18版高中数学第四章导数应用章末复习课学案北师大版选修11.docx

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18版高中数学第四章导数应用章末复习课学案北师大版选修11

第四章导数应用

学习目标

　1.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.2.会用导数解决一些简单的实际应用问题．

知识点一　函数的单调性、极值与导数

1．函数的单调性与导数

在某个区间（a，b）内，如果__________，那么函数y＝f（x）在这个区间内是增加的；如果__________，那么函数y＝f（x）在这个区间内是减少的．

2．函数的极值与导数

（1）极大值：

在点x＝a附近，满足f（a）≥f（x），当xa时，__________，则点a叫作函数的极大值点，f（a）叫作函数的极大值；

（2）极小值：

在点x＝a附近，满足f（a）≤f（x），当xa时，__________，则点a叫作函数的极小值点，f（a）叫作函数的极小值．

知识点二　求函数y＝f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤

1．求函数y＝f（x）在（a，b）内的________．

2．将函数y＝f（x）的各极值与__________________________________________________

比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

类型一　导数中的数形结合思想

例1　已知函数y＝xf′（x）的图像如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则y＝f（x）的图像大致是（　　）

反思与感悟　研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要素．对于原函数，要重点考查其图像在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致．

跟踪训练1　函数f（x）＝lnx－

x2的大致图像是（　　）

类型二　构造函数求解

命题角度1　比较函数值的大小

例2　已知定义域为R的奇函数y＝f（x）的导函数为y＝f′（x），当x≠0时，f′（x）＋

<0，若a＝

f（

），b＝－

f（－

），c＝（ln

）f（ln

），则a，b，c的大小关系正确的是（　　）

A．a

反思与感悟　本例中根据条件构造函数g（x）＝xf（x），通过g′（x）确定g（x）的单调性，进而确定函数值的大小，此类题目的关键是构造出恰当的函数．

跟踪训练2　设f（x）、g（x）是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′（x）g（x）－f（x）g′（x）<0，则当a

A．f（x）g（x）>f（b）g（b）

B．f（x）g（a）>f（a）g（x）

C．f（x）g（b）>f（b）g（x）

D．f（x）g（x）>f（a）g（a）

命题角度2　求解不等式

例3　定义域为R的可导函数y＝f（x）的导函数f′（x），满足f（x）2ex的解集为（　　）

A．（－∞，0）B．（－∞，2）

C．（0，＋∞）D．（2，＋∞）

反思与感悟　根据所求结论与已知条件，构造函数g（x）＝

，通过导函数判断g（x）的单调性，利用单调性得到x的取值范围．

跟踪训练3　函数f（x）的定义域为R，f（－1）＝2，对任意x∈R，f′（x）>2，则f（x）>2x＋4的解集为（　　）

A．（－1,1）B．（－1，＋∞）

C．（－∞，－1）D．（－∞，＋∞）

类型三　利用导数研究函数的极值与最值

例4　已知函数f（x）＝x3＋ax2＋b的图像上一点P（1,0），且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数f（x）在区间[0，t]（0

（3）在

（1）的结论下，关于x的方程f（x）＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．

反思与感悟　

（1）求极值时一般需确定f′（x）＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点．

（2）求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．

跟踪训练4　已知函数f（x）＝ax3＋（a－1）x2＋48（a－2）x＋b的图像关于原点成中心对称．

（1）求a，b的值；

（2）求f（x）的单调区间及极值；

（3）当x∈[1,5]时，求函数的最值．

类型四　导数的综合应用

例5　已知函数f（x）＝x3－ax－1.

（1）若f（x）在实数集R上单调递增，求a的取值范围；

（2）是否存在实数a，使f（x）在（－1,1）上是减少的，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．

反思与感悟　在已知函数f（x）是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令f′（x）≥0（或f′（x）≤0）恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解），然后检验参数的取值能否使f′（x）恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f′（x）不能恒等于0，则由f′（x）≥0（或f′（x）≤0）恒成立解出的参数的取值范围来确定．

跟踪训练5　

（1）若函数f（x）＝4x3－ax＋3的单调递减区间是

，则实数a的值是多少？

（2）若函数f（x）＝4x3－ax＋3在

上是单调函数，则实数a的取值范围为多少？

1．已知函数f（x）＝x3＋bx2＋cx的图像如图所示，则x

＋x

等于（　　）

A.

B.

C.

D.

2．已知f（x）是定义在（0，＋∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）＋f（x）≤0，对任意的正数a，b，若a

A．bf（b）≤af（a）B．bf（a）≤af（b）

C．af（a）≤bf（b）D．af（b）≤bf（a）

3．设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y＝f（x）和y＝f′（x）的图像画在同一个直角坐标系中，则不可能正确的是（　　）

4．已知函数f（x）＝

在（－2，＋∞）内是减少的，则实数a的取值范围为________．

5．已知函数f（x）＝2lnx＋

（a>0），若当x∈（0，＋∞）时，f（x）≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．

导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法．

答案精析

知识梳理

知识点一

1．f′（x）>0　f′（x）<0

2．

（1）f′（x）>0　f′（x）<0　

（2）f′（x）<0　f′（x）>0

知识点二

1．极值

2．端点处函数值f（a），f（b）

题型探究

例1　C　[当0

∴f′（x）<0，故y＝f（x）在（0,1）上为减函数，

排除A、B选项．

当10，

∴f′（x）>0，

故y＝f（x）在（1,2）上为增函数，

因此排除D.]

跟踪训练1　B　[函数f（x）＝lnx－

x2的定义域为（0，＋∞），

f′（x）＝

－x＝

＝

.

令f′（x）>0，得

>0.

又因为x>0，所以（1＋x）（1－x）>0，

所以0

同理，令f′（x）<0，解得x>1.

于是当0

当x>1时，函数f（x）是减函数；

当x＝1时，f（x）＝－

<0.结合以上特征可知应选B.]

例2　B　[令g（x）＝xf（x），

则g（－x）＝（－x）f（－x）＝xf（x），

∴g（x）是偶函数．

g′（x）＝f（x）＋xf′（x），

∵f′（x）＋

<0，

∴当x>0时，xf′（x）＋f（x）<0，

当x<0时，xf′（x）＋f（x）>0.

∴g（x）在（0，＋∞）上是减函数．

∵

，

∴g（

）

）．

∵g（x）是偶函数，

∴g（－

）＝g（

），g（ln

）＝g（ln2），

∴g（－

）

）

）．

故选B.]

跟踪训练2　C　[由条件，得[

]′

＝

<0，

∴

在（a，b）上是减函数．

∴

<

<

，

∴f（x）g（b）>f（b）g（x）．]

例3　C　[设g（x）＝

，

则g′（x）＝

.

∵f（x）0，

即函数g（x）单调递增．

∵f（0）＝2，∴g（0）＝f（0）＝2，

则不等式等价于g（x）>g（0）．

∵函数g（x）单调递增，

∴x>0，即不等式的解集为（0，＋∞），

故选C.]

跟踪训练3　B　[令g（x）＝f（x）－2x－4，∵f′（x）>2，

则g′（x）＝f′（x）－2>0.

又由g（－1）＝f（－1）－2×（－1）－4＝0，

得g（x）>0，

即g（x）>g（－1）的解为x>－1，

∴f（x）>2x＋4的解集为（－1，＋∞）．]

例4　解　

（1）因为f′（x）＝3x2＋2ax，曲线在P（1,0）处的切线斜率为f′

（1）＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.

又函数过（1,0）点，即－2＋b＝0，b＝2.

所以a＝－3，b＝2，f（x）＝x3－3x2＋2.

（2）由f（x）＝x3－3x2＋2，得

f′（x）＝3x2－6x.

由f′（x）＝0，得x＝0或x＝2.

①当0

②当2

x

0

（0,2）

2

（2，t）

t

f′（x）

0

－

0

＋

＋

f（x）

2

－2

t3－3t2＋2

f（x）min＝f

（2）＝－2，

f（x）max为f（0）与f（t）中较大的一个．

因为f（t）－f（0）＝t3－3t2＝t2（t－3）<0，

所以f（x）max＝f（0）＝2.

（3）令g（x）＝f（x）－c＝x3－3x2＋2－c，

则g′（x）＝3x2－6x＝3x（x－2）．

当x∈[1,2）时，g′（x）<0；当x∈（2,3]时，g′（x）>0.

要使g（x）＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，

则

　解得－2

即实数c的取值范围为（－2,0]．

跟踪训练4　解　

（1）∵函数f（x）的图像关于原点成中心对称，

则f（x）是奇函数，

∴f（－x）＝－f（x），

即－ax3＋（a－1）x2－48（a－2）x＋b

＝－ax3－（a－1）x2－48（a－2）x－b，

于是2（a－1）x2＋2b＝0恒成立，

∴

解得a＝1，b＝0.

（2）由

（1）得f（x）＝x3－48x，

∴f′（x）＝3x2－48＝3（x＋4）（x－4），

令f′（x）＝0，得x1＝－4，x2＝4.

令f′（x）<0，得－40，

得x<－4或x>4.

∴f（x）的递减区间为（－4,4），递增区间为（－∞，－4）和（4，＋∞）．

∴f（x）极大值＝f（－4）＝128，

f（x）极小值＝f（4）＝－128.

（3）由（2