三角函数公式的总结.docx

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三角函数公式的总结

三角函数公式的总结

三角函数公式的总结

解答三角高考题的一般策略：

（1）发现差异：

观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：

运用相关三角公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：

选择恰当的三角公式，促使差异的转化。

三角函数恒等变形的基本策略：

（1）常值代换：

特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：

sin2x+2cos2x=（sin2x+cos2x）+cos2x=1+cos2x；配凑角：

α=（α+β）－β，β=

－

等。

解法二：

（从“名”入手，异名化同名）

解法三：

（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）

解法四：

（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）

［注］在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法。

定义

它有六种基本函数（初等基本表示）：

三角函数数值表

（斜边为r，对边为y，邻边为x。

）

　　在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有

　　正弦函数sinθ=y/r正弦（sin）:

角α的对边比斜边

　　余弦函数cosθ=x/r余弦（cos）:

角α的邻边比斜边

　　正切函数tanθ=y/x正切（tan）:

角α的对边比邻边

　　余切函数cotθ=x/y余切（cot）:

角α的邻边比对边

　　正割函数secθ=r/x正割（sec）:

角α的斜边比邻边

　　余割函数cscθ=r/y余割（csc）:

角α的斜边比对边

定义域与值域？

？

　sinα定义域无穷，值域[-1，+1]

　cosα定义域无穷，值域[-1，+1]

　tanα的定义域（-π/2+kπ，π/2+kπ），k属于整数，值域无穷

注意点：

周期性对解题的影响（圆周造成的多解）

图形

公式：

同角三角函数关系式

最基本的公式：

sin^2（α）+cos^2（α）=1

　　tan^2（α）+1=sec^2（α）

　　cot^2（α）+1=csc^2（α）

　　sinα=tanα×cosα

　　cscα=secα×cotα

　　tanα·cotα＝1

　　·对称性

　　180度-α的终边和α的终边关于y轴对称。

　　-α的终边和α的终边关于x轴对称。

　　180度+α的终边和α的终边关于原点对称。

　　180度-α的终边关于y=x对称。

　　sinβ

　　cosβ

　　tanβ

　　cotβ

　　secβ

　　cscβ

360k+α

sinα

cosα

tanα

cotα

secα

cscα

90°-α

cosα

sinα

cotα

tanα

cscα

secα

90°+α

cosα

-sinα

-cotα

-tanα

-cscα

secα

180°-α

sinα

-cosα

-tanα

-cotα

-secα

cscα

180°+α

-sinα

-cosα

tanα

cotα

-secα

-cscα

270°-α

-cosα

-sinα

cotα

tanα

-cscα

-secα

270°+α

-cosα

sinα

-cotα

-tanα

cscα

-secα

360°-α

-sinα

cosα

-tanα

-cotα

secα

-cscα

﹣α

-sinα

cosα

-tanα

-cotα

secα

-cscα

　　·两角和与差的三角函数

　　cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ

　　cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ

　　sin（α±β）=sinα·cosβ±cosα·sinβ

　　tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）

　　tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）

　　·和差化积公式：

　　sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]

　　sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]

　　cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]

　　cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]

　　·积化和差公式：

　　sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]

　　cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]

　　cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]

　　sinα·sinβ=-（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]

　　·倍角公式：

　　sin（2α）=2sinα·cosα=2/（tanα+cotα）

　　cos（2α）=（cosα）^2-（sinα）^2=2（cosα）^2-1=1-2（sinα）^2　

　　tan（2α）=2tanα/（1-tan^2α）

　　·半角公式：

　　sin（α/2）=±√（（1-cosα）/2）

　　cos（α/2）=±√（（1+cosα）/2）

　　tan（α/2）=±√（（1-cosα）/（1+cosα））=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα

　　·辅助角公式：

　　Asinα+Bcosα=√（A^2+B^2）sin（α+φ）（tanφ=B/A）

　　Asinα-Bcosα=√（A^2+B^2）cos（α-φ）（tanφ=-A/B）

　　·万能公式

　　sin（a）=（2tan（a/2））/（1+tan^2（a/2））

　　cos（a）=（1-tan^2（a/2））/（1+tan^2（a/2））

　　tan（a）=（2tan（a/2））/（1-tan^2（a/2））

　　·降幂公式

　　sin^2α=（1-cos（2α））/2=versin（2α）/2

　　cos^2α=（1+cos（2α））/2=covers（2α）/2

　　tan^2α=（1-cos（2α））/（1+cos（2α））