2422 直线与圆的位置关系第1课时.docx

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2422直线与圆的位置关系第1课时

24．2．2直线与圆的位置关系

教学目标

知识与技能

1．理解直线和圆的三种位置关系，会正确判断直线和圆的位置关系．

2．理解并掌握切线的判定定理、性质定理，能熟练运用切线的判定定理、性质定理进行证明或计算．

3．了解切线长的概念，理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并能应用它们解决实际问题．

过程与方法

1．经历探索直线与圆的位置关系的过程，感受类比、转化、数形结合等数学思想．

2．通过探究切线的有关问题，让学生经历观察、猜想、证明的过程，认识常规证明的分析方法和一些常规辅助线的添法．

3．通过经历探索切线长定理的过程，发展探究意识和体会并实践“试验－－－论证”的探究方法，以及解决实际问题的能力．

情感态度与价值观

1．从探索直线和圆的位置关系中，体会运动变化的观点，及量变到质变的辩证唯物主义观点，感受数学中的美感．

2．通过对开放性、运动型问题的研究，激发学生的探究热情，体会动静的相对性与和谐性．

3．通过情境设置引发学生的求知欲，体会吧复杂问题转化为简单问题后易于解决，从而树立解决问题的信心．

教学重难点

【重点】

1．探索直线与圆的位置关系的过程．

2．理解直线与圆的三种位置关系．

3．切线的概念以及切线的性质．

4．探索圆的切线的判定和性质，并能运用它们解决与圆的切线相关的计算和证明问题．

5．切线长定理及其运用．

【难点】

1．探索圆的切线的性质．

2．探索圆的切线的判定方法和解决相关问题时怎样添加辅助线．

3．切线长定理的内容及其证明和应用．

第1课时

整体设计

教学目标

1．理解直线和圆的位置关系的有关概念．

2．理解切线的判定定理、性质定理，并能应用它们解决实际问题．

过程与方法

1．经历探索直线与圆的位置关系的过程中，培养学生的探索能力．

2．通过直线和圆的位置关系的探索，向学生渗透类比、分类、数形结合的思想，培养学生观察、分析、概括、知识迁移的能力及灵活应用知识解决问题的能力．

情感态度与价值观

1．通过探索直线和圆的位置关系，体验数学活动充满着探索和创造，感受数学的严谨性和数学结论的确定性．

2．在数学活动中获得成功的体验，培养克服困难的意志，建立自信心．

教学重难点

【重点】切线的判定定理、性质定理以及运用它们解决问题．

【难点】直线和圆的位置关系的探索过程以及运用切线的性质和判定解决问题．

教学准备

【教师准备】多媒体课件1－6

【学生准备】预习课本P95－98

教学过程

新课导入

导入一：

【课件1】“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如图所示，如果我们把太阳看成一个圆，把地平线看成一条直线，太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？

由此你能得出直线和圆的位置关系吗？

【师生活动】教师播放太阳升起的动画图片，学生观察、思考、动手操作后小组交流。

共同归纳直线和圆的位置关系，学生回答各问题后，教师进修点评，到处新课．

导入二：

如图所示，在纸上画一条直线l，把钥匙看作一个圆，在纸上移动钥匙环，你能发现在移动钥匙环的过程中，它与直线l的公共点个数的变化情况吗？

导入三：

复习提问：

1．点和圆的位置关系有几种？

2．什么是点到直线的距离？

【设计意图】利用动画图片、动手操作形式导入新课，既能调动学生的学习兴趣，又能非常直观地感受到直线和圆的位置关系，学生在感受到数学产生于生活，与生活密切相关的同时，类比点和圆的位置关系，能轻松地归纳出直线和圆的位置关系．

新知构建

【过渡语】通过观察和操作，我们可以发现直线和圆的三种位置关系，我们这节课更深入地探究直线和圆的位置关系及应用．

一、直线和圆的位置关系

【课件2】直线和圆的三种位置关系．

相交：

直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．

相切：

直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．

相离：

直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．

共同探究1：

1．动手操作：

画出直线和圆的三种位置关系，并作出圆心到直线的距离．

2．思考：

设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，你能仿照点和圆的位置关系中，点到圆心的距离d与半径r之间的数量关系，用圆心到直线l的距离d和半径r的数量关系来揭示直线和圆的三种位置关系吗？

【师生活动】学生动手画图，思考后小组内交流，学生展示后，教师点评．

【课件3】如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：

直线l与⊙O相交d＜r，

直线l与⊙O相切d＝r，

直线l与⊙O相离d＞r．

共同探究2：

判定直线和圆的位置关系有几种方法？

（两种：

公共点的个数；d与r的大小关系．）

填表：

直线和圆的位置关系

相交

相切

相离

公共点个数

圆心到直线的距离为d与r的关系

【师生活动】思考回答，师生共同完成表格．

【设计意图】学生通过动手操作，观察，思考，交流，归纳等探究过程，用类比思想和数形结合思想思考问题、解决问题，体验知识的形成过程，很轻松地得出结论，同时使得数学思维和能力得到提升．

【过渡语】下面，我们重点研究直线和圆相切的情况．

二、切线的判定定理

共同探究1：

思考：

如图所示，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？

直线l与⊙O有什么位置关系？

教师引导：

1．圆心O到直线l的距离是______，与⊙O的半径的大小关系是_______，所以直线l与⊙O的位置关系是__________．

2．该命题的已知条件是________________，结论是______________，用语言叙述该命题为_____________________________________．

【师生活动】学生在教师的引导下思考回答，尝试用语言叙述该命题，教师引导归纳出切线的判定定理．

3．已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？

（过该点作半径的垂线．）

4．如何证明一条直线是圆的切线？

（过半径的外端点，且垂直于这条半径．）

5．你能举出生活中直线与圆相切的实例吗？

【课件4】切线的判定定理：

经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

共同探究2：

1．动手操作：

画一个⊙O及半径OA，过点A作l⊥OA．

2．观察所画图形，猜想直线l与⊙O的位置关系是什么？

你能证明你的猜想吗？

3．根据操作过程和结论可知，该命题的条件和结论是什么？

4．你能用语言叙述这个命题吗？

【师生活动】学生动手画图，小组合作交流，教师在巡视过程中帮助有困难的学生，学生展示后，教师点评．

5．如何证明一条直线是圆的切线？

6．你能举出生活中直线与圆相切的实例吗？

（学生思考回答，教师点评，课件展示结论．）

【课件4】切线的判定定理：

经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

【设计意图】学生通过动手，动脑，在教师的引导下，发现结论、证明结论、应用结论，在探究过程中经历了知识的形成过程，培养了探索精神，体验到了学习数学的快乐，同时通过列举生活中的现象，让学生发现生活中处处有数学．

三．切线的性质定理

【思考】切线的判定定理的逆命题是什么？

您能用反证法证明？

已知：

如图所示，直线l是⊙O的切线，切点为A．求证：

半径OA与直线l垂直．

证明：

假设OA与l不垂直，过点O作OM⊥l，垂足为M，根据垂线段最短的性质，有OM＜OA，这说明圆心O到直线l的距离

小于半径OA，于是直线l与圆相交，而这与直线l是⊙O的切线矛盾，因此，半径OA与直线l垂直．

【课件5】切线的性质定理：

圆的切线垂直于过切点的半径．

【课件6】（教材例1）如图

（1）所示，⊿ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，求证：

AC是⊙O的切线．

教师引导：

根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OE是⊙O的半径就可以了，而OD是⊙O的半径，因此需要证明OE＝OD．

证明：

如图

（2）所示，过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA．

∵⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AB，又⊿ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径，这样，AC经过⊙O的半径OE的外端E，所以AC是⊙O的切线．

【设计意图】通过例题让学生学以致用，在应用过程中加深对切线的性质和判定的理解，培养学生的应用意识和能力，体会数学的严谨性．

【知识拓展】1．判定直线和圆的位置关系有两种途径：

一是通过直线与圆的交点的个数来判定；二是通过圆心到直线的距离与半径的大小关系来判定．

2．利用切线的判定定理需满足两个条件：

①经过半径的外端；②与半径垂直，两个条件缺一不可，否则不一定是切线，如下图所示，这里的直线l都不是⊙O的切线．

3．判定一条直线是圆的切线的方法：

（1）若直线与圆只有1个公共点，则直线是圆的切线；

（2）若圆心到直线的距离等于半径，则直线是圆的切线；（3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

4．利用切线的判定定理进行证明时，当直线和圆有公共点时，连接过公共点的半径，然后证明直线垂直于这条半径，简称为“作半径，证垂直”；当直线与圆的公共点不明确时，可通过圆心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于圆的半径，简称为“作垂直，证半径”．

3课堂小结

1．直线和圆的位置关系：

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：

直线l与⊙O相交d＜r；直线l与⊙O相切d＝r；直线l与⊙O相离d＞r．

2．切线的判定定理：

经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

3．切线的性质定理：

圆的切线垂直于过切点的半径．

4．运用切线的性质和判定定理时常的辅助线：

连接半径、过圆心作直线的垂线．

检测反馈

1．已知⊙O的半径为6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（）

A．相离B．相切C．相交D．无法判断

解析：

圆心到直线的距离是d＝5，圆的半径r＝6，满足d＜r，所以直线与圆相交，故选C．

2．如图所示，若⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，切线CD与AB的延长线交于点D，且⊙O的半径为2，则CD的长为（）

A．2

B．4

C．2D．4

解析：

连接OC，BC，则OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠COD＝∠A＋∠ACO＝60°，∵CD是圆的切线，∴∠OCD＝90°，∴∠D＝30°，又OC＝2，∴OD＝2OC＝4，∴CD＝

＝2

．故选A．

3．如图所示，PA是⊙O的切线，切点为A，PA＝2

，∠APO＝30°，则⊙O的半径长为________________．

解析：

连接OA，∵PA是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥PA．∵∠APO＝30°，∴OP＝2OA．设OA＝x（x＞0），则OP＝2x，由勾股定理可得

，解得x＝2，∴⊙O的半径长为2．故填2．

4．如图所示，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，∠A＝∠B＝30°，BD交⊙O于点D．

（1）BD是⊙O的切线吗？

为什么？

（2）若AC＝10，求线段BD的长度．

解：

（1）BD是⊙O的切线．理由如下：

∵∠A＝∠B＝30°，∴∠ADB＝180°－30°－30°＝120°，∵AO＝DO，∴∠ADO＝∠A＝30°，∴∠ODB＝120°－30°＝90°，∴BD是⊙O的切线．

（2）∵AC＝10，∴CO＝DO＝5，∵∠B＝30°，∴BO＝2DO＝10，在Rt⊿OBD中，BD＝

＝

＝5

．

板书设计

第1课时

直线和圆的位置关系：

相交、相切、相离．

切线的判定定理

切线的性质定理

例1

布置作业

一、教材作业

【必做题】教材第101页习题24．2的2，4，5题．

【选做题】教材第102页习题24．2的12题．

二、课后作业

【基础巩固】

1．已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d＝r时，直线l与⊙O的位置关系是（）

A．相交B．相切C．相离D．以上都不对

2．下列说法正确的是（）

A．与圆有公共点的直线是圆的切线　B．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线

3．如图所示，AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，若⊙O的直径为8cm，AB＝10cm，那么OA的长为（）

A．

cmB．

cmC．

cmD．

cm

4．已知⊙O的半径为5cm，O到直线a的距离为3cm，则⊙O与直线a的位置关系是________________，直线a与⊙O的公共点个数是__________________．

5．如图所示，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO＝5，PA切⊙O于点A点，则PA＝__________________．

6．如图所示，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆半径为10cm，小圆的半径为6cm，则弦AB的长为__________________cm．

7．如图所示，直线AB与⊙O相切于点B，BC是⊙O的直径，AC交⊙O于点D，连接BD，则图中直角三角形共有__________________个．

8．如图所示，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于C，若∠A＝25°，求∠D的度数．

9．如图所示，⊿ABC内接于圆O，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC＝∠ABC，

（1）求证：

MN是圆O的切线；

（2）设D是

的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F，求证：

FD＝FG．

【能力提升】

10．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2

的☉P的圆心P的坐标为（－3，0），将☉P沿x轴正方向平移，使☉P与y轴相切，则平移的距离为（）

A．1B．1或5

C．3D．5

11．如图所示，AB是☉O的直径，点F，C是☉O上两点，且

，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D．

（1）求证：

CD是☉O的切线;

（2）

若CD＝

，求☉O的半径．

【拓展探究】

12．如图所示，在Rt∆ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作☉O交AB于点D，连接CD．

（1）求证：

∠A＝∠BCD

（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与☉O相切？

并说明理由．

【答案与解析】

1.B（解析：

如果☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：

直线l与☉O相交

d＝r;直线l与☉O相切

d＝r;直线l与☉O相离

d>r．故选B．）

2.B（解析：

与圆有唯一的公共点的直线是圆的切线，所以A错误;圆心到直线的距离等于半径，则直线是圆的切线，所以B正确;过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，强调过半径的外端和垂直，所以C，D错误．故选B．）

3.A（解析：

连接OC，∵OA＝OB，AB为切线，∴OC丄AB，AC＝BC，又AB＝10cm，∴AC＝5cm，

∵OC＝4cm，∴由勾股定理可得OA＝

cm故选A）

4.相交2（解析：

圆心O到直线的距离d

5.4（解析：

∵PA切☉O于A点，∴OA丄PA，在Rt∆OPA中，OP＝5，OA＝3，∴PA＝

故填4．）

6．16（解析：

连接OA，OC．由切线的性质可得OC⊥AB，则在Rt∆OAC中，AC＝

（cm），由垂径定理可得AB＝2AC＝16cm．故填16．）

7．3（解析：

∵BC是☉O的直径，∴BD⊥AC，∵直线AB与☉O相切于点B，∴AB⊥CB，∴∆ABD，∆ABC，∆BDC都是直角三角形，∴共有3个直角三角形，故填3）

8．解：

连接OC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝25°，∴∠DOC＝50°，∵DC切☉O于C，∴∠OCD＝90°，∴∠D＝40°．

9．证明：

（1）∵AB是直径，••∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠ABC＝90°，∵∠MAC＝∠ABC，∴∠MAC＋∠CAB＝90°，即MN丄AB，∴MN是圆O的切线．

（2）∵D是

的中点，∴∠DBC＝∠ABD，∵AB是直径，∴∠CBG＋∠CGB＝90°，∵DE丄AB，∴∠FDG＋∠ABD＝90°，∵∠DBC＝∠ABD，∴∠FDG＝∠CGB＝∠FGD，∴FD＝FG．

10．B（解析：

当☉P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当☉P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故选B．）

11．

（1）证明：

连接OC，如图所示．∵

，∴∠FAC＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠FAC＝∠OCA，∴OC‖AF，∵CD⊥AF，∴CD丄OC，∴CD是☉O的切线．

（2）解：

连接BC，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵

，∴∠BOC＝

，∴∠BAC＝30°，∴∠DAC＝30°，在Rt∆ADC中，CD＝2

∴AC＝2CD＝4

，在Rt∆ACB中，BC＝

，∴AB＝2BC＝2OA＝8，∴☉O的半径为4．

12．

（1）证明：

∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠A＋∠DCA＝90°，∵∠ACB＝90°，∠DCB＋∠ACD＝90°，∠A＝∠DCB．

（2）解：

如图所示，当MC＝MD，即点M是BC的中点时，直线DM与☉O相切．理由如下：

连接DO，∵DO＝CO，∴∠1＝∠2，∵CM＝DM，∴∠4＝∠3，∵∠2＋∠4＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∴直线DM与☉O相切．

教材习题解答

练习（教材第96页）

解：

圆的半径为

＝6．5（cm）．

（1）∵6．5cm>4．5cm，∴直线与圆相交，有两个公共点．

（2）∵6．5cm＝6．5cm，∴直线与圆相切，有一个公共点．（3）∵8cm>6．5cm，∴直线与圆相离，无公共点。

练习（教材第98页）

1．证明：

∵AT＝AB，∴∠T＝∠ABT＝45°，∴∠TAB＝90°，即AB丄TA，又∵AB是☉O的直径，∴AT是☉0的切线．

2．解：

l1‖l2．证明如下：

∵直线l1，l2是☉0的切线，∴AB⊥l1，AB⊥l2，∴l1‖l2．

备课资源

教学建议

1．本节课首先讨论了直线和圆的位置关系，然后重点研究了直线和圆相切的情况，给出了直线和圆相切的判定定理和性质定理，直线和圆相切的判定定理和性质定理的条件和结论容易混淆，所以这两个定理的教学是本节课的难点．以生活实际导人新课，用类比点和圆的位置关系所对应的数量关系，轻松突破直线和圆的位置关系所对应的数量关系这一重点．探究切线的判定和性质，让学生经历动手操作、观察思考、合作交流、归纳总结的知识形成过程，深人思考和分析，突出课堂上学生的主体作用，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高数学思维．

2．本节课难点较多，所以让学生在课堂上真正动起来，让学生的思维处于活跃状态，积极思考问题，难点就会容易解决．课堂教学不是热闹场面，而是对问题的深人研究和思考，所以要设计好问题，针对不同意见和问题，引导学生讨论、交流，学生能自己找到答案的，如直线和圆的三种位置关系，放手让学生活动，对学生理解有难度的问题，要设计好教师的引导，在教师的引导下，有目的地讨论、交流，让学生的思维在课堂上保持活跃高效．

经典例题

例题：

如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1cm的☉P的圆心在射线OA上，开始时，PO＝6cm，如果☉P以1cm/秒的速度沿由A向B的方向移动（保持圆心P在射线OA上），那么当☉P的运动时间t（秒）满足什么条件时，☉P与直线CD相交？

（解析）本题求t为何值时☉P与直线CD相交，则可以先求出t为何值时☉P与CD相切．要注意考虑到☉P的圆心在射线OA上，不能把☉P在射线OA上运动当作在直线AB上运动．

解:

如图所示，当☉P运动到☉

，☉P与CD相切．作

E丄CD于E．

∵☉P的半径为1cm，

∴PE＝1cm．

又∠AOC＝30°，

E丄CD，

∴

O＝2cm，∴t＝6－2＝4．

当☉P的圆心运动到点O，即☉

时，☉P与CD相交，此时t＝6．结合图形可知：

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