高等数学课程内容及基本要求.docx

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高等数学课程内容及基本要求

高等数学课程内容及基本要求

高等数学是高等学校理工科专业重要的基础理论课。

通过本课程的学习，使学生系统的获得一元函数微积分、向量与空间解析几何、多元函数微积分、常微分方程与无穷级数的基本概念、基本理论、基本运算和分析方法，为学习物理、电工、电子等课程和以后扩大数学知识面，打好基础。

在课堂讲授的同时，辅以课堂练习与讨论，引导学生认真阅读教材，独立完成作业，逐步培养学生的抽象思维、逻辑推理、空间想象、分析解决实际问题的能力，掌握学习方法，培养自学能力。

高等数学是全校公共基础课，对于我校各工科专业，高等数学在大学本科教育阶段显得尤为重要，有着举足轻重的作用。

该课程不但是学习复变函数、概率统计、积分变换等课程的必修课，而且为学习工科专业课程奠定必要的数学基础。

课程内容及基本要求

（一）函数、极限与连续（20学时）

内容：

函数概念、初等函数，数列极限、函数极限，无穷大与无穷小，极限存在准则、无穷小的比较，函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。

基本要求

1．深刻理解函数的定义，回球函数的定义域，会用函数对应法则求函数值与复合函数，了解初等函数的构成，会建立简单应用问题的函数关系，了解隐函数与反函数的概念，了解函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性。

2．理解数列极限的定义和几何意义，知道收敛数列有界性和保号性，掌握极限的四则运算法则及复合运算法则，会用极限存在的两个准则：

夹逼准则与单调有界准则。

3．理解函数极限、左右极限定义，掌握两个重要极限，知道函数极限存在与左右极限的关系，知道极限存在时函数的有界性、保号性，掌握极限运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

4．理解无穷小、无穷大、高阶无穷小和等价无穷小的概念，会用等价无穷小求极限。

5．理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，会辨别函数间断点的类型，了解闭区间上连续函数的性质（有界、最值、介值、零点）并会应用这些性质。

。

重点：

极限概念，极限的四则运算法则，利用两个重要极限求极限,函数的连续性。

难点：

极限的定义，极限存在准则。

（二）导数与微分（12学时）中值定理，罗必达法则，导数的应用。

内容：

导数概念及导数公式，复合函数、反函数、隐函数和由参数方程所确定的函数

的求导法则，高阶导数，函数的微分。

基本要求

1．理解导数及左右导数的定义，知道函数可导性及连续性之间的关系，理解导数的及几何意义，会求平面曲线的切线和法线方程，会用导数描述一些物理量。

2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，熟练应用基本求导公式和求导法则求一般函数的导数。

3．了解高阶导数的概念、求导法则，会求简单函数的阶导数，会求分段函数一阶、二阶导数。

4．理解微分的概念、微分与导数得关系，掌握微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

重点：

导数的定义，初等函数导数的求法（一阶及二阶）。

难点：

复合函数求导法，高阶导数的求法

（三）微分中值定理与导数的应用（16学时）

内容：

中值定理，罗必达法则，导数的应用。

基本要求

1．理解并会用罗尔（Rolle）、、拉格朗日（Lagrange）、柯西（Cauchy）、泰勒（Taylor）定理，

2．掌握洛必达法则求不定式极限的方法。

3．掌握用导数判断函数的单调性、证明不等式与恒等式的方法。

4．掌握用导数求极值、最大值和最小值的方法及其方法。

5．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会求水平、铅直和斜渐近线，会描绘一些简单函数的图形。

6．了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

重点：

罗尔定理，拉格朗日定理，洛必达法则，用导数判断函数的单调性及极值。

难点：

泰勒定理。

（四）一元函数积分学（28学时）

上一页

内容：

不定积分、定积分的概念与性质，换元积分法、分部积分法，牛顿—莱布尼兹公式，定积分的几何应用和物理应用，广义积分。

基本要求

1．理解原函数与不定积分的概念与性质。

2．掌握不定积分的基本公式、换元积分法和分部积分法。

3．会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

4．理解定积分的概念与性质。

5．会求变上限的积分的导数，掌握牛顿-莱布尼兹（N-L）公式。

6．掌握定积分的换元法、分部积分法，知道常用的定积分公式。

7．掌握用定积分表示和计算一些几何量和物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积，平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力和函数平均值）。

8．了解广义积分的概念，会计算广义积分。

重点：

不定积分、定积分的换元积分法、分部积分法，变上限函数及其求导定理，牛顿–莱布尼兹公式。

难点：

换元积分法。

（五）向量代数与空间解析几何（14学时）

内容：

空间直角坐标系与向量的运算，空间直线与平面方程，空间曲线与曲面。

基本要求

•理解空间直角坐标系、向量概念及其表示。

2．掌握向量的运算（线性运算、数量积与向量积）。

3．理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表示式，掌握用坐标表示式进行向量运算的方法。

4．掌握平面、直线方程及其求法。

5．会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

6．会求两点间、点到直线、点到平面的距离。

7．知道曲面的一般方程及其图形。

8．了解常用二次曲面的方程及其图形,会求转轴是坐标轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

9．了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标面上的投影,并会求其方程。

重点：

空间直线、平面方程，常用的二次曲面方程。

难点：

曲面方程。

（六）多元函数微分学（20学时）

基本内容：

多元函数与极限，偏导数及其求导法则，全微分及其应用，微分法在的几何上的应用，方向导数与梯度，多元函数的极值、最大值与最小值。

基本要求：

1．理解多元函数的概念及二元函数的几何意义,会求多元函数的定义域。

2．了解二元函数的极限与连续性的概念,了解有界闭区域上连续函数的性质。

3．理解偏导数的概念及其几何意义，掌握一阶偏导数和高阶偏导数的求法，知道混合偏导数与求偏导数的顺序无关的条件。

4．理解全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解全微分形式的不变形。

5．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。

6．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。

7．了解空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线的概念,会求其方程。

8．理解多元函数极值与条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件。

了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值．会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单函数的最大值和最小值,并会解一些简单的应用问题。

重点：

二元函数偏导数的概念，复合函数一阶、二阶偏导数的求法，二元函数的极值，拉格朗日乘数法。

难点：

复合函数（特别是抽象函数）、隐函数的二阶偏导数求法，方向导数与梯度的概念，拉格朗日乘数法。

（七）多元函数的积分（34学时）

内容：

二重、三重积分的概念、性质与计算，二重积分的应用。

曲线、曲面积分的概念及计算，格林公式，高斯公式，斯托克斯公式。

基本要求

1．理解二重积分、三重积分的概念，了解二、三重积分的性质与积分中值定理。

2．掌握二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算方法，会计算三重积分（直角坐标系、柱面坐标系、球面坐标系）。

3．会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形面积、立体体积、曲面面积、薄板或立体的质心、转动惯量、引力）。

4．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两者之间的关系，掌握两类曲线积分的计算法。

5．掌握格林（Green）公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数，会解全微分方程。

6．了解两类曲面积分的概念、性质及两者之间的关系。

7．会用高斯（Gauss）公式、斯托克斯（Stokes）公式计算曲面、曲线积分。

8．了解散度、旋度的概念，并会计算。

9．会用曲线、曲面积分计算曲线、曲面的质量、重心、转动惯量、引力、功、环流量及通量等。

重点：

二重积分和三重积分的计算方法，两类曲线、曲面积分的概念及计算，格林公式，高斯公式。

难点：

三重积分在直角坐标系、柱面坐标系、球面坐标系下的计算方法。

第二类曲线、曲面积分，高斯公式，斯托克斯公式。

（八）常微分方程（16学时）

内容：

微分方程的基本概念，一阶微分方程，可降阶的高阶微分方程，二阶常系数线性微分方程

基本要求

1．了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解的概念

2．掌握变量可分离的方程和一阶线性微分方程的解法。

3．会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换求解某些微分方程。

4．会用降阶法求解三类方程：

。

5．理解线性微分方程解的性质和解的结构，知道求特解可用试探法（试探有无型特解）。

6．掌握常系数齐次线性微分方程通解解法。

7．会解或的常系数线性非齐次微分方程。

8．了解欧拉方程

9．会用微分方程解决一些简单的应用问题。

重点：

可分离变量及一阶线性微分方程的解法，二阶常系数齐次线性微分方程解法，自由项为的二阶常系数非齐次线性微分方程特解的求法。

难点：

伯努利方程和全微分方程的解法，自由项为的二阶常系数非齐次线性微分方程特解的求法。

（九）无穷级数（22学时）

内容：

常数项级数的概念及性质，常数项级数的审敛法。

幂级数，函数展开成幂级数及应用，傅里叶级数。

基本要求

1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及级数收敛的必要条件。

2．掌握几何级数和级数的敛散性。

3．掌握正项级数的比较法、极限法、比值与根值判别法，交错级数的莱布尼兹判别法。

4．了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛于收敛的关系。

5．了解函数项级数收敛域及和函数的概念，知道幂级数的收敛半径、收敛区间，会用比值法、根值法求幂级数的收敛区间。

6．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导与逐项求积，

会求一些简单幂级数的和函数。

7．了解函数展开成幂级数的充分必要条件。

掌握的麦克劳林级数展开式，会利用这些展开式将一些简单的函数展开成幂级数。

8．了解傅里叶级数的概念和狄利克雷（Dirichlet）收敛定理，会将定义在上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数或余弦级数，会写出傅里叶级数和函数的表达式。

重点：

几何级数、级数的敛散性，正项级数的比较、比值判别法，交错级数的莱布尼兹判别法，幂级数收敛半径及收敛区间的求法，函数展开成幂级数，简单的幂级数和函数的求法。

难点：

正项级数的比较判别法，用间接法将函数展开为幂级数，幂级数的和函数的求法，泰勒级数。