)
C.对于任意实数x恒有f(x)≤g(x)
D.存在正实数x0使得f(x0)例3 (2016年4月学考)函数f(x)=2x+a(a∈R),若函数f(x)的图象过点(3,18),则a的值为________.例4 若loga(a2+1)A.(0,1)B.(,1)C.(0,)D.(1,+∞)例5 已知lga+lgb=0,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx的图象可能是( )例6 幂函数f(x)=(m2-m-1)在(0,+∞)上为增函数,则m=________.例7 在同一平面直角坐标系中,函数y=f(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称,函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称.若g(m)=-1,则m=________.例8 已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1).(1)若a=3,f()=-5,求x的值;(2)若f(3a-1)>f(a),求实数a的取值范围;(3)若函数f(x)在区间a,2a]上最大值是最小值的3倍,求a的值. 例9 已知定义在R上的奇函数f(x)=a·3x+3-x,a为常数.(1)求a的值;(2)用单调性定义证明f(x)在0,+∞)上是减函数;(3)解不等式f(x-1)+f(2x+3)<0. 一、选择题1.下列四类函数中,具有性质“对任意的x>0,y>0,函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)”的是( )A.幂函数B.对数函数C.指数函数D.余弦函数2.若log32=a,则log38-2log36用a表示为( )A.a-2B.a-1-a2C.5a-2D.3a-2-a23.设a=3,b=()0.2,c=,则( )A.aC.c4.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上是单调增函数的是( )A.y=B.y=|x|-1C.y=lgxD.y=()|x|5.对a(a>0且a≠1)取不同的值,函数y=loga的图象恒过定点P,则P的坐标为( )A.(1,0)B.(-2,0)C.(2,0)D.(-1,0)6.在同一平面直角坐标系中,函数y=ax(a>0,且a≠1)与函数y=(1-a)x的图象可能是( )7.设偶函数f(x)=loga|x+b|在(-∞,0)上单调递减,则f(b-2)与f(a+1)的大小关系是( )A.f(b-2)=f(a+1)B.f(b-2)>f(a+1)C.f(b-2)D.不能确定二、填空题8.已知幂函数f(x)的图象过点(2,),则f(x)的单调减区间为________.9.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数,其图象经过点(,a),则f(2)=________.10.若x+x-1=4,则+=________.11.已知f(x)=则f(log23)=________.12.函数f(x)=log2·(2x)的最小值为________.三、解答题13.已知函数f(x)=2x+k·2-x,k∈R.(1)若函数f(x)为奇函数,求实数k的值;(2)若对任意的x∈0,+∞),都有f(x)>2-x成立,求实数k的取值范围. 答案精析知识条目排查知识点一1.xn=a3.根指数 被开方数4.(1)a (2)|a| (3)0 (4)偶次知识点二 0 没有意义知识点三1.(1)ar+s (2)ars (3)arbr知识点四1.y=ax x R2.(0,+∞) (0,1) 1 增函数 减函数知识点五1.a N x=logaN 底数 真数3.logaN知识点六(1)logaM+logaN (2)logaM-logaN (3)NlogaM (5)知识点七1.logax x (0,+∞)知识点八y=x 相同知识点九1.y=xα x2.R R R 0,+∞) {x|x≠0} R 0,+∞) R 0,+∞) {y|y≠0} 奇函数 偶函数 非奇非偶 奇函数 增函数 递增 递减 增函数 递减 递减题型分类示例例1 D例2 D例3 10解析 由题意可得f(3)=23+a=18,得a=10.例4 B 因为a2+1-2a=(a-1)2>0(a≠1),所以a2+1>2a.由loga(a2+1)又loga2a<0=loga1,所以2a>1⇒a>.综上所述,例5 B ∵lga+lgb=0,∴lgab=0,即ab=1.A项,∵g(x)的定义域为{x|x>0},∴A错误;B项,由图象知指数函数单调递增,∴a>1,此时g(x)单调递增,满足条件;C项,由图象知指数函数单调递减,∴0D项,由图象知指数函数单调递增,∴a>1,此时g(x)单调递增,不满足条件.故答案为B.]例6 2解析 由题意知m2-m-1=1,解得m=2或-1,当m=-1时,幂函数f(x)=x-3在(0,+∞)上为减函数,不合题意,舍去;当m=2时,幂函数f(x)=x3在(0,+∞)上为增函数,满足题意,∴m=2.例7 -解析 由题意,得f(x)=lnx.由于函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称,可得g(x)=f(-x)=ln(-x),g(m)=-1,即ln(-m)=-1,解得m=-e-1=-.例8 解 (1)f()=log3()=-5,∴=3-5,∴x===38.(2)①若a>1,则f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴3a-1>a>1,解得a>1;②若0∴0<3a-1.综上,a的取值范围是(,)∪(1,+∞).(3)由题意知,当0logaa=3loga2a,解得a=;当a>1时,loga2a=3logaa,解得a=.∴a=或.例9 解 (1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,即a+1=0,解得a=-1.(2)f(x)=-3x+3-x,设x1>x2≥0,则f(x1)-f(x2)=3x2-3x1
例3 (2016年4月学考)函数f(x)=2x+a(a∈R),若函数f(x)的图象过点(3,18),则a的值为________.
例4 若loga(a2+1)A.(0,1)B.(,1)C.(0,)D.(1,+∞)例5 已知lga+lgb=0,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx的图象可能是( )例6 幂函数f(x)=(m2-m-1)在(0,+∞)上为增函数,则m=________.例7 在同一平面直角坐标系中,函数y=f(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称,函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称.若g(m)=-1,则m=________.例8 已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1).(1)若a=3,f()=-5,求x的值;(2)若f(3a-1)>f(a),求实数a的取值范围;(3)若函数f(x)在区间a,2a]上最大值是最小值的3倍,求a的值. 例9 已知定义在R上的奇函数f(x)=a·3x+3-x,a为常数.(1)求a的值;(2)用单调性定义证明f(x)在0,+∞)上是减函数;(3)解不等式f(x-1)+f(2x+3)<0. 一、选择题1.下列四类函数中,具有性质“对任意的x>0,y>0,函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)”的是( )A.幂函数B.对数函数C.指数函数D.余弦函数2.若log32=a,则log38-2log36用a表示为( )A.a-2B.a-1-a2C.5a-2D.3a-2-a23.设a=3,b=()0.2,c=,则( )A.aC.c4.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上是单调增函数的是( )A.y=B.y=|x|-1C.y=lgxD.y=()|x|5.对a(a>0且a≠1)取不同的值,函数y=loga的图象恒过定点P,则P的坐标为( )A.(1,0)B.(-2,0)C.(2,0)D.(-1,0)6.在同一平面直角坐标系中,函数y=ax(a>0,且a≠1)与函数y=(1-a)x的图象可能是( )7.设偶函数f(x)=loga|x+b|在(-∞,0)上单调递减,则f(b-2)与f(a+1)的大小关系是( )A.f(b-2)=f(a+1)B.f(b-2)>f(a+1)C.f(b-2)D.不能确定二、填空题8.已知幂函数f(x)的图象过点(2,),则f(x)的单调减区间为________.9.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数,其图象经过点(,a),则f(2)=________.10.若x+x-1=4,则+=________.11.已知f(x)=则f(log23)=________.12.函数f(x)=log2·(2x)的最小值为________.三、解答题13.已知函数f(x)=2x+k·2-x,k∈R.(1)若函数f(x)为奇函数,求实数k的值;(2)若对任意的x∈0,+∞),都有f(x)>2-x成立,求实数k的取值范围. 答案精析知识条目排查知识点一1.xn=a3.根指数 被开方数4.(1)a (2)|a| (3)0 (4)偶次知识点二 0 没有意义知识点三1.(1)ar+s (2)ars (3)arbr知识点四1.y=ax x R2.(0,+∞) (0,1) 1 增函数 减函数知识点五1.a N x=logaN 底数 真数3.logaN知识点六(1)logaM+logaN (2)logaM-logaN (3)NlogaM (5)知识点七1.logax x (0,+∞)知识点八y=x 相同知识点九1.y=xα x2.R R R 0,+∞) {x|x≠0} R 0,+∞) R 0,+∞) {y|y≠0} 奇函数 偶函数 非奇非偶 奇函数 增函数 递增 递减 增函数 递减 递减题型分类示例例1 D例2 D例3 10解析 由题意可得f(3)=23+a=18,得a=10.例4 B 因为a2+1-2a=(a-1)2>0(a≠1),所以a2+1>2a.由loga(a2+1)又loga2a<0=loga1,所以2a>1⇒a>.综上所述,例5 B ∵lga+lgb=0,∴lgab=0,即ab=1.A项,∵g(x)的定义域为{x|x>0},∴A错误;B项,由图象知指数函数单调递增,∴a>1,此时g(x)单调递增,满足条件;C项,由图象知指数函数单调递减,∴0D项,由图象知指数函数单调递增,∴a>1,此时g(x)单调递增,不满足条件.故答案为B.]例6 2解析 由题意知m2-m-1=1,解得m=2或-1,当m=-1时,幂函数f(x)=x-3在(0,+∞)上为减函数,不合题意,舍去;当m=2时,幂函数f(x)=x3在(0,+∞)上为增函数,满足题意,∴m=2.例7 -解析 由题意,得f(x)=lnx.由于函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称,可得g(x)=f(-x)=ln(-x),g(m)=-1,即ln(-m)=-1,解得m=-e-1=-.例8 解 (1)f()=log3()=-5,∴=3-5,∴x===38.(2)①若a>1,则f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴3a-1>a>1,解得a>1;②若0∴0<3a-1.综上,a的取值范围是(,)∪(1,+∞).(3)由题意知,当0logaa=3loga2a,解得a=;当a>1时,loga2a=3logaa,解得a=.∴a=或.例9 解 (1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,即a+1=0,解得a=-1.(2)f(x)=-3x+3-x,设x1>x2≥0,则f(x1)-f(x2)=3x2-3x1
A.(0,1)B.(
,1)
C.(0,
)D.(1,+∞)
例5 已知lga+lgb=0,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx的图象可能是( )
例6 幂函数f(x)=(m2-m-1)
在(0,+∞)上为增函数,则m=________.
例7 在同一平面直角坐标系中,函数y=f(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称,函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称.若g(m)=-1,则m=________.
例8 已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1).
(1)若a=3,f(
)=-5,求x的值;
(2)若f(3a-1)>f(a),求实数a的取值范围;
(3)若函数f(x)在区间a,2a]上最大值是最小值的3倍,求a的值.
例9 已知定义在R上的奇函数f(x)=a·3x+3-x,a为常数.
(1)求a的值;
(2)用单调性定义证明f(x)在0,+∞)上是减函数;
(3)解不等式f(x-1)+f(2x+3)<0.
一、选择题
1.下列四类函数中,具有性质“对任意的x>0,y>0,函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)”的是( )
A.幂函数B.对数函数
C.指数函数D.余弦函数
2.若log32=a,则log38-2log36用a表示为( )
A.a-2B.a-1-a2
C.5a-2D.3a-2-a2
3.设a=
3,b=(
)0.2,c=
,则( )
A.a
C.c4.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上是单调增函数的是( )A.y=B.y=|x|-1C.y=lgxD.y=()|x|5.对a(a>0且a≠1)取不同的值,函数y=loga的图象恒过定点P,则P的坐标为( )A.(1,0)B.(-2,0)C.(2,0)D.(-1,0)6.在同一平面直角坐标系中,函数y=ax(a>0,且a≠1)与函数y=(1-a)x的图象可能是( )7.设偶函数f(x)=loga|x+b|在(-∞,0)上单调递减,则f(b-2)与f(a+1)的大小关系是( )A.f(b-2)=f(a+1)B.f(b-2)>f(a+1)C.f(b-2)D.不能确定二、填空题8.已知幂函数f(x)的图象过点(2,),则f(x)的单调减区间为________.9.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数,其图象经过点(,a),则f(2)=________.10.若x+x-1=4,则+=________.11.已知f(x)=则f(log23)=________.12.函数f(x)=log2·(2x)的最小值为________.三、解答题13.已知函数f(x)=2x+k·2-x,k∈R.(1)若函数f(x)为奇函数,求实数k的值;(2)若对任意的x∈0,+∞),都有f(x)>2-x成立,求实数k的取值范围. 答案精析知识条目排查知识点一1.xn=a3.根指数 被开方数4.(1)a (2)|a| (3)0 (4)偶次知识点二 0 没有意义知识点三1.(1)ar+s (2)ars (3)arbr知识点四1.y=ax x R2.(0,+∞) (0,1) 1 增函数 减函数知识点五1.a N x=logaN 底数 真数3.logaN知识点六(1)logaM+logaN (2)logaM-logaN (3)NlogaM (5)知识点七1.logax x (0,+∞)知识点八y=x 相同知识点九1.y=xα x2.R R R 0,+∞) {x|x≠0} R 0,+∞) R 0,+∞) {y|y≠0} 奇函数 偶函数 非奇非偶 奇函数 增函数 递增 递减 增函数 递减 递减题型分类示例例1 D例2 D例3 10解析 由题意可得f(3)=23+a=18,得a=10.例4 B 因为a2+1-2a=(a-1)2>0(a≠1),所以a2+1>2a.由loga(a2+1)又loga2a<0=loga1,所以2a>1⇒a>.综上所述,例5 B ∵lga+lgb=0,∴lgab=0,即ab=1.A项,∵g(x)的定义域为{x|x>0},∴A错误;B项,由图象知指数函数单调递增,∴a>1,此时g(x)单调递增,满足条件;C项,由图象知指数函数单调递减,∴0D项,由图象知指数函数单调递增,∴a>1,此时g(x)单调递增,不满足条件.故答案为B.]例6 2解析 由题意知m2-m-1=1,解得m=2或-1,当m=-1时,幂函数f(x)=x-3在(0,+∞)上为减函数,不合题意,舍去;当m=2时,幂函数f(x)=x3在(0,+∞)上为增函数,满足题意,∴m=2.例7 -解析 由题意,得f(x)=lnx.由于函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称,可得g(x)=f(-x)=ln(-x),g(m)=-1,即ln(-m)=-1,解得m=-e-1=-.例8 解 (1)f()=log3()=-5,∴=3-5,∴x===38.(2)①若a>1,则f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴3a-1>a>1,解得a>1;②若0∴0<3a-1.综上,a的取值范围是(,)∪(1,+∞).(3)由题意知,当0logaa=3loga2a,解得a=;当a>1时,loga2a=3logaa,解得a=.∴a=或.例9 解 (1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,即a+1=0,解得a=-1.(2)f(x)=-3x+3-x,设x1>x2≥0,则f(x1)-f(x2)=3x2-3x1
4.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上是单调增函数的是( )
A.y=
B.y=|x|-1
C.y=lgxD.y=(
)|x|
5.对a(a>0且a≠1)取不同的值,函数y=loga
的图象恒过定点P,则P的坐标为( )
A.(1,0)B.(-2,0)
C.(2,0)D.(-1,0)
6.在同一平面直角坐标系中,函数y=ax(a>0,且a≠1)与函数y=(1-a)x的图象可能是( )
7.设偶函数f(x)=loga|x+b|在(-∞,0)上单调递减,则f(b-2)与f(a+1)的大小关系是( )
A.f(b-2)=f(a+1)
B.f(b-2)>f(a+1)
C.f(b-2)D.不能确定二、填空题8.已知幂函数f(x)的图象过点(2,),则f(x)的单调减区间为________.9.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数,其图象经过点(,a),则f(2)=________.10.若x+x-1=4,则+=________.11.已知f(x)=则f(log23)=________.12.函数f(x)=log2·(2x)的最小值为________.三、解答题13.已知函数f(x)=2x+k·2-x,k∈R.(1)若函数f(x)为奇函数,求实数k的值;(2)若对任意的x∈0,+∞),都有f(x)>2-x成立,求实数k的取值范围. 答案精析知识条目排查知识点一1.xn=a3.根指数 被开方数4.(1)a (2)|a| (3)0 (4)偶次知识点二 0 没有意义知识点三1.(1)ar+s (2)ars (3)arbr知识点四1.y=ax x R2.(0,+∞) (0,1) 1 增函数 减函数知识点五1.a N x=logaN 底数 真数3.logaN知识点六(1)logaM+logaN (2)logaM-logaN (3)NlogaM (5)知识点七1.logax x (0,+∞)知识点八y=x 相同知识点九1.y=xα x2.R R R 0,+∞) {x|x≠0} R 0,+∞) R 0,+∞) {y|y≠0} 奇函数 偶函数 非奇非偶 奇函数 增函数 递增 递减 增函数 递减 递减题型分类示例例1 D例2 D例3 10解析 由题意可得f(3)=23+a=18,得a=10.例4 B 因为a2+1-2a=(a-1)2>0(a≠1),所以a2+1>2a.由loga(a2+1)又loga2a<0=loga1,所以2a>1⇒a>.综上所述,例5 B ∵lga+lgb=0,∴lgab=0,即ab=1.A项,∵g(x)的定义域为{x|x>0},∴A错误;B项,由图象知指数函数单调递增,∴a>1,此时g(x)单调递增,满足条件;C项,由图象知指数函数单调递减,∴0D项,由图象知指数函数单调递增,∴a>1,此时g(x)单调递增,不满足条件.故答案为B.]例6 2解析 由题意知m2-m-1=1,解得m=2或-1,当m=-1时,幂函数f(x)=x-3在(0,+∞)上为减函数,不合题意,舍去;当m=2时,幂函数f(x)=x3在(0,+∞)上为增函数,满足题意,∴m=2.例7 -解析 由题意,得f(x)=lnx.由于函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称,可得g(x)=f(-x)=ln(-x),g(m)=-1,即ln(-m)=-1,解得m=-e-1=-.例8 解 (1)f()=log3()=-5,∴=3-5,∴x===38.(2)①若a>1,则f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴3a-1>a>1,解得a>1;②若0∴0<3a-1.综上,a的取值范围是(,)∪(1,+∞).(3)由题意知,当0logaa=3loga2a,解得a=;当a>1时,loga2a=3logaa,解得a=.∴a=或.例9 解 (1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,即a+1=0,解得a=-1.(2)f(x)=-3x+3-x,设x1>x2≥0,则f(x1)-f(x2)=3x2-3x1
D.不能确定
二、填空题
8.已知幂函数f(x)的图象过点(2,
),则f(x)的单调减区间为________.
9.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数,其图象经过点(
,a),则f
(2)=________.
10.若x+x-1=4,则
+
11.已知f(x)=
则f(log23)=________.
12.函数f(x)=log2
·
(2x)的最小值为________.
三、解答题
13.已知函数f(x)=2x+k·2-x,k∈R.
(1)若函数f(x)为奇函数,求实数k的值;
(2)若对任意的x∈0,+∞),都有f(x)>2-x成立,求实数k的取值范围.
答案精析
知识条目排查
知识点一
1.xn=a
3.根指数 被开方数
4.
(1)a
(2)|a| (3)0 (4)偶次
知识点二
0 没有意义
知识点三
1.
(1)ar+s
(2)ars (3)arbr
知识点四
1.y=ax x R
2.(0,+∞) (0,1) 1 增函数 减函数
知识点五
1.a N x=logaN 底数 真数
3.logaN
知识点六
(1)logaM+logaN
(2)logaM-logaN (3)NlogaM (5)
知识点七
1.logax x (0,+∞)
知识点八
y=x 相同
知识点九
1.y=xα x
2.R R R 0,+∞) {x|x≠0} R 0,+∞) R 0,+∞) {y|y≠0} 奇函数 偶函数 非奇非偶 奇函数 增函数 递增 递减 增函数 递减 递减
题型分类示例
例1 D
例2 D
例3 10
解析 由题意可得f(3)=23+a=18,得a=10.
例4 B 因为a2+1-2a=(a-1)2>0(a≠1),
所以a2+1>2a.
由loga(a2+1)又loga2a<0=loga1,所以2a>1⇒a>.综上所述,例5 B ∵lga+lgb=0,∴lgab=0,即ab=1.A项,∵g(x)的定义域为{x|x>0},∴A错误;B项,由图象知指数函数单调递增,∴a>1,此时g(x)单调递增,满足条件;C项,由图象知指数函数单调递减,∴0D项,由图象知指数函数单调递增,∴a>1,此时g(x)单调递增,不满足条件.故答案为B.]例6 2解析 由题意知m2-m-1=1,解得m=2或-1,当m=-1时,幂函数f(x)=x-3在(0,+∞)上为减函数,不合题意,舍去;当m=2时,幂函数f(x)=x3在(0,+∞)上为增函数,满足题意,∴m=2.例7 -解析 由题意,得f(x)=lnx.由于函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称,可得g(x)=f(-x)=ln(-x),g(m)=-1,即ln(-m)=-1,解得m=-e-1=-.例8 解 (1)f()=log3()=-5,∴=3-5,∴x===38.(2)①若a>1,则f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴3a-1>a>1,解得a>1;②若0∴0<3a-1.综上,a的取值范围是(,)∪(1,+∞).(3)由题意知,当0logaa=3loga2a,解得a=;当a>1时,loga2a=3logaa,解得a=.∴a=或.例9 解 (1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,即a+1=0,解得a=-1.(2)f(x)=-3x+3-x,设x1>x2≥0,则f(x1)-f(x2)=3x2-3x1
又loga2a<0=loga1,所以2a>1⇒a>
.
综上所述,
例5 B ∵lga+lgb=0,∴lgab=0,即ab=1.A项,∵g(x)的定义域为{x|x>0},∴A错误;B项,由图象知指数函数单调递增,∴a>1,此时g(x)单调递增,满足条件;C项,由图象知指数函数单调递减,∴0D项,由图象知指数函数单调递增,∴a>1,此时g(x)单调递增,不满足条件.故答案为B.]例6 2解析 由题意知m2-m-1=1,解得m=2或-1,当m=-1时,幂函数f(x)=x-3在(0,+∞)上为减函数,不合题意,舍去;当m=2时,幂函数f(x)=x3在(0,+∞)上为增函数,满足题意,∴m=2.例7 -解析 由题意,得f(x)=lnx.由于函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称,可得g(x)=f(-x)=ln(-x),g(m)=-1,即ln(-m)=-1,解得m=-e-1=-.例8 解 (1)f()=log3()=-5,∴=3-5,∴x===38.(2)①若a>1,则f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴3a-1>a>1,解得a>1;②若0∴0<3a-1.综上,a的取值范围是(,)∪(1,+∞).(3)由题意知,当0logaa=3loga2a,解得a=;当a>1时,loga2a=3logaa,解得a=.∴a=或.例9 解 (1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,即a+1=0,解得a=-1.(2)f(x)=-3x+3-x,设x1>x2≥0,则f(x1)-f(x2)=3x2-3x1
例5 B ∵lga+lgb=0,∴lgab=0,
即ab=1.
A项,∵g(x)的定义域为{x|x>0},
∴A错误;
B项,由图象知指数函数单调递增,
∴a>1,此时g(x)单调递增,满足条件;
C项,由图象知指数函数单调递减,
∴0D项,由图象知指数函数单调递增,∴a>1,此时g(x)单调递增,不满足条件.故答案为B.]例6 2解析 由题意知m2-m-1=1,解得m=2或-1,当m=-1时,幂函数f(x)=x-3在(0,+∞)上为减函数,不合题意,舍去;当m=2时,幂函数f(x)=x3在(0,+∞)上为增函数,满足题意,∴m=2.例7 -解析 由题意,得f(x)=lnx.由于函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称,可得g(x)=f(-x)=ln(-x),g(m)=-1,即ln(-m)=-1,解得m=-e-1=-.例8 解 (1)f()=log3()=-5,∴=3-5,∴x===38.(2)①若a>1,则f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴3a-1>a>1,解得a>1;②若0∴0<3a-1.综上,a的取值范围是(,)∪(1,+∞).(3)由题意知,当0logaa=3loga2a,解得a=;当a>1时,loga2a=3logaa,解得a=.∴a=或.例9 解 (1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,即a+1=0,解得a=-1.(2)f(x)=-3x+3-x,设x1>x2≥0,则f(x1)-f(x2)=3x2-3x1
D项,由图象知指数函数单调递增,
∴a>1,此时g(x)单调递增,不满足条件.
故答案为B.]
例6 2
解析 由题意知m2-m-1=1,
解得m=2或-1,
当m=-1时,幂函数f(x)=x-3在(0,+∞)上为减函数,不合题意,舍去;
当m=2时,幂函数f(x)=x3在(0,+∞)上为增函数,满足题意,∴m=2.
例7 -
解析 由题意,得f(x)=lnx.
由于函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称,
可得g(x)=f(-x)=ln(-x),g(m)=-1,
即ln(-m)=-1,解得m=-e-1=-
例8 解
(1)f(
)=log3(
)=-5,
∴
=3-5,∴x=
=
=38.
(2)①若a>1,则f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴3a-1>a>1,解得a>1;
②若0∴0<3a-1.综上,a的取值范围是(,)∪(1,+∞).(3)由题意知,当0logaa=3loga2a,解得a=;当a>1时,loga2a=3logaa,解得a=.∴a=或.例9 解 (1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,即a+1=0,解得a=-1.(2)f(x)=-3x+3-x,设x1>x2≥0,则f(x1)-f(x2)=3x2-3x1
∴0<3a-1.综上,a的取值范围是(,)∪(1,+∞).(3)由题意知,当0logaa=3loga2a,解得a=;当a>1时,loga2a=3logaa,解得a=.∴a=或.例9 解 (1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,即a+1=0,解得a=-1.(2)f(x)=-3x+3-x,设x1>x2≥0,则f(x1)-f(x2)=3x2-3x1
.综上,a的取值范围是(,)∪(1,+∞).(3)由题意知,当0logaa=3loga2a,解得a=;当a>1时,loga2a=3logaa,解得a=.∴a=或.例9 解 (1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,即a+1=0,解得a=-1.(2)f(x)=-3x+3-x,设x1>x2≥0,则f(x1)-f(x2)=3x2-3x1
综上,a的取值范围是(
,
)∪(1,+∞).
(3)由题意知,当0logaa=3loga2a,解得a=;当a>1时,loga2a=3logaa,解得a=.∴a=或.例9 解 (1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,即a+1=0,解得a=-1.(2)f(x)=-3x+3-x,设x1>x2≥0,则f(x1)-f(x2)=3x2-3x1
logaa=3loga2a,解得a=
;
当a>1时,loga2a=3logaa,解得a=
∴a=
或
例9 解
(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0,即a+1=0,解得a=-1.
(2)f(x)=-3x+3-x,
设x1>x2≥0,
则f(x1)-f(x2)=3x2-3x1
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