实数坐标系二元一次方程.docx
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实数坐标系二元一次方程
第一讲实数知识点及练习
实数主要知识点
【无理数】
（1）无限不循环小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：
（1）特殊意义的数，如：
圆周率
以及含有
的一些数，如：
2-
，3
等；
（2）开方开不尽的数，如:
等；（3）特殊结构的数：
如：
2.01001000100001…（两个1之间依次多1个0）等。
应当要注意的是：
带根号的数不一定是无理数，如：
等；无理数也不一定带根号，如：
（2）有理数与无理数的区别：
（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；
（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
练习：
（1）下列各数：
①3.141、②0.33333……、③
、④π、⑤
、⑥
、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿。
（填序号）
（2）有五个数:
0.125125…,0.1010010001…,-
其中无理数有（）个
A2B3C4D5
【平方根】如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当
时，我们称x是a的平方根，记做：
。
因此：
1.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；
2.当a＞0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：
。
3.当a＜0时，也即a为负数时，它不存在平方根。
练习：
（1）的平方是64，所以64的平方根是；
（2）的平方根是它本身。
【算术平方根】
（1）如果一个正数x的平方等于a，即
，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：
“
”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。
特别规定：
0的算术平方根仍然为0。
（2）算术平方根的性质：
具有双重非负性，即：
。
（3）算术平方根与平方根的关系：
算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：
；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：
。
练习：
（1）若有意义，则___________。
（2）36的平方根是；的算术平方根是；
（3）的算术平方根是__________。
（4）有一个数的相反数、平方根、立方根都等于它本身，这个数是（）。
A、－1B、1C、0D、±1
【立方根】
（1）如果x的立方等于a，那么，就称x是a的立方根，或者三次方根。
记做：
，读作，3次根号a。
注意：
这里的3表示的是根指数。
一般的，平方根可以省写根指数，但是，当根指数在两次以上的时候，则不能省略。
（2）平方根与立方根：
每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。
练习：
（1）若，则b等于（） A.1000000 B.1000 C.10 D.10000
（2）下列说法中：
①都是27的立方根，②，③的立方根是2，④。
其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个
实数实战：
知识点1平方根与算术平方根的特性（重点）
算术平方根与平方根的关系：
算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：
；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：
。
算术平方根的性质：
具有双重非负性，即：
。
平方根的性质：
一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当时，我们称x是a的平方根，记做：
。
【例题】16的平方根是64的算术平方根是的算术平方根是81的算术平方根的平方根是
练习：
（1）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？
这个正数是多少？
（2）如果A的平方根是2x－1与3x－4，求A的值？
（3）如果一个数的平方根是和，求这个数。
（4）已知：
A=是的算术平方根，B=是的立方根。
求A－B的平方根。
知识点2实数及其相反数、倒数、绝对值（重点）
1.有理数和无理数统称为实数。
如、—3、、等都是实数。
在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1，最小的正整数是1.
2.实数的相反数：
实数的相反数与有理数的相反数意义一样。
①的相反数是—；②如果与互为相反数，则
如的相反数是—，
3.实数的绝对值：
①正实数的绝对值本身是它本身②一个负实数的绝对值是它的相反数③0的绝对值是0
用符号表示：
，，，
4.实数的倒数：
①的倒数是②0没有倒数③与互为倒数，则
【例题】填空⑴,的绝对值是
⑵的相反数是，的相反数是—4
⑶3的倒数是
⑷若与互为相反数，与互为倒数，的倒数等于它本身，则的值为
练习：
若|2x+1|与互为相反数，则－xy的平方根的值是多少？
已知与互为相反数，求x+y的平方根。
若m、n互为相反数，则＝_________。
知识点3实数的运算（重点）
实数的运算顺序为：
①先算乘方、开方；
②再算乘、除
③最后算加减
同级运算从左到右依次计算，有括号的要先算括号里面的。
【例题】计算：
（1）
（2）
（3）（4）
（5）求的平方根和算术平方根。
（6）计算的值。
知识点4实数与数轴（重点）
【例题】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A、B，点B与点C关于点A对称，设点C所表示的数为，求的值。
练习：
如图，数轴上表示1、的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是（）
A.-1B.1-C.2-
知识点5实数的大小比较（重点）
⑴实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：
即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。
（在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大）。
⑵比较两个实数的大小关系常用三种方法：
①平方法：
若，，，则
②把根号外的数移到根号内。
如，而，所以
③取倒数法：
若，，且，则
【例题】比较大小（填“>”或“<”）.，，，
练习：
比较下列各数的大小、，—
测试：
（1）比较大小
（2）比较大小
（3）＝_____________。
（4）当时，化简;
考点归纳
考点1利用实数的相关概念求代数式的值。
【例题】已知、互为相反数，、互为倒数，求的值
练习：
已知与互为相反数，求
考点2实数的非负性问题。
【例题】已知，求的值
测试：
1、已知是实数，且有，求的值.
2、已知，则的值是（）。
A、B、－C、D、
3、已知，则等于多少
考点3实数与数轴对应关系的应用
【例题】实数、、在数轴上的对应点如图所示，化简：
的值
练习：
（1）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简：
（）
z
（2）已知实数x、y、z在数轴上的对应点如图
试化简：
。
考点4无理数的整数部分
【例题】若是的整数部分，是的整数部分，求的值
测试：
（1）已知的整数部分为a，b是25的平方根，求ab的值．
（2）已知△ABC的三边分别是且满足，求c的取值范围。
（提高题）观察下列等式：
回答问题：
①②③，……
（1）根据上面三个等式的信息，请猜想的结果；
（2）请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式，并加以验证
第二讲平面直角坐标系及练习
一、知识要点梳理
知识点一：
有序数对
比如教室中座位的位置，常用“几排几列”来表示，而排数和列数的先后顺序影响座位的位置，因此用有顺序的两个数a与b组成有序数时，记作（a，b），表示一个物体的位置。
我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作:
（a,b）．
要点诠释：
对“有序”要准确理解，即两个数的位置不能随意交换，（a，b）与（b，a）顺序不同，含义就不同，表示不同位置。
知识点二：
平面直角坐标系以及坐标的概念
1.平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点（如图1）。
注：
我们在画直角坐标系时，要注意两坐标轴是互相垂直的，且有公共原点，通常取向右与向上的方向分别为两坐标轴的正方向。
平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的。
2.点的坐标
点的坐标是在平面直角坐标系中确定点的位置的主要表示方法，是今后研究函数的基础。
在平面直角坐标系中，要想表示一个点的具体位置，就要用它的坐标来表示，要想写出一个点的坐标，应过这个点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是a，垂足N在y轴上的坐标是b，我们说点A的横坐标是a，纵坐标是b，那么有序数对（a,b）叫做点A的坐标.记作:
A（a,b）.用（a，b）来表示，需要注意的是必须把横坐标写在纵坐标前面，所以这是一对有序数。
注：
①写点的坐标时，横坐标写在前面，纵坐标写在后面。
横、纵坐标的位置不能颠倒。
②由点的坐标的意义可知：
点P（a，b）中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离。
知识点三：
点坐标的特征
l.四个象限内点坐标的特征：
两条坐标轴将平面分成４个区域称为象限，按逆时针顺序分别叫做第一、二、三、四象限，如图2．这四个象限的点的坐标符号分别是（+，+），（-，+），（-，-），（+，-）．
2.数轴上点坐标的特征：
x轴上的点的纵坐标为0，可表示为（a,0）；
y轴上的点的横坐标为0，可表示为（0,b）．
注意：
x轴，y轴上的点不在任何一个象限内，对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上。
坐标轴上的点不属于任何一个象限，这一点要特别注意。
3.象限的角平分线上点坐标的特征：
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为（a，a）；
第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为（a，-a）．
注：
若点P（a，b）在第一、三象限的角平分线上，则a＝b；
若点P（a，b）在第二、四象限的角平分线上，则a＝－b。
4.对称点坐标的特征：
P（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（a,-b）；
P（a，b）关于y轴对称的点的坐标为（-a,b）；
P（a，b）关于原点对称的点的坐标为（-a,-b）．
5.平行于坐标轴的直线上的点：
平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；
平行于y轴的直线上的点的横坐标相同。
6.各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律：
象限
横纵坐标符号（a，b）
图象
第一象限
（＋，＋）a＞0，b＞0
第二象限
（－，＋）a＜0，b＞0
第三象限
（－，－）a＜0，b＜0
第四象限
（＋，－）a＞0，b＜0
x轴上
正半轴（＋，0）
负半轴（－，0）
y轴上
正半轴（0，＋）
负半轴（0，－）
原点
（0,0）
7．点的平移：
在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a，y）；
将点（x，y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x－a，y）；
将点（x，y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）；
将点（x，y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）。
注意：
对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。
平移口诀：
“左＋右－、上＋下－”
例题：
将点P（－3，2）向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q（x，y），则xy＝___________
练习试题
1.下列各点中，在第二象限的点是【】
A.（2，3）B.（2，－3）C.（－2，－3）D.（－2，3）
2.将点A（－4，2）向上平移3个单位长度得到的点B的坐标是【】
A.（－1，2）B.（－1，5）C.（－4，－1）D.（－4，5）
3.如果点M（a－1，a+1）在x轴上，则a的值为【】
A.a＝1B.a＝－1C.a>0D.a的值不能确定
4.点P的横坐标是－3，且到x轴的距离为5，则P点的坐标是【】
A.（5，－3）或（－5，－3）B.（－3，5）或（－3，－5）
C.（－3，5）D.（－3，－5）
5.若点P（a，b）在第四象限，则点M（b－a，a－b）在【】
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
6.已知正方形ABCD的三个顶点坐标为A（2，1），B（5，1），D（2，4），现将该正方形向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到正方形A'B'C'D'，则C’点的坐标为【】
A.（5，4）B.（5，1）C.（1，1）D.（－1，－1）
7.点M（a，a－1）不可能在【】
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
8.到x轴的距离等于2的点组成的图形是【】
A.过点（0，2）且与x轴平行的直线
B.过点（2，0）且与y轴平行的直线
C.过点（0，－2且与x轴平行的直线
D.分别过（0，2）和（0，－2）且与x轴平行的两条直线
二.填空题
9.直线a平行于x轴，且过点（－2，3）和（5，y），则y＝
10.若点M（a－2，2a+3）是x轴上的点，则a的值是
11.已知点P的坐标（2－a，3a+6），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是
12.已知点Q（－8，6），它到x轴的距离是，它到y轴的距离是
13.若P（x，y）是第四象限内的点，且，则点P的坐标是
14.在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点到直线的距离为4，且是直角三角形，则满足条件的点有个．
第三讲二元一次方程组及应用
【教学标题】
二元一次方程及方程组
1、认识二元一次方程及方程组 2、掌握二元一次方程组相关知识 3、了解学习三元一次方程
【重点难点】
元一次和三元一次方程组的应用
【教学内容】
二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题
1、把两个一次方程联立在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。
有几个方程组成的一组方程叫做方程组。
如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。
2、二元一次方程定义：
一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。
3、二元一次方程组的解：
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。
4、二元一次方程组的解：
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
5、代入消元法解二元一次方程组：
（1）基本思路：
未知数又多变少。
（2）消元法的基本方法：
将二元一次方程组转化为一元一次方程。
（3）代入消元法：
把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
这个方法叫做代入消元法，简称代入法。
（4）代入法解二元一次方程组的一般步骤：
1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”
2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。
3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。
4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”
5、把x、y的值用｛联立起来即“联”
6、加减消元法解二元一次方程组
（5）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
（6）用加减消元法解二元一次方程组的解
1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。
2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。
3、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，即“解”。
4、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回代”。
5、把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。
二元一次方程组应用题
1、一、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：
2、审：
通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；
3、找：
找出能够表示题意两个相等关系；
4、列：
根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；
5、解：
解这个方程组，求出两个未知数的值；
6、答：
在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案
二、典型例题讲解
题型一、列二元一次方程组解决生产中的配套问题
1、某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只，贤计划用132米这样布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套
题型二、列二元一次方程组解决行程问题
2、甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇。
相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时候后调转车头原速返回，在汽车再次出发后半小时后追上乐拖拉机，这时，汽车、拖拉机各行驶了多少千米？
3、一轮船从甲地到乙地顺流航行需4小时，从乙地到甲地逆流航行需6小时，那么一木筏由甲地漂流到乙地需要多长时间？
题型三、列二元一次方程解决商品问题
4、在“五一”期间，某超市打折促销，已知A商品7.5折销售，B商品8折销售，买20件A商品与10件B商品，打折前比打折后多花460元，打折后买10件A商品和10件B商品共用1090元。
求A、B商品打折前的价格。
题型四、列二元一次方程组解决工程问题
5、某城市为了缓解缺水状况，实施了一项饮水工程，就是把200千米以外的一条大河的水引到城市中来，把这个工程交给甲、乙两个施工队，工期为50天，甲、乙两队合作了30天后，乙队因另外有任务需要离开10天，于是甲队加快速度，每天多修0.6千米，10天后乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的速度不变，乙队每天比原来多修0.4千米，结果如期完成，问：
甲、乙两队原计划每天各修多少千米？
题型五：
列二元一次方程组解决增长问题
6、某中学现有学生4200人，计划一年后初中在校学生增加8%，高中在校学生增加11%，这样全校在校生将增加10%，则该校现在有初中生多少人？
在校高中生有多少人？
第三讲二元一次方程组及应用补充讲义
二元一次方程组的解有三种情况：
1.有一组解 如方程组x+y=5① 6x+13y=89② x=-24/7 y=59/7为方程组的解
2.有无数组解 如方程组x+y=6① 2x+2y=12② 因为这两个方程实际上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有无数组解。
3.无解 如方程组x+y=4① 2x+2y=10②， 因为方程②化简后为 x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
注意：
用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致计算错误。
教科书中没有的几种解法
（一）加减-代入混合使用的方法.
例1,13x+14y=41
（1）
14x+13y=40
（2）
解:
（2）-
（1）得 x-y=-1 x=y-1（3）
把（3）代入
（1）得 13（y-1）+14y=41
13y-13+14y=41 27y=54 y=2
把y=2代入（3）得 x=1 所以:
x=1,y=2
特点:
两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.
（二）换元法
例2，（x+5）+（y-4）=8
（x+5）-（y-4）=4
令x+5=m,y-4=n 原方程可写为
m+n=8
m-n=4 解得m=6,n=2
所以x+5=6,
y-4=2 所以x=1,y=6
特点：
两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。
（三）另类换元
例3，x:
y=1:
4 5x+6y=29 令x=t,y=4t 方程2可写为：
5t+6*4t=29
29t=29 t=1 所以x=1,y=4
二元一次方程组的解
一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
求方程组的解的过程，叫做解方程组。
一般来说，二元一次方程组只有唯一的一个解。
注意：
二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！
也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。
一、基本概念 1．方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组） 2．分类：
二、解方程的依据—等式性质 1．a=b←→a+c=b+c 2．a=b←→ac=bc（c≠0）
三、解法
1．一元一次方程的解法：
去分母→去括号→移项→合并同类项→ 系数化成1→解。
2．二元一次方程组的解法：
⑴基本思想：
“消元”⑵方法：
①代入法 ②加减法
六、列方程（组）解应用题
一概述 列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。
其具体步骤是：
（1）、审题。
理解题意。
弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。
（2）、设元（未知数）。
①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。
一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。
（3）、用含未知数的代数式表示相关的量。
（4）、寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。
一般地，未知数个数与方程个数是相同的。
（5）、解方程及检验。
（6）、答案。
综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），再由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。
在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。
因此，列方程是解应用题的关键。
二常用的相等关系
1．行程问题（匀速运动） 基本关系：
s=vt ⑴相遇问题（同时出发）：
⑵追及问题⑶水中航行：
2．配料问题：
溶质=
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