4
6．现有名同学支听同时进行的个课外知识讲座，名每同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（）
A．54
6.【答案】A
B.
65
5⨯6⨯5⨯4⨯3⨯2
C.
2
D.6⨯5⨯4⨯3⨯2
【解析】因为每位同学均有5种讲座可选择，所以6位同学共有5⨯5⨯5⨯5⨯5⨯5=56种，故A
正确.
7.已知等比数列{a}中，各项都是正数，且a，1a,2a成等差数列，则a9+a10=（）
m1232
a+a
A.1+B.1-C.3+2
7.【答案】C
78
D3-2
【解析】依题意可得：
2⨯1=a+2a
，即a=a+2a
，则有aq2=a+2aq可得
q2=1+2q，解得q=1+2或q=1-（舍）
a+aaq8+aq9q2+q32
所以910
=11==q
=3+2
，故C正确
a+aaq6+aq71+q
7811
8.已知∆ABC和点M满足MA+MB+MC=0.若存在实m使得AM+AC=mAM成立，则m=
A.2B.3C.4D.58.【答案】B
2
【解析】由题目条件可知，M为△ABC的重心，连接AM并延长交BC于D，则AM=
AD①，
3
因为AD为中线则AB+AC=2AD=mAM，即2AD=mAM②，联立①②可得m=3，故B正确.
9.若直线y=x+b与曲线y=3-
有公共点，则b的取值范围是（）
A.[1-2
9.【答案】D
1+2
]B.[1-
2,3]C.[-1,1+22]D.[1-2
3]
【解析】曲线方程可化简为（x-2）2+（y-3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2,3）半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心（2,3）到直线y=x-b距离等于2，解
得b=1+2
b=1+2
或b=1-22，因为是下半圆故可得
（舍），当直线过（0，3）时，解得b=3,故1-2
≤b≤3,所以D正确.
10.记实数x1,x2,…xn中的最大数为max{x1,x2,…xn}，最小数为min{x1,x2,…xn}.已知∆ABC的
a
bcabc
三边边长为a、b、c（abc）,定义它的倾斜度为tmax{,,}min{,,},
bcabca
则“t=1”是“∆ABC为等边三解形”的（）
A,充分布不必要的条件B.必要而不充分的条件
C.充要条件D.既不充分也不必要的条件
10.【答案】B
【解析】若△ABC为等边三角形时，即a=b=c，则max⎧a,b,c⎫=1=min⎧abc⎫则l=1；若△ABC
⎨bca⎬⎨,,⎬
为等腰三角形，如a=2,b=2,c=3时，
⎩⎭⎩bca⎭
则max⎧a,b,c⎫=3,min⎧abc⎫=2，此时l=1仍成立但△ABC不为等边三角形,所以B正确.
⎨bca⎪2
⎨,,⎬3
⎩⎭⎩bca⎭
二、填空题：
本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写，答错位置，书写不清，摸棱两可均不得分。
11.在（1-x2）10的展开中，
11.【答案】45
x4的系数为。
10
【解析】（1-x2）10展开式即是10个（1-x2）相乘，要得到x4，则取2个1-x2中的（-x2）相乘，其余选1，则系数为C2⨯（-x2）2=45x4，故系数为45.
⎧y≤x,
12.已知z=2x-y，式中变量x，y满足约束条件⎪x+y≥1,，
⎪x≤2,
则z的最大值为.
12.【答案】5
【解析】依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数y=2x-z，当直线经过A（2，－1）时，z取到最大值，Zmax=5.
13.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9.则服用这咱新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为（用数字作答）。
13.【答案】0.9744
14
【解析】分情况讨论:
若共有3人被治愈，则P=C3（0.9）3⨯（1-0.9）=0.2916；
若共有4人被治愈，则P=（0.9）4=0.6561，故至少有3人被治愈概率P=P+P
=0.9744.
212
14.圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）
生解题交流
资料下载来源：
高中数学教师群：
247360252，高中数学学群：
536036395，高中数学秒杀方法群：
677837127，
后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm.
14.【答案】4
【解析】设球半径为r，则由3V+V
=V可得3⨯4πr3+πr2⨯8=πr2⨯6r,
解得r=4.
15.已知椭圆c:
x
球水柱3
x2
y21的两焦点为F,F,点P（x,y）满足00y21,则|PF|+PF|的取
212002012
值范围为，直线x0x+yy=1与椭圆C的公共点个数。
20
15.【答案】[2,22）,0
【解析】依题意知，点P在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得，当P在原点处时
（|PF1|+|PF2|）max=2，当P在椭圆顶点处时，取到（|PF1|+|PF2|）max为
2
x22
（-1）+（+1）=2，故范围为[2,22）.因为（x0,y0）在椭圆+y
=1的内部，则直线
x⋅x0+y⋅y
20
=1上的点（x,y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.
三、解答题：
本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）
已经函数f（x）=
cos2x-sin2x
g（x）=
1sin2x-1.
224
（Ⅰ）函数f（x）的图象可由函数g（x）的图象经过怎样变化得出？
（Ⅱ）求函数h（x）=f（x）-g（x）的最小值，并求使用h（x）取得最小值的x的集合。
16.本小题主要考查三角函数的恒等变换、图象变换以及最值等基础知识和运算能力.（满分12分）
解：
（Ⅰ）f（x）=1cos2x=1sin（2x+π=1sin2（x+π，
22224
所以要得到f（x）的图象只需要把g（x）的图象向左平移
1
π
个单位长度，再将所得的图象
4
向上平移
4
个单位长度即可.
111π1
（Ⅱ）h（x）=f（x）-g（x）=
cos2x-sin2x+=cos（2x+）+.
224244
当2x+π=2kπ+z（k∈Z）时，h（x）取得最小值-
4
2+1=1-22.
244
h（x）取得最小值时，对应的x的集合为⎧x|x=kπ+3π∈Z⎫.
⎨8,k⎬
⎩⎭
17.（本小题满分12分）
为了了解一个小水库中养殖的鱼有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：
千克），并将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）
（Ⅰ）在答题卡上的表格中填写相应的频率；
（Ⅱ）估计数据落在（1.15,1.30）中的概率为多少；
（Ⅲ）将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，
几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有
记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数。
17.本小题主要考查频率分布直方图、频数、概率等基本概念和总体分布的估计等统计方法.（满分12分）
分组
频率
[1.00,1.05）
0.05
[1.05,1.10）
0.20
[1.10,1.15）
0.28
[1.15,1.20）
0.30
[1.20,1.25）
0.15
[1.25,1.30）
0.02
解:
（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，频率=组距⨯（频率/组距），故可得下表
（Ⅱ）0.30+0.15+0.02=0.47，所以数据落在[1.15,1.30）中的概率约为0.47.
（Ⅲ）120⨯100=2000，所以水库中鱼的总条数约为2000条.
6
18.（本小题满分12分）
如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA。
OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1
（Ⅰ）设P为AC的中点，Q在AB上且AB=3AQ，证明：
PQ⊥OA；
（Ⅱ）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值。
18.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.（满分12分）
（Ⅰ）在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N，连接CN，在△AOB
中，∠AOB=120且OA=OB,∴∠0AB=∠OBA=30。
在Rt△
AON中，∠0AN=30,∴0N=1AN。
2
在△ONB中，
∠NOB=120-90=30=∠OBN.∴NB=0N=1AN。
又
2
AB=3AQ，∴Q为AN的中点。
在△CAN中，P,Q分别为AC,AN的中点，∴PQ//CN.由OA⊥OC，OA⊥ON知：
OA⊥平面CON。
又NC⊂平面CON,∴OA⊥CN.由PQ//CN,知OA⊥PQ.
（Ⅱ）连结PN,PO.
由OC⊥OA，OC⊥OB知：
OC⊥平面OAB。
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又ON⊂平面OAB，∴OC⊥ON.又由ON⊥OA知：
ON⊥平面AOC.∴OP是NP在平面
AOC内的射影。
在等腰Rt△COA中，P为AC的中点，∴AC⊥OP。
根据三垂线定理，知：
AC⊥NP.
∴∠OPN为二面角O-AC-B的平面角。
在等腰Rt△COA中，OC=OA=1,∴OP=。
2
在Rt△AON中，ON=OAtan30=3，
3
∴在Rt△PON中，PN==30,
6
2
∴cos∠OPN=OP=2=15。
PN305
6
解法二:
（Ⅰ）取O为坐标原点，以OA,OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz（如图所示）。
1
则A（1,0,0）,C（0,0,1），B（-
,0）。
22
P为AC中点，∴
11
P（,0,）
3
。
AB=（-,
3,0）。
2222
11
又由已知，可得AQ=
又
AB=（-，,0）.326
11
OQ=OA+AQ=（,,0）.∴PQ=OQ-OP=（0,,-）.
2662
31
∴
PQOA=（0,,-）（1,0,0）=0.故PQ⊥OA。
62
（Ⅱ）记平面ABC的法向量n=（n1,n2,n3），则由n⊥CA,n⊥AB，且CA=（1,0，-1）。
⎧n1-n3=0,
⎪
得⎨-3n
+3n
故可取n=（1,3,1）。
=0,
⎩⎪2222
又平面OAC的法向量为e=（0,1,0）。
∴cos=（1，3,1）（
0,1,0）=
51
二面角O-AC-B的平面角是锐角，记为θ，则cosθ=15。
5
19.（本小题满分12分）
已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位：
m2），其中有部分旧住房需要拆除。
当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同事也拆除面积为b（单位：
m2）的旧住房。
（Ⅰ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：
（Ⅱ）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？
（计算时取1.15=1.6）
19.本小题主要考查阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力，同时考查运用所学知识分析和解决实际问题的能力.（满分12分）
解：
（1）第1年末的住房面积a11-b=1.1a-b（m2），
10
第2年末的住房面积
（a11-b11-b=a11）2-b（1+11）=1.21a-2.1b（m2），
）（
10101010
（Ⅱ）第3年末的住房面积
⎡a（11）2-b（1+11）⎤11-b=a112-b⎡1+11+
112⎤，
⎣⎢1010
⎥⎦10
（10）⎢⎣
（）
⎥
1010⎦
第4年末的住房面积
a（11）4-b⎡1+11+
112+
112⎤，
10⎢⎣
（）（）101010⎦
⎥
第5年末的住房面积
a（11）5-b⎡1+11+
112+
112+
114⎤
10⎢⎣
（）（）（）10101010⎦
⎥
1-1.15
=1.1a-
1-1.1
b=1.6a-6b
a
依题意可知，1.6a-6b=1.3a，解得b=，
20
所以每年拆除的旧房面积为
a（m2）。
20
20.（本小题满分13分）
已知一条曲线C在y轴右边，C上没一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1。
（Ⅰ）求曲线C的方程
（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有FA·FB
＜0？
若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。
20.本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的性质等基础知识，同时考查推理运算的能力.（满分13分）
解：
（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：
-x=1（x>0）
化简得y2=4x（x>0）.
（Ⅱ）设过点M（m，0）（m>0）的直线l与曲线C的交点为A（x1,y2），B（x2,y2）。
⎧x=ty+m
⎩
设l的方程为x=ty+m，由⎨y2=4x
得y2
-4ty-4m=0，△=16（t2+m）>0，
⎧y1+y2=4t
于是⎨yy
①
=-4m
⎩12
又FA=（x1-1,y1）,FB=（x2-1,y2）。
FAFB<0⇔（x1-1）（x2-1）+y1y2=x1x2-（x1+x2）+1+y1y2<0②
y2
又x=，于是不等式②等价于
4
y2y2y2y2
12+y1y2-（1+2）+1<0
4444
⇔（yy）2+-1⎡+2-⎤+<
12y1y2⎣（y1y2）2y1y2⎦10③
164
由①式，不等式③等价于
m2-6m+1<4t2④
对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于
m2-6m+1<0，即3-2由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有FAFB<0，且m的取值范围（3-22,3+22）。
21.（本小题满分14分）
设函数（f线方程为y=1
x）=1x3-ax2+bx+c，其中a＞0，曲线y=（f
32
x）在点P（0，（f
0））处的切
（Ⅰ）确定b、c的值
（Ⅱ）设曲线y=（f
x）在点（x1，（f
x1））及（x2，（f
x2））处的切线都过点（0,2）证明：
当x1≠x2时，f'（x1）≠f'（x2）
（Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线y=（f
x）的三条不同切线，求a的取值范围。
21.本小题主要考查函数的单调性、极值、导数等基本知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力。
（满分14分）
解：
（Ⅰ）由f（x）=1x3-ax2+bx+c得：
f（0）=c，f’（x）=x2-ax+b，f’（0）=b。
32
又由曲线y=f（x）在点p（0，f（0））处的切线方程为y=1，得到f（0）=1，f’（0）=0。
故b=0，c=1。
（Ⅱ）f（x）=1x3-ax2+1，f’（x）=x2-ax。
由于点（t，f（t））处的切线方程为
32
y-f（t）=f’（t）（x-t），而点（0,2）在切线上，所以2-f（t）=f’（t）（-t），化简得
2t3-at2+1=0，即t满足的方程为2t3-at2+1=0。
3232
下面用反证法证明。
假设f’（x1）=f'（x2）下列等式成立。
，由于曲线y=f（x）在点（x1,f（x1））
及（x2,f（x2））
处的切线都过点（0,2），则
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