矩阵与变换极坐标与参数方程.docx
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矩阵与变换极坐标与参数方程
1.（本小题满分10分）若圆C:
x2y2=1在矩阵A=a0（a0,b.0）对应的变换下变成
It0b
椭圆
22
E:
Xy=1,求矩阵A的逆矩阵A-.
43
2•已知矩形OABC0（0,0）,A（-2,0）,B（-2,-1）,C（0,-1），将矩形OAB（绕点0旋转180*
到矩形OA1B1C1，再将矩形OABG沿x正方向作切变变换，得到平行四边OA1B2C2，若
点C2「、3,1），求矩形OABC变为平行四边形OA1B2C2的线性变换对应的矩阵.
3•变换T,是逆时针旋转㊁的旋转变换，对应的变换矩阵是Mj；变换T2对应用的变换矩阵
~1n
是M2=|。
（1）求点P（2,1）在T1作用下的点P'的坐标；
b1」
2
（2）求函数y=x的图象依次在T1,T2变换的作用下所得曲线的方程
b，矩阵A属于特征值r=-1的一个特征向量为、二1，属于特征
d卜1
呻f1）
©=，并且矩阵M对应的变换
J丿
6•设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换.
（1）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
22
（2）求逆矩阵M’以及椭圆—在M’的作用下的新曲线的方程.
49
I2-12~2I
7•已知矩阵A,B=.
||_-43|H6
（1）求矩阵A的逆矩阵；
（2）求满足AX=B的二阶矩阵X.
8•已知二阶矩阵M有特征值彊=1及对应的一个特征向量
9•已知二阶矩阵M有特征值^=3及对应的一个特征向量
将点（-1,2）变换成（3,0），求矩阵
1a
10.已知矩阵A=I的一个特征值为2,其对应的一个特征向量为
]1b一
（1）求矩阵A;
（2）若A|XLf,求x,y的值.
-y」-b」
11.已知矩阵A=『a1的一个特征值是—1,求矩阵A的另一个特征值九，及属于扎的一[23」
个特征向量。
12.在平面直角坐标系xOy中，直线I:
x+2y+1=0在矩阵对应的资换作用下
得到直线m：
x-y-2=0，求实数a,b的值.
13.已知矩阵M」|2aI其中awR，若点P（1,—2）在矩阵M的变换下得到点PT—4,0）〔21一
（1）求实数a的值；
（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量.
14.
已知点H（-6,0），点P（0,b）在y轴上，点Q（a,0）在x轴的正半轴上，且满足
M的轨迹方程;
的值.
15.
分别在曲线1：
；_—••：
在平面直角坐标系xOy中，以0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系•设点A,B
（B为参数）和曲线C2:
p=1上，求线段AB的最小值.
17.已知直线I经过点P（1,1）,倾斜角.
（1）写出直线I的参数方程；
（2）设I与圆
6
x2y^4相交与两点A,B，求点P到A,B两点的距离之积.
[x-sin
18.已知曲线C的参数方程为"2，卅三[0,2二），曲线D的极坐标方程为
|y=cos:
-
■TT
Psin（）=_.2.
4
（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；
（2）曲线C与曲线D有无公共点？
试说明理由.
22
xy
19.在平面直角坐标系xOy中，设M是椭圆2=1（ab.0）上在第一象限的点，
ab
A（a,0）和B（0,b）是椭圆的两个顶点，求四边形MAOB的面积的最大值.
20.（本小题满分10分）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标
系中取相同的单位长度•已知直线I的极坐标方程为Tcosv2^sinv-0,曲线C的参
数方程为4cos-（•为参数），又直线l与曲线C交于A,B两点，求线段AB的长.
y=2sin二匸
「x=2+2cosa,
21.在平面直角坐标系xOy中，圆的参数方程为（a为参数），以坐标原点O
y=2sina
为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求：
（1）圆的直角坐标方程；
（2）圆的极坐标方程.
22.在极坐标系中，求曲线
=心关于直线^=4^'R）对称的曲线的极坐标方程.
试卷答案
1.
2.
由将矩形OABC绕点O旋转180至y矩形OA1B1C1所以A1（2,0）,B1（2,1）,G（0,1）,
由G（0,1）通过切变变换得C2（、..3,1）则B2C.3-2,1）,
设线性变换对应的矩阵为
蔦，则為］啟
aC-
庁卜带卜得
01
10分
-1
所以点P（2,1）在T作用下的点P'的坐标是P'（-1,2）5分
1-11
（2）MM2M1=|,
J0一
x
设是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是
_y
冷］x］「x0-y0=x「x0=y
则m二，也就是0y0，即0『
IIILy.X。
二yy。
=y一X
所以，所求曲线的方程是y-x=y2.10分
4.
由特征值、特征向量定义可知，A,
a-b_-1,
c-d-1.
「3a+2b=12
同理可得'解得a=2,b=3,c=2,d=1.
pc+2d=8,
10分
因此ad—bc=2—6=—4.•…
5.
因为
（AB）4二BxA4，所以
■1
01'
1
_11
丄
4
■0
11
2」:
0
1
2」
1
BJ
「2，由逆矩阵公式得,
1
6.
（1）
由条件得矩阵M
J0
||03
，它的特征值为2和3，对应的特征向量为1及0；
（2）
ol
椭圆
1的作用下的新曲线的方程为x2y2
7.
（1）
-11
2-1
，二det（A）=
-43
3」
=2,
.矩阵A的逆矩阵A」
■3
2
-4
-11
（2）：
'AX=B,.X=AJB
■3
2
8.
ab，
则由c
Sc兀汕］，
a-b=1,c—d--1.
再由
Cb「3，
联立以上方程组解得a=2,b=1，c=0，d=1，故X2
10分
9.
设矩阵M=Cb
llcd
，则由条件得;昇=3;，从而
3+b=3c+d=3’
b『LFl从而」
d」［2」［0」1
比j21
故M=
〔21」
10.
ac_
又
【答案】
（1）
12
-14
（2）
_C2b_3，联立，解之得
0
-c2d
a=1,b=2,c=2,d=1
试題分析*
（1）利用Aa=^a（其中久心分别为特征值及对应的特征向量），列方程组*
（2）解法一；A
x+却=2,
—x+4y=4（
=山
尤=6严1
考点矩阵特征值及特征向量
11.解：
矩阵A=1a的特征多项式是f（J=（，-1）「-3）-2a,[23」
由f（一1）=0得a=4,
令f（，）=0,则1"-1或，=5,
X（5T）x—4y=0上x=1
解方程组可得一组不为零的解是
[-2x+（5-3）y=0Iy=1
所以矩阵A的另一个特征值是5，属于5的一个特征向量是e二1.
12.a二
13.
（1）由2训1L[—41,•••2—2a=Vna=3.21丄2」[0」
（2）由
（1）知M二23，则矩阵M的特征多项式为
〔21」
人_2-32
f（九）==（九_2）（九一1）—6=九一3九一4
-2九-1
令f（■）=0,得矩阵M的特征值为-1与4.
当，--1时,
（■-2）x-3y=0
-2x（-1）y=0
•矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为3.
I2」
14.
由HP_PQ，得6a-b2=0.
.3
由pM=2MQ，得2x=2（a—x），即Ja=尹,b=-2y—3y
由6a-b2=0得y2二x,故点M的轨迹C为y2=x（x0）.
（n）依题意2sin21=3cost,即2cos213cost-2=0,•cost=1,2
又0VtV2n,•t=-—.……10分
3'3
15.
将曲线C的参数0消去可得（X—3）2+（y—4）2=1.
将曲线G化为直角坐标方程为x2+y2=1.5分
曲线C是以（3,4）为圆心，1为半径的圆；曲线C2是以（0,0）为圆心，1为半径的圆，可求得两圆圆心距为342=5,
所以，AB的最小值为5—1—1=3.10分
16.
如图，设圆上任意一点P（?
可,连结PO,PC,OC,在厶POC中，由余弦定理得
宵+2-2血Pcos（日-专）=〉整理得
梓-2^2^cos（日-鲁）中：
=0，
故所求圆的极坐标方
程为乎_2.2「cosV_二£=0•
x=1仝t
，即2
|y=1+」t
2
17.
31
x=1tcos—
（1）直线的参数方程为6
y=1tsin—
I6
x十迺t
（2）把直线2代入x2y2=4，
1
y=1t
I2
址2=-2
（1乜t）2（1」t）2=4,t2（、31）t-2=0
22
18.
x2y6°得x2-x®0
xy=1
1土JT3
解得x[-1,1],故曲线C与曲线D无公共点.
2
19.
22
已知椭圆于計,的参数方程为
x=acos:
y=bsin
JT
由题设,可令M（acos,bsin），其中0：
：
：
「；：
•
2
所以，乐边形MAOBWgS，MOB4OA7M2OB凡
=]ab（sin「cos）二—absin（）.
224
所以，当吟/时，四边形MAOB的面积的最大值为-lab.
42
20.
两者联立解得A和B地坐标为■''■'
21.
【答案】⑴■尸三4；⑵p=4cos&.
【解析】
试题分析：
禾帰沖％+沖七=1消去参数空可得圆的直角坐标方程，再利用公式”二砂心加可把直角y=psin8
坐标方程化为极坐标育程*
试题解析：
门）鬲的直角坐标方程为（—2尸+护=4.5分
⑵把［"戸⑷咱代入上述方程，得圆的极坐标方程为"讼B.10分
丿吓an已
茕執参数方程与普通方程的互他普通方程与极坐标方程的互化.
22.
【答案】亿
试题分析：
两个解题思路，一是化为直角坐标，由川=*+”月8S0F将极坐标方程严2＜x＞曲化为
（X—l）a+iJ=1*由tan^=—将极坐标方程£=*1＞为尸「根据圆关于宣线对称还是圆匚x:
+（T'—1）1=Lj
再将所求圆方程ft为极坐标方程：
严2血0二是在极坐标系下，直接研究动点轨迹方程.其方法实质術转
P-P-
移法，即将所求动点极坐标S內表示已知动点极坐标9，眄：
彳□—讥I兀c再将其代入pf=2^6U—丛兀n""3—出*
化简即得尸2sin&・
试题解析：
解法一：
以极点为坐标原点，极轴为x轴建立頁角坐标系，
则曲线尸2g対的直角坐标方程为（X-l）2+va=L且鬲心C为（L,0）.4分
直线0二彳的直角坐标方程为
因为圆心CU，0）关于y=x的对称点为（0,1）,
所0JS心C关于F=X的对称曲线为疋+0—审=1.習分
所以曲线尸2m讯关于直线&=紗曰1）对称的曲线的极坐标方程为尸2sin010分
解法二设曲线尸肚歸上任育一点为（#,眄，其关于直线0=乎寸称点为S外
d=P，
将9，眄代入/>=2cos^（得/>=2s（■—刃，即p=2sin3.
所以曲线尸关于直线3=紗曰审寸称的曲线的极坐标方程为尸2siM10分
考点：
极坐标与直接坐标互化
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