高斯小学奥数含答案三年级下第15讲 长度计算.docx
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高斯小学奥数含答案三年级下第15讲长度计算
要知道一个图形的长度,直接测量是日常生活中最常用的方法.而对于数学问题,我们最常用的有两个公式:
在几何问题中,经常有一些条件隐藏在图形中,需要细心观察才能发现.
例题1.如图,用一个边长是4厘米的正方形和4个一样大的小长方形,一起拼成一个边长是20厘米的大正方形.请问小长方形的长和宽分别是多少厘米?
「分析」图中一共有大小共两个正方形和四个一样的长方形,看看这些长方形的长和宽与正方形的边长有些什么关系呢?
练习:
1.如图,用4个完全相同的长方形拼成了一个长是20厘米的长方形,请问小长方形的长和宽分别是多少厘米?
上面的问题虽然是几何的形式,但是其中用到了和差倍应用题的方法.数学中的很多问题,都是像这样互相有关联的,因此我们学习时,要注意融会贯通.
几何问题中,我们经常遇到一些不太规则的图形求周长的问题,这类问题应该怎么处理呢?
例题2.如图,把长为2厘米、宽为1厘米的6个长方形摆成3层,那么摆成的图形周长是多少厘米?
「分析」每个长方形的长和宽都是已知的,可以慢慢算出周长,有没有快一些的方法呢?
练习:
2.把长为5厘米、宽为3厘米的5个长方形摆成两层,请问:
摆成的图形的周长是多少厘米?
例题2可以用很多方法做,但是比较之后我们发现,平移法是相对比较简便的方法.通过平移,将原先要求的周长转化为长方形的周长,使得问题简化.这种转化的思想是非常重要的.
使用平移转化时,一定要注意平移后的图形周长和平移前一致.
例题3.如图所示,在一个长为8厘米,宽为6厘米的长方形纸片上剪去一个边长为3厘米的正方形.
(1)如果剪去的正方形在右上角,那么剩下的图形周长是多少厘米?
(2)如果剪去的正方形在右边,那么剩下的图形周长是多少厘米?
「分析」你能求出每条线段的长度吗?
如果能请求出来,如果不能就想想如何通过平移来解决.
练习:
3.如图所示,在一个边长为6厘米的正方形纸片上减去一个长3厘米,宽2厘米的长方形,那么剩下的图形周长是多少厘米?
对于特别复杂的图形,即使使用平移法,也容易让人觉得眼花缭乱.这时我们采用更清晰明了的“标向法”.
例如,例题3的
(2)问还可以这样来算:
假设有只小蚂蚁沿着整个图形的边顺时针爬了一圈,把它经过每条边时的方向标出来:
由于小蚂蚁最后回到了起点,所以它向上走的路程总和等于向下走的路程总和,也就是说向上、向下两个方向的路程,只要知道其中之一就可以求出另一个了.同样的,向左的路程和与向右的路程和也只需要知道一个即可.
可以用四句口诀记忆这个方法:
随意找起点,绕着走一圈;
标出方向来,上下和左右;
上下一样多,左右也相同;
细心加一加,乘二就成功.
例题4.如图,这个多边形任意相邻的两条边都互相垂直.那么这个多边形的周长是多少?
「分析」图形比较复杂,试着用标向法解决这道题.
练习:
4.如图,这个多边形任意相邻的两条边都互相垂直,那么这个多边形的周长是多少?
有时题目要求考察图形被分割之后周长总和的变化.此类问题的做法可以“借用”一个成语来描述:
一刀两“段”.即每剪开一条线段,周长增加量等于这条线段长的两倍.
例题5.如图所示,一个边长10厘米的正方形纸片,被横着剪了一刀,竖着剪了两刀,分成了6个小长方形纸片.这6个小长方形的周长总和等于多少厘米?
「分析」把纸片裁开后分成了6个小长方形(如图),能不能把一些线段合起来算?
还有没有更简单的算法?
例题6.如图,在一个长方形中有一段阴影部分.如果阴影部分恰好是正方形,那么图中大长方形的周长是多少厘米?
作业:
1.如图,用4个完全相同的长方形拼成了一个边长是40厘米的正方形,请问小长方形的长和宽分别是多少厘米?
2.把长为4厘米、宽为2厘米的3个长方形摆成两层,请问:
摆成的图形的周长是多少厘米?
3.如图所示,在一个边长为4厘米的正方形纸片上剪去一个边长为1厘米的正方形,那么剩下的图形周长是多少厘米?
4.如图,其中任意相邻的两条边都互相垂直,请问:
这个图形的周长是多少?
5.一块边长为30厘米的正方形蛋糕,横着切2刀,竖着切2刀,分成了9个小长方形,这9块小长方形蛋糕的周长总和为多少厘米?
第十五讲长度计算
1.例题1
答案:
长12;宽8.
详解:
简记长方形的长为“长”,长方形的宽为“宽”.
通过和差问题公式容易得到:
.
2.
例题2
答案:
18厘米.
详解:
方法1:
第二层上方露出的长度是
厘米.类似可以将各边长求出,计算出周长.
方法2:
将图形边长平移,如图.得到一个
的长方形.即此图形周长和长方形周长相同.因此图形周长为:
厘米.
3.
例题3
答案:
(1)28;
(2)34.
详解:
(1)使用平移法,此图形周长和
的长方形周长相同.因此周长为
厘米.
(2)使用平移法,此图形周长比
的长方形周长多两个正方形边长.因此周长为
厘米.
4.例题4
答案:
64厘米.
详解:
使用标向法计算,如图,只需计算向下和向右的长度即可:
厘米.
5.例题5
答案:
100厘米.
详解:
注意每一刀剪开后,增加剪开处长度的2倍.横边共有4条正方形边长那么长,竖边共有6条正方形边长那么长.因此总长共:
厘米.
6.例题6
答案:
30厘米.
详解:
将我们长方形的周长转化:
首先将两个短边移动到正方形边上.这样就可以看出,两条长方形的短边和正方形的横边同样长,我们将它们横过来.再适当平移.可以看出,长方形周长正是两条已知线段和的两倍.
厘米.
7.练习1
答案:
宽5厘米;长15厘米.
简答:
从大长方形的宽看出,小长方形的长是小长方形宽的3倍.而小长方形的长与宽之和是大长方形的长,即20厘米.因此小长方形的宽是厘米,长是
厘米.
8.练习2
答案:
42厘米.
简答:
平移,变成长为3个小长方形长、宽为两个小长方形的宽的长方形.
厘米.
9.练习3
答案:
30厘米.
简答:
平移成一个边长为6厘米的正方形,还多出两条长度为3的边.周长为:
厘米.
10.练习4
答案:
32.
简答:
标向法:
.
.
11.作业1
答案:
长40厘米;宽10厘米.
简答:
小长方形的宽是
厘米,长是正方形边长,40厘米.
12.作业2
答案:
24厘米.
简答:
平移成长8厘米,宽4厘米的长方形.
厘米.
13.作业3
答案:
18厘米.
简答:
平移后,除了正方形周长之外,再加两段1厘米:
厘米.
14.作业4
答案:
46.
简答:
标向法,
.
15.作业5
答案:
360厘米.
简答:
每切一刀,增加两个30厘米:
厘米.