专题23 多边形内角和问题解析版.docx
《专题23 多边形内角和问题解析版.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《专题23 多边形内角和问题解析版.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
专题23多边形内角和问题解析版
专题23多边形内角和问题
1.多边形:
在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
2.多边形的内角:
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
3.多边形的外角:
多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫多边形的外角。
4.多边形的对角线:
连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。
5.正多边形:
在平面内,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形。
6.多边形内角和公式:
n边形的内角和等于(n-2)·180°
7.多边形的外角和:
多边形的内角和为360°。
8.多边形对角线的条数:
(1)从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线,把多边形分成(n-2)个三角形。
(2)n边形共有
条对角线。
【例题1】(2019贵州铜仁)如图为矩形ABCD,一条直线将该矩形分割成两个多边形,若这两个多边形的内角和分别为a和b,则a+b不可能是( )
A.360°B.540°C.630°D.720°
【答案】C.
【解析】一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形,每一个多边形的内角和都是180°的倍数,都能被180整除,分析四个答案,只有630不能被180整除,所以a+b不可能是630°.
【例题2】(2019广西梧州)正九边形的一个内角的度数是( )
A.108°B.120°C.135°D.140°
【答案】D.
【解析】先根据多边形内角和定理:
180°•(n﹣2)求出该多边形的内角和,再求出每一个内角的度数.
该正九边形内角和=180°×(9﹣2)=1260°,
则每个内角的度数=
.
【例题3】(2019湖南湘西州)已知一个多边形的内角和是1080°,则这个多边形是( )
A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形
【答案】D
【解析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数,解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理。
多边形的内角和可以表示成(n﹣2)•180°,列方程可求解.
设所求多边形边数为n,
则(n﹣2)•180°=1080°,
解得n=8.
【例题4】(2019海南)如图,⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D,则劣弧
所对的圆心角∠BOD的大小为 度.
【答案】144.
【解析】根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠D,根据切线的性质可求出∠OAE、∠OCD,从而可求出∠AOC,然后根据圆弧长公式即可解决问题.
∵五边形ABCDE是正五边形,
∴∠E=∠A=
=108°.
∵AB、DE与⊙O相切,
∴∠OBA=∠ODE=90°,
∴∠BOD=(5﹣2)×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°=144°。
一、选择题
1.(2019湖北咸宁)若正多边形的内角和是540°,则该正多边形的一个外角为( )
A.45°B.60°C.72°D.90°
【答案】C
【解析】根据多边形的内角和公式(n﹣2)•180°求出多边形的边数,再根据多边形的外角和是固定的360°,依此可以求出多边形的一个外角.
∵正多边形的内角和是540°,
∴多边形的边数为540°÷180°+2=5,
∵多边形的外角和都是360°,
∴多边形的每个外角=360÷5=72°.
2.(2019内蒙古巴彦卓尔)下列命题:
①若x2+kx+
是完全平方式,则k=1;
②若A(2,6),B(0,4),P(1,m)三点在同一直线上,则m=5;
③等腰三角形一边上的中线所在的直线是它的对称轴;
④一个多边形的内角和是它的外角和的2倍,则这个多边形是六边形.
其中真命题个数是( )
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【解析】利用完全平方公式对①进行判断;利用待定系数法求出直线AB的解析式,然后求出m,则可对②进行判断;根据等腰三角形的性质对③进行判断;根据多边形的内角和和外角和对④进行判断.
若x2+kx+
是完全平方式,则k=±1,所以①错误;
若A(2,6),B(0,4),P(1,m)三点在同一直线上,而直线AB的解析式为y=x+4,则x=1时,m=5,所以②正确;
等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴,所以③错误;
一个多边形的内角和是它的外角和的2倍,则这个多边形是六边形,所以④正确.
3.(2019宁夏)如图,正六边形ABCDEF的边长为2,分别以点A,D为圆心,以AB,DC为半径作扇形ABF,扇形DCE.则图中阴影部分的面积是( )
A.6
﹣
πB.6
﹣
πC.12
﹣
πD.12
﹣
π
【答案】B.
【解析】∵正六边形ABCDEF的边长为2,
∴正六边形ABCDEF的面积是:
=6×
=6
,
∠FAB=∠EDC=120°,
∴图中阴影部分的面积是:
6
﹣
=
,
4.(2018苏州)一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°,则这个多边形对角线的条数是( )
A.27B.35C.44D.54
【答案】C
【解析】设出题中所给的两个未知数,利用内角和公式列出相应等式,根据边数为整数求解即可,再进一步代入多边形的对角线计算方法
,即可解答.
设这个内角度数为x,边数为n,
∴(n﹣2)×180°﹣x=1510,
180n=1870+x,
∵n为正整数,
∴n=11,
∴
=44
5.(2018齐齐哈尔)如果一个多边形的每一个外角都是60°,则这个多边形的边数是( )
A.3B,4C.5D.6
【答案】D
【解析】由一个多边形的每一个外角都等于60°,且多边形的外角和等于360°,即可求得这个多边形的边数.
∵一个多边形的每一个外角都等于60°,且多边形的外角和等于360°,
∴这个多边形的边数是:
360÷60=6.
6.(2018武汉)一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°,则这个多边形对角线的条数是( )
A.27B.35C.44D.54
【答案】C
【解析】设出题中所给的两个未知数,利用内角和公式列出相应等式,根据边数为整数求解即可,再进一步代入多边形的对角线计算方法
,即可解答.
设这个内角度数为x,边数为n,
∴(n﹣2)×180°﹣x=1510,
180n=1870+x,
∵n为正整数,
∴n=11,
∴
=44
7.(2018大连)如图,在△ABC中,∠A=40°,D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点,则∠BDC= .
【答案】110°.
【解析】由D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点可推出∠DBC+∠DCB=70,再利用三角形内角和定理即可求出∠BDC的度数.
∵D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点,
∴有∠CBD=∠ABD=
∠ABC,∠BCD=∠ACD=
∠ACB,
∴∠ABC+∠ACB=180﹣40=140,
∴∠OBC+∠OCB=70,
∴∠BOC=180﹣70=110°
8.(2018沈阳)若正多边形的一个内角是150°,则该正多边形的边数是( )
A.6B.12C.16D.18
【答案】B
【解析】根据多边形的内角和,可得答案.
设多边形为n边形,由题意,得
(n﹣2)180°=150n,
解得n=12
9.(2018山东临沂)内角和为540°的多边形是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】根据多边形的内角和公式(n﹣2)•180°列式进行计算即可求解.
设多边形的边数是n,则
(n﹣2)•180°=540°,
解得n=5.
10.(2018江苏镇江)已知n边形的内角和θ=(n-2)×180°.
(1)甲同学说,θ能取360°;而乙同学说,θ也能取630°.甲、乙的说法对吗?
若对,求出边数n.若不对,说明理由;
(2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了360°,用列方程的方法确定x.
【答案】
(1)甲对,乙不对,理由见解析;
(2)2.
【解析】
(1)根据多边形的内角和公式判定即可;
(2)根据题意列方程,解方程即可.
试题解析:
(1)甲对,乙不对.
∵θ=360°,∴(n-2)×180°=360°,
解得n=4.
∵θ=630°,∴(n-2)×180°=630°,
解得n=
.
∵n为整数,∴θ不能取630°.
(2)由题意得,(n-2)×180+360=(n+x-2)×180,
解得x=2.
11.(2018湖南岳阳)已知正多边形的一个外角等于40°,那么这个正多边形的边数为( )
A.6B.7C.8D.9
【答案】D
【解析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数,求得边数.
正多边形的一个外角等于40°,且外角和为360°,
则这个正多边形的边数是:
360°÷40°=9.
12.(2018四川绵阳)一个多边形切去一个角后,形成的另一个多边形的内角和为1080°,那么原多边形的边数为( )
A.7B.7或8C.8或9D.7或8或9
【答案】D.
【解析】本题考查了多边形的内角和定理,一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1,可能减少1,或不变.
首先求得内角和为1080°的多边形的边数,即可确定原多边形的边数.
设内角和为1080°的多边形
的边数是n,则(n﹣2)•180°=1080°,
解得:
n=8.
则原多边形的边数为7或8或9.
13.(2019大庆模拟题)将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形,那么这两个多边形的内角和之和不可能是( )
A.360°B.540°C.720°D.900°
【答案】D.
【解析】本题考查了多边形的内角与外角,能够得出一个矩形截一刀后得到的图形有三种情形,是解决本题的关键.
根据题意列出可能情况,再分别根据多边形的内角和定理进行解答即可.
①将矩形沿对角线剪开,得到两个三角形,两个多边形的内角和为:
180°+180°=360°
②将矩形从一顶点剪向对边,得到一个三角形和一个四边形,两个多边形的内角和为:
180°+360°=540°
③将矩形沿一组对边剪开,得到两个四边形,两个多边形的内角和为:
360°+360°=720°
14.(2019长沙模拟题)若一个正n边形的每个内角为144°
,则正n边形的所有对角线的条数是( )
A.7B.10C.35D.70
【答案】C.
【解析】本题考查了多边形的内角以及多边形的对角线,解题的关键是求出正n边形的边数.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据多边形的内角和公式求出多边形边的条数是关键.
由正n边形的每个内角为144°结合多边形内角和公式,即可得出关于n的一元一次方程,解方程即可求出n的值,将其代入
中即可得出结论.
∵一个正n边形的每个内角为144°,
∴144°n=180°×(n﹣2),解得:
n=10.
这个正n边形的所有对角线的条数是:
=
=35.
15.(2018江西)如图,五边形ABCDE中有一正三角形ACD,若AB=DE,BC=AE,∠E=115°,则∠BAE的度数为何?
( )
A.115B.120C.125D.130
【答案】C
【解析】根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等,进而得出∠B=∠E,利用多边形的内角和解答即可.
∵正三角形ACD,
∴AC=AD,∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°,
∵AB=DE,BC=AE,
∴△ABC≌△AED,
∴∠B=∠E=115°,∠ACB=∠EAD,∠BAC=∠ADE,
∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°,
∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°
二、填空题
16.(2019江苏淮安)若一个多边形的内角和是540°,则该多边形的边数是 .
【答案】5
【解析】n边形的内角和公式为(n﹣2)•180°,由此列方程求n.
设这个多边形的边数是n,
则(n﹣2)•180°=540°,
解得n=5
17.(2019陕西)若正六边形的边长为3,则其较长的一条对角线长为
【答案】6
【解析】如图所示为正六边形最长的三条对角线,由正六边形性质可知,△AOB,△COD为两个边长相等的等边三角形,∴AD=2AB=6,故答案为6
18.(2019江苏徐州)如图,A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点.若O为正多边形的中心,则∠OAD= .
【答案】140°
【解析】利用任意凸多边形的外角和均为360°,正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数,再根据多边形的内角和公式计算即可.
多边形的每个外角相等,且其和为360°,
据此可得多边形的边数为:
,
∴∠OAD=
.
19.(经典题)一个多边形的内角和是其外角和的3倍,则这个多边形的边数是________.
【答案】8
【解析】根据多边形的内角和公式,多边形外角和为360°,根据题意列出方程,解之即可.
设这个多边形边数为n,∴(n-2)×180°=360°×3,∴n=8.