必修一第四章学案.docx
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必修一第四章学案
第4章函数的应用
§4.1利用函数性质判定方程解的存在
学习目标：
1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
2.理解函数的零点概念以及函数零点与方程根的联系.
3.掌握函数零点的存在性判定定理.
学习重点：
重点：
方程的根与函数的零点的关系
难点：
判段图像连续的函数在某个给定区间存在零点的方法
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1.一元二次方程
（a
0）的解法.
判别式
=.
当
0，方程有两根，为
；
当
0，方程有一根，为
；
当
0，方程无实根.
2.函数的零点
（1）函数
的图像与横轴的交点称为这个函数的零点。
（2）
的零点就是方程
的，函数的零点个数就决定了相应方程。
3.函数零点的判定
（1）若函数
在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即，则在区间（a,b）内函数
至少有，即相应方程
在区间（a,b）内至少有（实数解）。
（2）.函数的“零点”是一个“点”吗？
合作探究：
（对学、群学）
1、求函数的零点
例1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出：
（1）f（x）＝1＋log3x；
（2）f（x）＝4x－16；
（3）f（x）＝
.
变式1.求下列函数的零点：
（1）
；
（2）
.
例2：
（1）．函数f（x）＝x－
的零点的个数是（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
变式2．求函数f（x）＝lnx＋2x－6的零点个数．
例3：
（1）函数f（x）＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是（ ）．
A．（－2，－1）B．（－1,0）
C．（0,1）D．（1,2）
变式3．试判断方程x3＝2x在区间[1,2]内是否有实数解．
评价提升（评价、完善）：
1．求函数f（x）的零点，基本方法是解方程f（x）＝0，方程的根就是零点．
2．解分式方程、对数方程等要验根，保证方程有意义，避免增解．
3.判断函数零点的个数常有以下方法：
（1）解方程f（x）＝0，方程根的个数就是函数f（x）的零点的个数；
（2）画出函数f（x）的图像，该图像与x轴交点的个数就是函数f（x）零点的个数；
（3）将方程f（x）＝0变形为g（x）＝h（x），在同一坐标系中画出函数g（x）和h（x）的图像，两个图像交点的个数就是原函数f（x）零点的个数．
4.判断一个方程f（x）＝0（函数f（x））在区间[a，b]上是否存在实数解（零点），首先看函数f（x）在区间[a，b]上的图像是否连续，其次再检验是否满足f（a）·f（b）＜0.若满足，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内必有零点，且相应的方程f（x）＝0必有实数解
达标拓展：
1
（1）当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在（0,1）上，另一个根在（1,2）上？
（2）若函数f（x）＝x2＋2x－a的两个零点中一个大于1，另一个小于1，那么实数a的取值范围是________．
2．函数f（x）＝ax2＋bx＋c，若f
（1）＞0，f
（2）＜0，则f（x）在（1,2）上零点的个数是（ ）．
A．至多有一个B．有一个或两个
C．有且仅有一个D．一个也没有
3．函数f（x）＝x2－
的零点的个数是________
§4.2利用二分法求方程的近似解
学习目标：
（1）通过具体实例理解二分法的概念，
（2）掌握运用二分法求简单方程近似解的方法，从中体会函数的零点与方程根之间的联系及其在实际问题中的应用。
学习重点：
重点：
用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识。
自主学习（独学、质疑）
一、二分法的概念
对于图像在区间[a，b]上连续不断且满足f（a）·f（b）＜0的函数y＝f（x），每次取区间的_________，将区间___________，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．
二、二分法定义的理解
（1）下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是（ ）．
（2）用二分法求方程f（x）＝0的近似解，f
（1）＝－2，f（1.5）＝0.625，f（1.25）＝－0.984，f（1.375）＝－0.260，下一个求f（m），则m＝________.
合作探究（对学、群学）
例1:
求方程lgx－2－x＋1＝0的近似解（精度为0.1）
变式1：
求方程lnx＋x－3＝0在（2,3）内的近似解．（精确到0.1）
例2：
已知函数f（x）＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f（0）＞0，f
（1）＞0，证明a＞0，并利用二分法证明方程f（x）＝0在[0,1]内有两个实根．
变式2：
用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是__________．
例3：
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？
如果沿着线路一小段一小段地查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆，10km长，大约有200多根电线杆呢．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
变式3：
用二分法研究函数f（x）＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f（0）＜0，f（0.5）＞0，可得其中一个零点x0∈__________，第二次应计算__________，这时可判断x0∈__________.
评价提升（评价、完善）：
二分法求方程近似解的过程，可以表示为：
否
取新区间
2:
利用二分法求方程的近似解时应注意的问题
（1）注意题目中要求的精度，它决定着二分法到何时结束；
（2）选择方程的解可能存在的合适的初始区间，它决定着二分法计算步骤的繁简；
（3）题目要求的精度不同，得到的方程的近似解不同．
达标拓展（检测、拓展）
1下列函数中，必须用二分法求其零点的是（）
D．y＝
2用二分法求函数y＝f（x）在区间（2,4）上的零点，验证f
（2）·f（4）＜0.给定精度¦Å＝0.01，取区间（2,4）的中点x1＝
，计算得f
（2）·f（x1）＜0，则此时零点x0∈__________.（填区间）
3．用二分法求函数f（x）＝lnx＋2x－6的零点，其参考数据如下：
次数
左端点
左端点
函数值
右端点
右端点
函数值
第1次
2
－1.30685
3
1.09861
第2次
2.5
－0.08371
3
1.09861
第3次
2.5
－0.08371
2.75
0.51160
第4次
2.5
－0.08371
2.625
0.21508
第5次
2.5
－0.08371
2.5625
0.06598
第6次
2.53125
－0.00879
2.5625
0.06598
第7次
2.53125
－0.00879
2.546875
0.02862
第8次
2.53125
－0.00879
2.5390625
0.00992
从表中可以看出方程lnx＋2x－6＝0的一个正的近似解是________（精度为0.01）．
§2.1实际问题的函数刻画
学习目标：
1、知道什么叫数学模型，知道数学建模的意义。
2、会用函数刻画现实世界中变量间的依赖关系。
3、知道函数的一些模型。
如正反比列函数、一次函数。
学习重点：
用函数观点刻画实际问题。
自主学习（课前完成，含独学和质疑）
1：
当人的生活环境温度改变时，人体代谢率也有相应的变化，表4-2给出了实验的一组数据，这组数据能说明什么？
环境温度／（℃）
4
10
20
30
38
代谢率/[4185J/（h.m2）]
60
44
40
40.5
54
（⒈）在这个实际问题中出现了几个变量？
它们之间能确定函数关系吗？
为什么？
（2）、结合图4-5分析代谢率在什么范围下降，什么范围上升？
（3）温度在什么范围内代谢率变化较小比较稳定，什么范围代谢率变化较大？
2：
某厂生产一种畅销的新型工艺品，为此更新专用设备和制作模具花去了200000元，生产每件工艺品的直接成本为300元，每件工艺品的售价为500元，产量z对总成本C、单位成本P、销售收入R以及利润L之间存在什么样的函数关系？
表示了什么实际含义？
（1）总成本C与产量x的关系是什么？
（2）单位成本P与产量x的关系是什么？
（3）销售收入R与产量x的关系是什么？
（4）利润L与产量x的关系是什么？
（5）利润关系式是什么函数？
当x取何值时亏损、盈利？
合作探究：
（对学、群学）
例1.一个圆柱形容器的底面直径为dcm,高度为hcm，现以每秒S
的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液高度y与时间t（秒）的函数关系式及定义域。
变式1.有m部同样的机器一起工作，需要m小时完成一项任务。
（1）设由x部机器（x为不大于m的正整数）完成同一任务，求所需时间y（小时）与机器的部数x的函数关系式。
（2）画出所求函数当m=4时的图像。
例2.某家报刊销售店从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社。
在一个月（30天）里，有20天每天都可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份。
设每天从报社买进的报纸的数量相同，则应该每天从报社买进多少份才能使每月所获利润最大？
并计算该销售点一个月最多可赚的多少元？
例3：
如图，在一条弯曲的河道上，设置了6个水文监测站，现在需要在河边建一个情报中心，从各监测站沿河边分别向情报中心铺设专用通信电缆，怎样刻画专用通信电缆的总长度？
评价提升（评价、完善）：
1.我们通过几例实际问题，体会到了用一次函数（分段）模型来刻画实际问题的方法，明白数形结合法是研究函数性质，解决实际问题的有效方法
2.函数作为描述变量之间依赖关系的数学模型在刻画现实问题中具有广泛的应用。
小到一个人的成长过程，大到一个国家的人口增长；小到一架飞机的飞行路线，大到天体的运动轨迹；小到冰块的温度变化过程，大到全球温度的变暖，都可利用函数进行刻画和研究。
达标拓展：
1.某人开汽车以60
的速度从A地到150km远处的B处，在B地停留1h后，再以50
的速度返回A地。
把汽车离开A地的距离x（km）表示为时间t（h）（从A地出发开始）的函数，并画出函数的图像；再把车速v（
）表示为时间t（h）的函数，并画出函数的图像。
、
2.一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示．
（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式，并作出相应的图像．
§2.2实际问题的函数建模
学习目标：
1.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；
2.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；
3.恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、列表）并借助信息技术解决一些实际问题.
学习重点：
恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、列表）并借助信息技术解决一些实际问题.
自主学习（独学、质疑）
合作探究（对学、群学）
例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：
每天回报40元；
方案二：
第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：
第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
天数
累计收益
方案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
…
一
40
80
120
160
200
240
280
320
360
400
440
…
二
10
30
60
100
150
210
280
360
450
550
660
…
变式1：
某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价/元
6
7
8
9
日均销售量/桶
480
440
400
360
销售单价/元
10
11
12
日均销售量/桶
320
280
240
请据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
例2：
人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（1766－1834）就提出了自然状态下的人口增长模型：
，其中t表示经过的时间，
表示
时的人口数，r表示人口的年平均增长率.下表是1950~1959年我国的人口数据资料：
（单位：
万人）
年份
1950
1951
1952
1953
1954
人数
55196
56300
57482
58796
60266
年份
1955
1956
1957
1958
1959
人数
61456
62828
64563
65994
67207
1）若以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？
变式2：
已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%.
（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？
什么时候世界人口是1970年的2倍？
（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2003年世界人口还没有达到72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法？
例3：
某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
身高/cm
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重/kg
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
（1）根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y（kg）与身高x（cm）的函数关系？
试写出这个函数模型的解析式．
（2）若体重超过相同身高男性体重的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？
评价提升（评价、完善）：
解决应用题的一般程序：
①审题：
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
②建模：
将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
③解模：
求解数学模型，得出数学结论；
④还原：
将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．
达标拓展（检测、拓展）
1.某旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金．如果每间客房每日增加2元，客房出租就会减少10间，若不考虑其他因素，公司将房间租金提高多少时，每天客房的租金总收入最高？
2某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．
（1）写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f（t）；
（2）进一步测定：
每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，药物对治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病的有效时间．
3.灌满开水的热水瓶放在室内，如果瓶内开水原来的温度是θ1度，室内气温是θ0度，t分钟后，开水的温度可由公式θ＝θ0＋（θ1－θ0）e－kt求得，这里，k是一个与热水瓶类型有关的正的常量．现有一只某种类型的热水瓶，测得瓶内水温为100¡æ，过1小时后又测得瓶内水温变为98¡æ.已知某种奶粉必须用不低于85¡æ的开水冲调，现用这种类型的热水瓶在早上六点灌满100¡æ的开水，问：
能否在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调上述奶粉？
（假定该地白天室温为20¡æ）
第4章函数的应用
§4.1利用函数性质判定方程解的存在
自主学习：
1.
；
，
，
2.根；根的个数
3
（1）
；一个零点；一个实数根
（2）不是
合作探究：
（对学、群学）
例1.解：
（1）令1＋log3x＝0，则log3x＝－1，解得x＝
，所以函数的零点为x＝
.
（2）令4x－16＝0，则4x＝42，解得x＝2，
所以函数的零点为x＝2.
（3）因为f（x）＝
＝
，令
＝0，
解得x＝－6，所以函数的零点为x＝－6.
例2：
C 解析：
令f（x）＝0，即x－
＝0.
解得x＝¡À2.所以f（x）有2个零点．
变式2．解法一：
在同一平面直角坐标系中作出y＝lnx与y＝6－2x的图像，由图知，两个函数图像只有一个交点，故函数f（x）的零点个数为1.
解法二：
¡ßf
（2）＝ln2＋2×2－6＝ln2－2＜0，
f（3）＝ln3＋2×3－6＝ln3＞0，¡àf
（2）·f（3）＜0.¡àf（x）在（2,3）上有零点．
又¡ßf（x）在（0，＋¡Þ）上是增加的，¡à函数f（x）有且只有一个零点．
例3：
C 解析：
由于f（－2）＝e－2－2－2＜0，f（－1）＝e－1－1－2＜0，f（0）＝e0＋0－2＝－1＜0，f
（1）＝e＋1－2＝e－1＞0，所以f（0）·f
（1）＜0，因此零点所在的一个区间是（0,1）．选C.
变式3．解：
设函数f（x）＝x3－2x，¡ßf
（1）＝1－2＝－1＜0，f
（2）＝8－4＝4＞0，
¡àf
（1）·f
（2）＜0.又¡ß函数f（x）＝x3－2x的图像是连续曲线，
¡à函数f（x）＝x3－2x在区间[1,2]内至少有一个零点，即方程x3＝2x在区间[1,2]内至少有一个实数解．
达标拓展
思路分析：
1
（1）令函数f（x）＝ax2－2x＋1，本题的实质是该函数的一个零点在（0,1）上，另一个在（1,2）上，结合函数的图像列出不等式组，注意对a＞0，a＝0，a＜0作出讨论．
解：
当a＝0时，方程即为－2x＋1＝0，只有一根，不符合题意．
当a＞0时，设f（x）＝ax2－2x＋1，
因为方程的根分别在区间（0,1），（1,2）上，
所以
即
解得
＜a＜1.
当a＜0时，设方程的两根为x1，x2，
则x1¡¤x2＝
＜0，
x1，x2一正一负，不符合题意．
综上，a的取值范围为
＜a＜1.
（2）解析：
依题意，由图像可知f
（1）＜0，即12＋2×1－a＜0，解得a＞3.
2C
32 解析：
令f（x）＝0，得x2＝
.设g（x）＝x2，h（x）＝
.画出g（x）和h（x）的图像，由图像可知，两个函数图像有2个交点，所以函数f（x）有2个零点．
§4.2利用二分法求方程的近似解
自主学习
一，中点，一分为二
二,
（1）B,
（2）1.4375
合作探究（对学、群学）
1.解：
令f（x）＝lgx－2－x＋1，函数f（x）的定义域为（0，＋¡Þ）．
因为函数f（x）在（0，＋¡Þ）上是增函数（证明略），所以f（x）至多有一个零点．
又因为f
（1）＝0.5＞0，f（0.1）≈－0.933032992＜0，
所以方程在[0.1,1]内有唯一一个实数解．使用二分法求解，如下表：
次数
左端点
左端点函数值
右端点
右端点函数值
第1次
0.1
－0.933032992
1
0.5
第2次
0.1
－0.933032992
0.55
0.057342561
第3次
0.325
－0.286415025
0.55
0.057342561
第4次
0.4375
－0.097435016
0.55
0.057342561
第5次
0.49375
－0.016669624
0.55
0.057342561
由于区间[0.49375,0.55]的区间长度为0.05625，它小于0.1，因此，我们可以选取这一区间内的任意一个数作为方程lgx－2－x＋1＝0的近似解．例如，选取0.5作为方程lgx－2－x＋1＝0的一个近似解．
变式1：
解:
令f（x）=lnx+x-3,求函数f（x）=0在（2,3）内的零点.
∵f
（2）=ln2-1<0,f（3）=ln3>0,取（2,3）作为初始区间,用二分法列表如下:
区间
中点的值
中点函数近似值
（2,3）
2.5
0.416
（2,2.5）
2.25
0.061
（2,2.25）
2.125
-0.121
（2.125,2.25）
2.1875
-0.030
∵2.25-2.1875=0.0625<0.1,
∴在区间（2.1875,2.25）内任意实数都是函数的零点的近似值,即方程的近似解可取为2.25.
2.解：
∵f
（1）＞0，∴3a＋2b＋c＞0，即3（a＋b＋c）－b－2c＞0.
∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c＞0，则－b－c＞c，即a＞c.
∵f（0）＞0，∴c＞0，则a＞0.在[0,1]内选取二等分点
，
则f
＝
a＋b＋c＝
a＋（－a）＝－
a＜0.
∵f（0）＞0，f
（1）＞0，
∴f（x）在区间[0，
]和[
，1]内分别存在一个零点．又二次方程f（x）＝0最多有两个实根，
∴方程f（x）＝0在[0,1]内有两个实根．
变式2：
【2,2.5）
3解：
如图，他首先从中点C查．用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD段中点去查．
每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，要把故障可能发生的范围缩小到50m至100m，即一两根电线杆附近，只要检查7次就够了．
变式3.（0,0.5）;f（0.25）;（0.25,0.5）
达标拓展（检测、拓展）
1D2（2,3）32.53125
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