《两条直线的位置关系》第1课时示范公开课教学设计北师大版七年级数学下册.docx
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《两条直线的位置关系》第1课时示范公开课教学设计北师大版七年级数学下册
第二章相交线与平行线
2.1两条直线的位置关系
第1课时教学设计
一、教学目标
1.知道平面内两条直线的位置关系,并能进行辨析;
2.在具体情景中了解对顶角、补角、余角,知道对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等;
3.能运用互为余角、互为补角、对顶角等相关的知识解决一些实际问题.
二、教学重点及难点
重点:
理解补角、余角、对顶角,掌握同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等.
难点:
探索同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等的过程以及对其意义的理解,并能解决一些实际问题.
三、教学准备
多媒体课件
四、相关资源
相关图片
五、教学过程
【问题情境】
问题:
在我们的生活世界中,蕴涵着大量的相交线和平行线,大家对它们也不陌生,请找出图片中的相交线、平行线.
你能再找出一些身边的相交线、平行线的实例吗?
比如,教室里黑板面相邻的两条边、相对的两条边,操场上的双杠,方格纸上的横线和竖线等等,都给人以相交线、平行线的形象.
设计意图:
让学生观察图片,不但可以体会到几何来源于生活,激发学生学习的兴趣,还可以为下面的分类提供依据,为了解平行线、相交线的概念打下基础.
【探究新知】
探究一:
平行线
拿出两支笔,用它们代表两条直线,随意移动笔,观察笔与笔有几种位置关系?
各种位置关系,分别叫做什么?
提示:
有可能平行、相交、重合.
给出相交线、平行线的定义:
若两条直线只有一个公共点,我们称这两条直线为相交线.
不相交的两条直线叫做平行线.
通常情况下我们只研究不重合的情形,若去掉重合这种情况,在同一平面上两条直线有几种位置关系?
结论:
同一平面内的两条直线的位置关系有平行和相交两种.
特别强调:
平行线的含义有三点
(1)“在同一平面”是前提条件;
(2)“不相交”是指两条直线没有交点;
(3)平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或两条线段
(有时我们也说两条射线或两条线段平行,这实际上市指它们所在的直线平行).
设计意图:
让学生用两支笔动手操作,不但培养了学生的动手能力,还能让学生更深层次的体会到平行线的含义,进一步明确同一平面内两条直线的位置关系.
探究二:
对顶角的概念和性质:
1.观看一组生活中的图片,你们觉得这些图片有什么共同点吗?
对顶角的概念:
两个角的两边互为反向延长线,则这两个角叫做对顶角.
特别关注:
(1)对顶角只有在两条直线相交时才出现.
(2)对顶角是指两个角的位置关系.
在纸上任意画两条相交直线,分别度量所成的四个角的大小,你发现形成对顶角的两个角的大小有什么关系?
2.对顶角的性质:
对顶角相等.
设计意图:
让学生从实物中观察,从直观的角度去感受对顶角的概念.并用语言去表达这两个概念,培养口语表达能力.
探究三:
余角、补角的概念和性质:
活动1.计算:
(1)44°+46°=;
(2)30°20′34″+59°39′26″=;
(3)10°+25°+55°=;(4)96°+84°=;
(5)58°45′+121°15′=;(6)50°+25°+105°=.
答案:
前三个都是90°;后三个都是180°.
总结:
互为余角、互为补角的概念:
如果两个角的和是90°,那么称这两个角互为余角(如图).
如果两个角的和是180°,那么称这两个角互为补角(如图).
互为余角、互为余角的性质:
同角或等角的余角相等.
同角或等角的补角相等.
设计意图:
教师演示,让学生通过观察,从直观的角度去感受互为余角、补角的概念.并用语言去表达这两个概念,培养口语表达能力.
活动2.如图:
打台球时,选择适当的方向用白球击打红球,反弹后的红球会直接入袋,此时∠1=∠2.
(1)有哪些角互为补角?
有哪些角互为余角?
(2)∠3和∠4有什么关系?
为什么?
(3)∠AOC与∠BOD有什么关系?
为什么?
你还能得到哪些结论?
解:
(1)补角关系的有:
∠1与∠AOC、∠DON与∠NOC、∠2与∠DOB、∠1和∠DOB、∠2和∠AOC
余角关系的有:
∠1与∠3、∠2与∠4、∠1与∠4、∠3与∠2;
(2)∠3=∠4.理由是因为∠1+∠3=∠1+∠4=90°,所以∠3=∠4(余角的性质);
(3)∠AOC=∠BOD.理由是因为∠1+∠AOC=∠1+∠BOD=180°,所以∠AOC=∠BOD(补角的性质);
因为∠3=∠4,所以还能得出ON是∠AOB的角平分线.
设计意图:
考查学生对补角与余角的定义和性质的掌握与运用能力,此题考查学生的列举,通过题设信息得出所有补角和余角的对数,再运用余角(或补角)的性质:
等角或同角的余角(或补角)相等.两角之和等于直角90°,则两角互余;两角之和等于平角180°,则两角互补.运用角平分线的定义与判断,得出一个角平分线的结论.
【典型例题】
例1.如图,直线AB,CD,EF相交于点O,∠1=40°,∠BOC=110°,求∠2的度数.
分析:
结合图形,由∠1和∠BOC求得∠BOF的度数,根据“对顶角相等”得∠2的度数.
解:
因为∠1=40°,∠BOC=110°(已知),所以∠BOF=∠BOC-∠1=110°-40°=70°.因为∠BOF=∠2(对顶角相等),所以∠2=70°(等量代换).
设计意图:
两条相交直线构成对顶角,这时应注意“对顶角相等”这一隐含的结论.在图形中正确找到对顶角,利用角的和差及对顶角的性质找到角的等量关系,然后结合已知条件进行转化.
例2.如图,直线a,b相交,∠1=40°,求∠2、∠3、∠4的度数.
解:
由邻补角的定义,可得
∠2=180°-∠1
=180°-40°
=140°.
由对顶角相等,可得
∠3=∠1=40°,
∠4=∠2=140°.
设计意图:
例3.
(1)已知∠A与∠B互余,且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°,求∠B的度数.
分析:
根据∠A与∠B互余,得出∠A+∠B=90°,再由∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°,从而得到∠A=3∠B+30°,再把两个算式联立即可求出∠2的值.
解:
∵∠A与∠B互余,∴∠A+∠B=90°.又∵∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°,∴设∠B=x,∴∠A=3∠B+30°=3x+30°,∴3x+30°+x=90°,解得x=15°,故∠B的度数为15°.
(2)已知一个角的补角是它的余角的4倍,求这个角的度数.
解:
设这个角为x°,则180-x=4(90-x),
∴x=60.
答:
这个角是60°.
设计意图:
此题把角的关系结合方程问题一起解决,即把相等关系的问题转化为方程问题,利用方程来解决.
例4.如图,E,F是直线DG上两点,∠1=∠2,∠3=∠4=90°,找出图中相等的角并说明理由.
解:
∠5=∠6,理由是:
等角的余角相等.
例5.如图,已知AOB是一直线,OC是∠AOB的平分线,∠DOE是直角,图中哪些角互余?
哪些角互补?
哪些角相等?
解:
互余:
∠1与∠2,∠1与∠4,∠2与∠3,∠4与∠3;
互补:
∠1与∠EOB,∠3与∠EOB,∠4与∠AOD,∠2与∠AOD,∠AOC与∠BOC,∠AOC与∠DOE,∠BOC与∠DOE.
相等:
∠AOC=∠BOC=∠DOE,∠1=∠3,∠2=∠4.
【随堂练习】
1.填表:
∠α
∠α的余角
∠α的补角
32°
62°23′
x
从中,你发现一个锐角的补角比它的余角大______.
答案:
1.表格第一行:
58°,148°;第二行:
27°37′,117°37′;
第三行:
90°-x,180°-x;空格:
90°.
2.
(1)一个角有余角也一定有补角.()
(2)一个角有补角也一定有余角.()
(3)一个角的补角一定大于这个角.()
解:
(1)√;
(2)×;(3)×.
3.
(1)下列说法正确的是( ).D
A.有公共顶点的两个角是对顶角
B.相等的两角是对顶角
C.有公共顶点并且相等的角是对顶角
D.两条直线相交成的四个角中,有公共顶点且没有公共边的两个角是对顶角
(2)在下列4个判断中:
①在同一平面内,不相交的两条线段一定平行;②不相交的两条直线一定平行;③在同一平面内,不平行的两条射线一定相交;④在同一平面内,不平行的两条直线一定相交.
其中正确的个数是()D
A.4B.3C.2D.1
4.
(1)如果∠A=35°18′,那么∠A的余角等于;∠A的补角等于.54°42′,144°42′
(2)已知∠1与∠2是对顶角,∠1与∠3互为补角,则∠2+∠3=________.180°
(3)如果一个角的补角是150°,那么这个角的余角的度数是.60°
(4)已知
与
互补,且
与
是对顶角,则
=_________..90°
(5)一个角的补角比这个角的余角的3倍还大10度,则这个角的度数是.50°
5.如果直线AB,CD相交于O点,且∠AOC=28°,作∠DOE=∠DOB,OF平分∠AOE,求∠EOF的度数.
解:
∵∠AOC=∠BOD=28°(对顶角相等),
又∵∠DOE=∠DOB,
∴∠AOE=180°-∠EOD-∠BOD
=180°-2∠BOD=180°-2×28°=124°,
∵OF平分∠AOE,
∴∠EOF=
∠AOE=
×124°=62°.
6.如图所示,已知∠AOB在∠AOC内部,∠BOC=90°,OM,ON分别是∠AOB,∠AOC的平分线,∠AOB与∠COM互补,求∠BON的度数.
分析:
根据补角的性质,
可得∠AOB+∠COM=180°.
根据角的和差,可得∠AOB+∠BOM=90°.
根据角平分线的性质,可得∠BOM=∠AOB.
根据解方程,可得∠AOB的度数.根据角的和差,可得答案.
解:
∵∠AOB与∠COM互补,
∴∠AOB+∠COM=180°,
即∠AOB+∠BOM+∠COB=180°.
∵∠COB=90°,
∴∠AOB+∠BOM=90°.
∵OM是∠AOB的平分线,
∴
即
解得∠AOB=60°,
∴∠AOC=∠BOC+∠AOB=90°+60°=150°.
∵ON平分∠AOC,
得
由角的和差,
∴∠BON=∠AON-∠AOB=75°-60°=15°.
7.如图,将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起.
(1)如图①,若CE是∠ACD的角平分线,那么CD是∠ECB的角平分线吗?
并简述理由;
(2)如图②,若∠ECD=α,CD在∠BCE的内部,请你猜想∠ACE与∠DCB是否相等?
并简述理由;
(3)在
(2)的条件下,请问∠ECD与∠ACB的和是多少?
并简述理由.
分析:
(1)首先根据直角三角板的特点得到∠ACD=90°,∠ECB=90°.再根据角平分线的定义计算出∠ECD和∠DCB的度数即可;
(2)∠ACE与∠DCB相等,根据“等角的余角相等”即可得到答案;
(3)根据角的和差关系进行等量代换即可.
解:
(1)CD是∠ECB的角平分线.理由如下:
∵∠ACD=90°,CE恰好是∠ACD的角平分线,∴∠ECD=45°,
∵∠ECB=90°,∴∠DCB=90°-45°=45°,
∴∠ECD=∠DCB,
∴此时CD是∠ECB的角平分线;
故答案为:
角平分线.
(2)∠ACE=∠DCB,
∵∠ACD=90°,∠BCE=90°,∠ECD=α,
∴∠ACE=90°-α,∠DCB=90°-α,
∴∠ACE=∠DCB.
(3)∠ECD+∠ACB=180°.
理由如下:
∠ECD+∠ACB=∠ECD+∠ACE+∠ECB=∠ACD+∠ECB=90°+90°=180°.
设计意图:
本题主要考查学生对邻补角、对顶角概念的理解,以及对对顶角相等的性质的掌握.
六、课堂小结
1、同一平面内两条直线的位置关系:
平行、相交.
2、
互余
互补
对顶角
定义
如果两个角的和是90°,那么称这两个角互为余角
如果两个角的和是180°,那么称这两个角互为补角
两个角的两边互为反向延长线,则这两个角叫做对顶角
对应图形关系
性质
同角或等角的余角相等
同角或等角的补角相等
对顶角相等
七、板书设计
2.1两条直线的位置关系
一、平行线:
若两条直线只有一个公共点,我们称这两条直线为相交线.
不相交的两条直线叫做平行线.
同一平面内的两条直线的位置关系有平行和相交两种.
二、对顶角
两个角的两边互为反向延长线,则这两个角叫做对顶角.
对顶角相等.
三、余角、补角的概念和性质
如果两个角的和是90°,那么称这两个角互为余角(如图).
如果两个角的和是180°,那么称这两个角互为补角(如图).
互为余角、互为余角的性质:
同角或等角的余角相等.
同角或等角的补角相等.
四、练习: