式中/是沿导线轴的长度变量,R是从轴上源点指向导线表面的场点之间的距离。
想要用计算机对上述方程求解,则需对上面的方程离散化。
积分可近似为沿N个小段积分的总和,此时,在每个小段上视I和q为常数。
在积分所处的相同区间上,导数可由有限差分来近似。
图2表明将导线轴划分为N个小段。
第n小段由始点
«,中点n和终点;组成,增量△仃表明是在7和:
之间,和M
nn
分别表示增量沿/上移动负的和正的二分之一增量。
所需要的式
(6)至(9)的近似为
-目伽"-沟乐肋-①伽)一①⑷)
-jkK
如)〃弓伽L石評
兀)二如1)5)
同时还有类似于式(12)和式(13)的①(川)和b(")的方程式。
由式(13)可以看出,各个<7可以用各个I来表示。
因此,式
(10)可以写成只包含的形式。
我们可以认为由式(10)表
示的N个方程是一个带有端子对(;丘)的N端口网络方程。
外加
到每个端口的电压近似为因此,定义矩阵
V⑴'
公⑴・纠'
/⑵
•
■
卩]=
•
"(N)'
、Egg
(/)=
式,便可以得到矩阵[Z]的元素。
另一方面,可将式(10)至
(13)用于两个孤立元素而直接得出阻抗元素。
我们要用的是
后一种方式,因为它比较容易做到。
现在研究如图3所示的两个代表性的导线散射体元。
式(11)
fl
0-从dl
和式(12)具有相同的积分形式,即可以表示为
(16)
in
+
式中心,是从M上一点到m点的距离。
符号+与—在适当的时候加在m与n上。
令图3的元素n由一个线电流I(n)和静电荷为
的两个线电荷组成。
式中qS°由式(11),在m点由1(11)产
生的矢位为
(18)
在加和加点由式(17)的电荷产生的标位为
①(加)=[/(”)屮⑺丿?
)-/(/|)^(/?
/«)]
j3£
①("?
)=——[/(”)屮(儿加)-/(")¥("「")]jcos
将式(18)和式(19)代入式(10).且形成乙顾=E("?
)•△///("),则可得到
"问叫△/¥“)+—[¥(;“)一¥(兀)一曲环+旳")](20)
此结果适用于互阻抗,也同样适用于自阻抗(m=n)o若两电流元相隔很远时,则可使用一个比较简单的公式,此公式可以根据电流元产生的辐射场得出。
在所含的近似条件下,可以用其阻抗矩阵完全表现线状物体的特性。
物体由在导线轴上的2N个点加上导线半径来确定。
阻抗元素由式(20)计算,而电压矩阵则由式(14)决定的外加场来求得。
在散射体N个点上的电流则由电流矩阵从式(15)的逆矩阵求得
[r]=[zr'
只要电流分布已知,则各种有用参数,如场方向图、输入阻抗、散射面积等都可以用相应公式以数值计算方法算出来。
按照矩量法,以上的解相当于利用脉冲函数同时作电流和电荷的展开函数,而以点选配作为检验函数。
为了避免微分,将这个方法用于一个有限差分代替微分而得的近似算子。
应当指出,导线的终点可以看成带有零电流的一小段的中点,从线端留出一个小段的一半然后才开始分段,它在数学上等于在线端得边界条件1=0。
注意在线端得电荷并不是零,这与延伸出△/以外半个区段以代表电荷是一致的。
只要Wg”)计算出来,阻抗元素式(20)就是已知的。
为此,我们建立一个局部坐标系,使原点在n上,Z轴沿着如图4所示,则
T(/«,n)=丄一F二■二/Z式中
=«Ja:
+(z-5)2wH”(2
■
氏是线的半径。
将指数展开为马格劳林级数,得到屮的近似
(24)
式中第一项相当于线电荷的静电电位,第二项与心无关。
当
WE”洁;以牛)一£
式中陰是从n到m的距离。
因为式(26)在极限a/tO时是不精确的,正如在原来的讨论中所讨论过的那样,它有一个残留
—根导线在其沿线一点上或者更多点上加以一个集总电压源来激励,就是一个线天线。
如果导线在第i个区间被激励,则外加的电压矩阵式变为
<0、
3丿
这就是说,除了等于电源电压的第i项之外,其余各项为零。
电流分布由式(21)变为
(28)
M丿
因此,导纳矩阵的第i列就是在第i区间加上单位电压源时的电流分布。
这样,阻抗矩阵的求逆运算同时给出了沿任意点激励的天线电流分布。
导纳矩阵中的对角线元素K,是导线在第i区间馈电的输入导纳,是在第i区间的端口与第j区间的端口之间的转移导纳。
辐射方向图的推导可以根据互易定理获得。
图5表明一个远区电流元儿,调整到使其在天线附近产生一个单位振幅的平面
时所需之值。
式中“『是规定波的极化方向的单位矢量,k「是指向波的传播方向的波数矢量,而是指向天线上n点的矢径。
根据互易定理
(30)
式中E是天线产生的E的分量,I是天线电流,常数1/儿是为在原点产生单位振幅的平面波所必需之值,即
式(30)的数值近似式可以由定义一个电压矩阵而得到
'F(l)•△厶'
F
(2)•△仃
其中£由式(29)给出,并将式(30)近似为矩阵相乘
治计旧(33)
其中[「]是[V]的转置矩阵。
注意,[W]是与式(14)同样类型的矩阵,即为导线上平面波激励的电压矩阵。
式(33)对于一个任意激励[X]保持有效。
辐射场"「分量的功率方向图为
式中〃=奶为空间波阻抗,是天线的输入功率:
£N=Re{W][/・]}=Re{W]y][h]}
对于单个源的特殊情况,即方程式(27)的情况,变为简单
的Re(iv;l")。
将式(33)和式(35)代入式(34),贝IJ得
z["(&")]【门W]
gS=土:
(36)
Re{[vqir*][V''*])
其中[“(00)]是由式(32)在不同的入射角&和0下得出的。
式
(36)给出了只有单一极化辐射场时的增益方向图。
如果要求
总功率增益方向图时,正交极化的各个g值应加在一起。
图五
源程序代码:
clearlamda=1;%波长
ra=0.005*Iamda;%振子的半径
me二&85e-12;%介电常数mu=4*pi*(le・7);%磁导率
c=3e+8;f=cZlamda;
arg=2*pi*f;%角频率
tl=0.5*!
ainda;%振子的总长nm=21;%匹配点数目pi=3・14159265;rad=pi/I80;beta=2,0*pi;eta=120*pi;
hlnl/2;nmh=0.5*(nin+l);dz=2*hl/nm;zm=hl-0.5*dz;
b=0.5*dz;
a=-0.5*dz;
n=79;hd=(b-a)/(n+l);
lzm=-hl+dz/2:
dz:
hI-dz/2;%匹配点
forI=1:
nin
zn=hl-(I-0.5)*dz;
zal=zn-zm+a:
recgp二sqrMra*m+zal*zal);
cgp1=cxpCli*beta*recgp)*((1.0+li*beta*recgp)*(2.0*recgp*recgp・
3.0*ra*ra)+(beta*ra*recgp)^2)/(2,0*beta*recgp^5);
zbl=zn-zm+b:
roc=sqrt(ra*ra+zbI*zbI);
cgp2=exp(-Ii*bela*roc)*((1.0+1i*beta*roc)*(2.0*roc*roc-
3.0*ra*ra)+(beta*ra*roc)^2)/(2.0*beta*roc^5);
crt=cgpl+cgp2;
fork=1:
n
xk=a+k*hd;
zxl=zn-zni+xk;
r=sqrl(ra*ra+zx1*zx1);
cgp3=exp(-1i*beta*r)*((1.0+1i*beta*r)*(2.0*r*r-
3.0*ra*ra)+(beta*ra*r)^2)/(2.0*beta*r^5);
ifmod(k.2)y0
crt=crt+4.0*cgp3;
else
crt=crt+2.0*cgp3;
end
end
crt=crt*hd*0.33333;
zmn(I)=crt:
ifI-=l
zmn(nm+I-l)=crt;
end
end
forn=l:
nin
p(Ln)=zinn(n);
end
form=l:
nm
p(mJ)=zinn(m);
end
form=2:
nin
forn=2:
nin
p(nKn)=p(m-l,n-I);
end
end
V=zeros(ninJ);
fedp=(nm+l)/2;%馈电点的位置
V(fedp)=-li*beta/(I20*pi*dz);%馈电的电位
I=inv(p)*V;
Z=lZI(fedp)%输入阻抗figure
subplot(2JJ);plol(lzm,abs(I)),gridon;xlabelCL/lamda');
ybbelC电流幅值J;
fikC电流分布•);subplot(2丄2);plot(lzm,180*angIe{I)/pi),gndon;xlabelCL/lamda');
ylabel("电流相位•);