《两条直线的位置关系》第1课时示范公开课教学设计北师大版七年级数学下册.docx

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《两条直线的位置关系》第1课时示范公开课教学设计北师大版七年级数学下册

第二章相交线与平行线

2.1两条直线的位置关系

第1课时教学设计

一、教学目标

1.知道平面内两条直线的位置关系，并能进行辨析；

2.在具体情景中了解对顶角、补角、余角，知道对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等；

3.能运用互为余角、互为补角、对顶角等相关的知识解决一些实际问题．

二、教学重点及难点

重点：

理解补角、余角、对顶角，掌握同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等．

难点：

探索同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等的过程以及对其意义的理解，并能解决一些实际问题．

三、教学准备

多媒体课件

四、相关资源

相关图片

五、教学过程

【问题情境】

问题：

在我们的生活世界中，蕴涵着大量的相交线和平行线，大家对它们也不陌生，请找出图片中的相交线、平行线．

你能再找出一些身边的相交线、平行线的实例吗？

比如，教室里黑板面相邻的两条边、相对的两条边，操场上的双杠，方格纸上的横线和竖线等等，都给人以相交线、平行线的形象．

设计意图：

让学生观察图片，不但可以体会到几何来源于生活，激发学生学习的兴趣，还可以为下面的分类提供依据，为了解平行线、相交线的概念打下基础．

【探究新知】

探究一：

平行线

拿出两支笔，用它们代表两条直线，随意移动笔，观察笔与笔有几种位置关系？

各种位置关系，分别叫做什么？

提示：

有可能平行、相交、重合．

给出相交线、平行线的定义：

若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线．

不相交的两条直线叫做平行线．

通常情况下我们只研究不重合的情形，若去掉重合这种情况，在同一平面上两条直线有几种位置关系？

结论：

同一平面内的两条直线的位置关系有平行和相交两种．

特别强调：

平行线的含义有三点

（1）“在同一平面”是前提条件；

（2）“不相交”是指两条直线没有交点；

（3）平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或两条线段

（有时我们也说两条射线或两条线段平行，这实际上市指它们所在的直线平行）．

设计意图：

让学生用两支笔动手操作，不但培养了学生的动手能力，还能让学生更深层次的体会到平行线的含义，进一步明确同一平面内两条直线的位置关系．

探究二：

对顶角的概念和性质：

1.观看一组生活中的图片，你们觉得这些图片有什么共同点吗？

对顶角的概念：

两个角的两边互为反向延长线，则这两个角叫做对顶角．

特别关注：

（1）对顶角只有在两条直线相交时才出现．

（2）对顶角是指两个角的位置关系．

在纸上任意画两条相交直线，分别度量所成的四个角的大小，你发现形成对顶角的两个角的大小有什么关系？

2.对顶角的性质：

对顶角相等．

设计意图：

让学生从实物中观察，从直观的角度去感受对顶角的概念．并用语言去表达这两个概念，培养口语表达能力．

探究三：

余角、补角的概念和性质：

活动1.计算：

（1）44°＋46°=；

（2）30°20′34″＋59°39′26″=；

（3）10°＋25°＋55°=；（4）96°＋84°=；

（5）58°45′＋121°15′=；（6）50°＋25°＋105°=．

答案：

前三个都是90°；后三个都是180°．

总结：

互为余角、互为补角的概念：

如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角（如图）．

如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角（如图）．

互为余角、互为余角的性质：

同角或等角的余角相等．

同角或等角的补角相等．

设计意图：

教师演示，让学生通过观察，从直观的角度去感受互为余角、补角的概念．并用语言去表达这两个概念，培养口语表达能力．

活动2.如图：

打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2.

（1）有哪些角互为补角？

有哪些角互为余角？

（2）∠3和∠4有什么关系？

为什么？

（3）∠AOC与∠BOD有什么关系？

为什么？

你还能得到哪些结论？

解：

（1）补角关系的有：

∠1与∠AOC、∠DON与∠NOC、∠2与∠DOB、∠1和∠DOB、∠2和∠AOC

余角关系的有：

∠1与∠3、∠2与∠4、∠1与∠4、∠3与∠2；

（2）∠3=∠4.理由是因为∠1+∠3=∠1+∠4=90°，所以∠3=∠4（余角的性质）；

（3）∠AOC=∠BOD.理由是因为∠1+∠AOC=∠1+∠BOD=180°，所以∠AOC=∠BOD（补角的性质）；

因为∠3=∠4，所以还能得出ON是∠AOB的角平分线.

设计意图：

考查学生对补角与余角的定义和性质的掌握与运用能力，此题考查学生的列举，通过题设信息得出所有补角和余角的对数，再运用余角（或补角）的性质：

等角或同角的余角（或补角）相等.两角之和等于直角90°，则两角互余；两角之和等于平角180°，则两角互补.运用角平分线的定义与判断，得出一个角平分线的结论.

【典型例题】

例1．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数．

分析：

结合图形，由∠1和∠BOC求得∠BOF的度数，根据“对顶角相等”得∠2的度数．

解：

因为∠1＝40°，∠BOC＝110°（已知），所以∠BOF＝∠BOC－∠1＝110°－40°＝70°．因为∠BOF＝∠2（对顶角相等），所以∠2＝70°（等量代换）．

设计意图：

两条相交直线构成对顶角，这时应注意“对顶角相等”这一隐含的结论．在图形中正确找到对顶角，利用角的和差及对顶角的性质找到角的等量关系，然后结合已知条件进行转化．

例2．如图，直线a，b相交，∠1＝40°，求∠2、∠3、∠4的度数．

解：

由邻补角的定义，可得

∠2＝180°－∠1

＝180°－40°

＝140°．

由对顶角相等，可得

∠3＝∠1＝40°，

∠4＝∠2＝140°．

设计意图：

例3．

（1）已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，求∠B的度数．

分析：

根据∠A与∠B互余，得出∠A＋∠B＝90°，再由∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，从而得到∠A＝3∠B＋30°，再把两个算式联立即可求出∠2的值．

解：

∵∠A与∠B互余，∴∠A＋∠B＝90°．又∵∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，∴设∠B＝x，∴∠A＝3∠B＋30°＝3x＋30°，∴3x＋30°＋x＝90°，解得x＝15°，故∠B的度数为15°．

（2）已知一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的度数．

解：

设这个角为x°，则180－x=4（90－x），

∴x=60．

答：

这个角是60°．

设计意图：

此题把角的关系结合方程问题一起解决，即把相等关系的问题转化为方程问题，利用方程来解决．

例4．如图，E，F是直线DG上两点，∠1=∠2，∠3=∠4=90°，找出图中相等的角并说明理由．

解：

∠5=∠6，理由是：

等角的余角相等．

例5．如图，已知AOB是一直线，OC是∠AOB的平分线，∠DOE是直角，图中哪些角互余？

哪些角互补？

哪些角相等？

解：

互余：

∠1与∠2，∠1与∠4，∠2与∠3，∠4与∠3；

互补：

∠1与∠EOB，∠3与∠EOB，∠4与∠AOD，∠2与∠AOD，∠AOC与∠BOC，∠AOC与∠DOE，∠BOC与∠DOE．

相等：

∠AOC=∠BOC=∠DOE，∠1=∠3，∠2=∠4．

【随堂练习】

1．填表：

∠α

∠α的余角

∠α的补角

32°

62°23′

x

从中，你发现一个锐角的补角比它的余角大______．

答案：

1．表格第一行：

58°，148°；第二行：

27°37′，117°37′；

第三行：

90°－x，180°－x；空格：

90°．

2．

（1）一个角有余角也一定有补角．（）

（2）一个角有补角也一定有余角．（）

（3）一个角的补角一定大于这个角．（）

解：

（1）√；

（2）×；（3）×．

3.

（1）下列说法正确的是（　　）．D

A．有公共顶点的两个角是对顶角

B．相等的两角是对顶角

C．有公共顶点并且相等的角是对顶角

D．两条直线相交成的四个角中，有公共顶点且没有公共边的两个角是对顶角

（2）在下列4个判断中:

①在同一平面内，不相交的两条线段一定平行；②不相交的两条直线一定平行；③在同一平面内，不平行的两条射线一定相交；④在同一平面内，不平行的两条直线一定相交．

其中正确的个数是（）D

A．4B．3C．2D．1

4.

（1）如果∠A＝35°18′，那么∠A的余角等于；∠A的补角等于．54°42′，144°42′

（2）已知∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3互为补角，则∠2＋∠3＝________．180°

（3）如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是．60°

（4）已知

与

互补，且

与

是对顶角，则

=_________．．90°

（5）一个角的补角比这个角的余角的3倍还大10度，则这个角的度数是．50°

5．如果直线AB，CD相交于O点，且∠AOC＝28°，作∠DOE＝∠DOB，OF平分∠AOE，求∠EOF的度数．

解：

∵∠AOC＝∠BOD＝28°（对顶角相等），

又∵∠DOE＝∠DOB，

∴∠AOE＝180°－∠EOD－∠BOD

＝180°－2∠BOD＝180°－2×28°＝124°，

∵OF平分∠AOE，

∴∠EOF＝

∠AOE＝

×124°＝62°．

6．如图所示，已知∠AOB在∠AOC内部，∠BOC＝90°，OM，ON分别是∠AOB，∠AOC的平分线，∠AOB与∠COM互补，求∠BON的度数．

分析：

根据补角的性质，

可得∠AOB＋∠COM＝180°．

根据角的和差，可得∠AOB＋∠BOM＝90°．

根据角平分线的性质，可得∠BOM＝∠AOB．

根据解方程，可得∠AOB的度数．根据角的和差，可得答案．

解：

∵∠AOB与∠COM互补，

∴∠AOB＋∠COM＝180°，

即∠AOB＋∠BOM＋∠COB＝180°．

∵∠COB＝90°，

∴∠AOB＋∠BOM＝90°．

∵OM是∠AOB的平分线，

∴

即

解得∠AOB＝60°，

∴∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝90°＋60°＝150°．

∵ON平分∠AOC，

得

由角的和差，

∴∠BON＝∠AON－∠AOB＝75°－60°＝15°．

7.如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．

（1）如图①，若CE是∠ACD的角平分线，那么CD是∠ECB的角平分线吗？

并简述理由；

（2）如图②，若∠ECD＝α，CD在∠BCE的内部，请你猜想∠ACE与∠DCB是否相等？

并简述理由；

（3）在

（2）的条件下，请问∠ECD与∠ACB的和是多少？

并简述理由．

分析：

（1）首先根据直角三角板的特点得到∠ACD＝90°，∠ECB＝90°．再根据角平分线的定义计算出∠ECD和∠DCB的度数即可；

（2）∠ACE与∠DCB相等，根据“等角的余角相等”即可得到答案；

（3）根据角的和差关系进行等量代换即可．

解：

（1）CD是∠ECB的角平分线．理由如下：

∵∠ACD=90°，CE恰好是∠ACD的角平分线，∴∠ECD=45°，

∵∠ECB=90°，∴∠DCB=90°-45°=45°，

∴∠ECD=∠DCB，

∴此时CD是∠ECB的角平分线；

故答案为：

角平分线．

（2）∠ACE=∠DCB，

∵∠ACD=90°，∠BCE=90°，∠ECD=α，

∴∠ACE=90°-α，∠DCB=90°-α，

∴∠ACE=∠DCB．

（3）∠ECD+∠ACB=180°．

理由如下：

∠ECD+∠ACB=∠ECD+∠ACE+∠ECB=∠ACD+∠ECB=90°+90°=180°．

设计意图：

本题主要考查学生对邻补角、对顶角概念的理解，以及对对顶角相等的性质的掌握．

六、课堂小结

1、同一平面内两条直线的位置关系：

平行、相交．

2、

互余

互补

对顶角

定义

如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角

如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角

两个角的两边互为反向延长线，则这两个角叫做对顶角

对应图形关系

性质

同角或等角的余角相等

同角或等角的补角相等

对顶角相等

七、板书设计

2.1两条直线的位置关系

一、平行线：

若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线．

不相交的两条直线叫做平行线．

同一平面内的两条直线的位置关系有平行和相交两种．

二、对顶角

两个角的两边互为反向延长线，则这两个角叫做对顶角．

对顶角相等．

三、余角、补角的概念和性质

如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角（如图）．

如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角（如图）．

互为余角、互为余角的性质：

同角或等角的余角相等．

同角或等角的补角相等．

四、练习：