选修11双曲线的标准方程和几何性质教案.docx
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选修11双曲线的标准方程和几何性质教案
适用学科
1
高中数学］适用年级
1
1
亠咼二
1
一1
适用区域
苏教版区域
课时时长（分钟）
2课时
:
知识点
双曲线的标准方程和几何性质1
1
教学目标
1•掌握双曲线的标准方程和几何性质.（重点）•
1
1
1
1
1
1
1
1
1
教学重点
2.双曲线的渐近线和离心率的求法.（难点）|
1
i
1
i
iii
i
i
教学难点
3.椭圆与双曲线几何性质的比较.（易混点）1
【教学建议】
本节课的教学要注意双曲线方程的推导过程，字母a,b,c的意义和关系式，方程的特点。
【知识导图】
■教学过程pi
一、导入
教材整理双曲线的标准方程
阅读教材P39〜P40例1以上部分，完成下列问题
【教学建议】
合理利用教材上的导入课程进行导入。
提问和互动，进行概念辨析和公式推导。
与椭圆方程
进行对比辨析。
二、知识讲解
【教考建议1双曲线的定义
双曲线的定义：
平面内与两个定点F,、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|F,F21）
的动点M的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2av|F1F21，这一条件可以用
“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|F1F2|，则动点的轨迹是两条射线；若
2a>1F1F21，则无轨迹.
若MFrvMF2时，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若MFj>MF2时，轨迹
为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.
考点2双曲线的标准方程
标准
方程
22
予―》1（a>0,b>0）
22
ya2—含=1（a>0,b>0）
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
（p1
TP
4
焦占
八、、八、、
坐标
Fi（—c,0）,
F?
（c.O）
F1（0,—c）,
F2（0,c）
a,b,c之间的关系
c2=a2+b2
2222
双曲线的标准方程：
X2~y2=1和笃一仔=1（a>0,b>0）.这里b2=c2-a2，其
abab
中IFrF2|=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同
双曲线的标准方程判别方法是：
如果x2项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果y2项的系
数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比
较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上
求双曲线的标准方程，应注意两个问题：
⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，运
用待定系数法求解.
如果已知双曲线过两个点（不是在坐标轴上的点），求其标准方程时，为了避免对焦点的讨
22
论可以设其方程为Ax2By2=1（AB：
：
：
0）或——
AB
考点3双曲线的几何性质
2
1.双曲线笃-爲=1的实轴长为2a，虚轴长为2b,ab
=1（AB：
：
：
0）
c
离心率e>1，离心率e越大,
a
m2x2-n2y2=k，其中k是一个不为零的常数.
双曲线的开口越大•
曲线的标准方程只要两个独立的条件
b2
5.在双曲线中，如果一个三角形的两个顶点是焦点片丁2,另一个顶点P在椭圆上，称该三
角形为焦点三角形，则面积等于，其中b是虚半轴的长;
tan_12
2
性质
焦占
八'、八\、
FgO）,F2（c,0）
F1（O,-c）,F2（0,c）
焦距
2c
范围
x兰-a或x兰a,y€R
y兰一a或y兰a,xR
对称轴
x轴，y轴
对称中心
原点
顶点
A（-a,。
）,A2（a,0）
A（O,-a）A（O,a）
轴
实轴：
线段A|A2,长：
2a；虚轴：
线段IRB?
],长：
2b；
实半轴长：
a，虚半轴长：
b
离心率
e=c€（1,咼）
a
渐近线
y』x
a
y=±旦x
b
二、例题精析
类型一双曲线的标准方程
例题1
根据下列条件，求双曲线的标准方程.
f15、「16\
⑴经过点P3,15,Q-史,5;
I4丿I3丿
（2）c=.6，经过点（一5,2），焦点在x轴上.
【解答】
22
（1）法一：
若焦点在x轴上，设双曲线的方程为^7-^7=1（a0,b0）
ab
•占P£些1q匚些5〕
••点p彳花，Q3,5
在双曲线上，
L=-16
解得彳2.（舍去）
I=-9.
解得a；知
lb=16.
•••P,Q两点在双曲线上,
•所求双曲线的标准方程为x2
法二：
••焦点在x轴上，c=,6,
••双曲线经过点（一5,2）,
•入=5或入=30（舍去）.
【教学建议】
程.解答
（2）利用待定系数法.
【教学建议】
1用待定系数法求双曲线方程的一般步骤
2.
求双曲线标准方程的两个关注点
坐标轴上，以判断方程的形式;
（2）
例题2
定量：
定量”是指确定a2,b2的具体数值，常根据条件列方程求解
22
1.已知双曲线与椭圆—y1有共同的焦点，且过点（15,4）,求双曲线的方程.
2736
22
【解析】椭圆；；=1的焦点坐标为R0,£,F20,3,故可设双曲线的方程
22
为.爲-2=1（ab0）
ab
'22
ab=9
由题意，知4215
解得a2"
p2=5
22
故双曲线的方程为
yx
1
45
类型二双曲线标准方程的讨论
例题1
22
（1）如果方程^+丄=1表示双曲线，则实数m的取值范围是
m+2m+1
⑵“ab<0是方程ax2+by2=c表示双曲线”的条件（填必要不充分”充分不必要”、充要”和既不充分也不必要”）
22
（3）若方程-厂丄1表示焦点在y轴上的双曲线，求实数m的取值范围.
5-mm-2m—3
【解析】
（1）由题意知（2+m）（1+m）v0，解得—2vmv—1.故m的取值范围是（—2,-1）.
222
⑵若ax2by2二c表示双曲线，即—丄1表示双曲线，则C：
：
：
0,这就是说“abccab
ab
条件，然而若ab<0,c等于0时不表示双曲线，即“ab<0不是充分条件.
【答案】
（1）（—2,-1）
（2）必要不充分
22
xy
⑶由方程21表示焦点在y轴上的双曲线,
5-mm-2m—3
所以实数m的取值范围是（5,+^）.
【总结与反思】方程表示双曲线的条件及参数范围求法
、xy2一、一、
1.对于方程1,当mnv0时表示双曲线.进一步，当m>0,nv0时表示焦点在x
mn
轴上的双曲线；当mv0,n>0时表示焦点在y轴上的双曲线.
22
2.对于方程—-y1,，则当mn>0时表示双曲线.且当m>0,n>0时表示焦点在x轴
mn
上的双曲线；当mv0,nv0时表示焦点在y轴上的双曲线.
3.已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方
程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围.
类型三双曲线中的焦点三角形
周长及EPF2的面积.
22
法一：
•••点P在双曲线—-y1上，
44
又••••FfF?
=90,：
F1PF2为直角三角形,
PFi=2.3-2PF2=232
解得-或_
甲=2石—2PFi=2^3—2
•••.F1PF2的周长为PFPF2F1F2=4.34.2,
11--.F1PF2的面积为㊁PFiPF2^322.3-2=4.
法二：
同解法一得.PFi-PF2=4,FiF2=4.2..PFiPF2二FF=32.
222
PF-pf2v=pf2pf22-2pfpf2即
即16=32-2PFiPF?
.PFi卩F2=8.
•••PFi+PF2=4.3..PFiPF2=4.3.
••FPF2的周长为PFiPF2FiF^4342,
.FiPF2的面积为^PFPF22322・、3-2=4.
【教学建议】
在双曲线的焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点，另
外，还经常结合MFi-MF2=±a，运用平方的方法，建立它与MFi||MF2的联系，体现
了数学中的一种整体思想
并作出草图
类型四由双曲线的方程求其几何性质
y2「4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程,
【精彩点拨】本题给出的方程不是标准方程，应先化方程为标准形式，然后根据标准方程求出基本量a，b,c即可得解，注意确定焦点所在坐标轴.
22
【自主解答】将9y2-4x2=-36变形为—i,
94
22即」i—a=3,b=2,c=〔i3,
3222
因此顶点坐标Ai（-3,0）,A2（3,0），焦点坐标Fi（-i3,0）,F2（i3,0）,
实轴长是2a=6，虚轴长是2b=4,
离心率e=彳二乂単，
a3
渐近线方程为y=号=±x.
作草图：
如图所示.
【教学建议】
用双曲线标准方程研究几何性质的步骤为：
1将双曲线方程化为标准方程形式；
2判断焦点的位置；
］写出a与b的值；
4写出双曲线的几何性质.
类型五：
求双曲线的离心率及其取值
（1）设例懸BC是等腰三角形，/ABC=120°则以A,B为焦点且过点C的双曲线的离心率为
22
⑵已知双曲线X2-y2=1（a>0,b>0）的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60。
的直线与双曲ab
线的右支有且只有一个交点，求双曲线离心率的取值范围.
【精彩点拨】
（1）根据图形并由双曲线的定义确定a与c的关系，求出离心率；
（2）可以通
过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点F且倾斜角为60°勺直线与双曲线的右支有且只
有一个交点，则必有一》tan60°.
a
【自主解答】⑴由题意2c=AB=BC,
•••AC=2>2c恳in60=2\3c,
由双曲线的定义，
有2a=AC—BC=2,3c-2c?
a=（3—1）c,
C11+V3
Ae=訐—3—1=
b
直线的斜率为k=tan60=°3，故有3,
cia2*b2/
所以e=a=<~^2-沁1+3=2,
所以所求离心率的取值范围是e>2.
【教学建议】
1•求双曲线的离心率就是求a和c的关系，一般可以采用几何观察法和代数关系构造法来寻求a,b,c三者中两者的关系，进而利用c^a2b2进行转化.
2•求双曲线离心率的取值范围，一般可以从以下几个方面考虑：
（1）与已知范围联系，通过
求值域或解不等式来完成.
（2）通过判别式△>0来构造.（3）利用点在双曲线内部形成不等关系.⑷利用解析式的特征，如c>a,或c>b.
类型六直线与双曲线的位置关系
探究1直线与双曲线有几种位置关系？
交点个数怎样？
直线与双曲线的交点个数能否用
判别式来判断？
【提示】三种位置关系：
相交——两个或一个交点；相切——一个交点；相离——没有交
点•当判断交点个数时，要注意二次项系数不为零时才可使用判别式进行判断.
探究2过双曲线上一点存在几条直线，使该直线与双曲线有且只有一个交点？
解决这种问
题应注意什么？
【提示】过双曲线上一点存在三条直线，使该直线与双曲线有且只有一个交点，一条是切
线，两条是分别与渐近线平行的直线•解决这种问题时，应注意直线与渐近线平行的情况.
探究3在双曲线中，直线与双曲线相交会有几种情况，如何求弦长？
【提示】直线与双曲线相交时，两交点可能在两支上，也可能在同一支上•弦长公式为
RP2=抽+k2
■X1—X2或RF2=』
'k2%-丫2
例题6
设双曲线C:
2
X2
牙-y=1（a>0）与直线I:
xy=1相交于两个不同的点A,B,求双曲线C的离a
心率的取值范围.
【精彩点拨】把双曲线方程和直线方程联立，得到一元二次方程，利用
△>0可得a的范
围，进而可求离心率的范围.
【自主解答】由C与I相交于两个不同点，故知方程组
'2
冬_2
-y=1有两组不同的实根,
Xy=1,
消去y并整理得1-a2x2，2a2x-2a2=0•①
2
1—aHO,
所以422
4a+8a（1_a）>0
——=12-■1,因为0解得0双曲线的离心率e=
a
所以且e丰2.
即例题率1e的取值范围为
【教学建议】
1•把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为一元二次方程，在二次项系数不
为零的情况下考察方程的判别式.
（1）>0时，直线与双曲线有两个不同的交点;
（2）生0时，直线与双曲线只有一个公共点;
（3）&0时，直线与双曲线没有公共点.
当二次项系数为0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点.
2•直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件.
3•直线与双曲线相交应考虑交在同一支上，还是交在两支上，可用直线的斜率与渐近线斜
率比较.对于实轴在x轴上的双曲线，若|k|>b，则交在同一支上；若|k|四、课堂运用
1•判基（正确的打“vf错误的打“X”）
22
Xy
（1）在双曲线标准方程—=1中，a>0,b>0且b.（）
ab
⑵在双曲线标准方程中，a,b和焦点F2c,0满足a=c2b2.（）
⑶双曲线y2-x2=1的焦点坐标在y轴上.（）
22
⑷在双曲线—--1中，焦点坐标为（±,0）.（）
94
2•已知Fj,F2为双曲线C:
x-y=2的左、右焦点，点P在C上，PF’PFz,则cos.RPF?
22
3.若k€R，方程丄+丄=1表示双曲线，则k的取值范围是
k+3k+2
22
4.双曲线x一y=1的渐近线方程是
49
答案与解析
1.【答案】
（1）X
（2）X（3）V⑷X
【解析】
22
（1）方程务-占=1中，a>0,b>0.
ab
a=b时也是双曲线，故不正确；
（2）在双曲线标准方程中，都有c2=a2b2.故不正确.
（3）根据标准方程特点，正确.
22.
⑷在—-x1中，c=\；9+4=.13，所以焦点坐标为（0,土.13）.
94v
【解析】由双曲线方程得a=2,b=2，则c=：
ja2b^2，因为PFi-PF2^22.，且
PF^2PF2所以PFi=4.2,PF2=2.2,而=4在.托PF?
中，由余弦定理得
cos.FPF2
PF12PF22_F1F223
2PF1PF24.
3.【答案】（一3,—2）
【解析】据题意知（k+3）（k+2）v0,
解得—3vkv—2.
4.【答案】y=gx
【解析】由双曲线的方程，易知a=2,b=3,所以双曲线的渐近线方程为y=gx.
巩固
2222
1.已知椭圆乂+£=1与双曲线—-^=1有相同的焦点，则实数a=
4a2a2
2.双曲线8kx2—ky2=8的一个焦点为（0,3），则实数k的值为.
3.求适合下列条件的双曲线的标准方程.
5
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8,离心率为3；
（2）两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分.
4•根据下列条件，求双曲线的标准方程.
22
（1）以椭圆——=1的焦点为顶点，顶点为焦点；
85
22
（2）与双曲线—--1有相同的焦点，且经过点（3.2,2）.
164
答案与解析
1.【解析】
由条件可得4-a2=a2，解得a=1.
【答案】
1
2.【解析】
2281
方程可化为*y1.由条件可知一8—7=9,解得k=—1.
81kk
kk
【答案】-1
5
b=4,ca，代入c2=a2-b2，得a2=9，故双曲线的标准方程为
3
⑵由两顶点间的距离是
6,得2a=6，即a=3•由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可
得2c-4a-12，即c=6，于是b?
=c-a?
=62_32=27.由于焦点所在的坐标轴不确定，故
2222
所求双曲线的标准方程为—-y1或--1.
927927
4.【解】
（1）依题意，双曲线的焦点在x轴上且a=3,c=22,
22
•••双曲线的标准方程为—=1
35
⑵法一：
•••c2=16+4=20,「.c=2.5,
•••双曲线过点（32,2）,
184
•—=1,
16一入4+入解得入=4或入=—14（舍去）.
22
•所求双曲线方程为—-y1.
128
拔高
1.（无锡期末）9、设ABC是等腰三角形，•ABC=120，则以A、B为焦点且过点C
的双曲线的离心率为.
22
2.（盐城三模）6•以双曲线令-■y?
=1（a0,b0）的右焦点F为圆心，a为半径的圆恰
ab
好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为▲.
2
x22
3.（南通三模）8.在平面直角坐标系xOy中，双曲线—-y-1与抛物线y2=「12x有相
a
同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为
4.（南京三模）8•设F是双曲线的一个焦点，点P在双曲线上，且线段PF的中点恰为双
曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为___▲
答案与解析
1.,5
「五、课堂小结
六、课后作业
基础
2
1.（苏北四市摸底）5•已知双曲线x2-差=1（m.0）的一条渐近线方程为x•.3y=0,则m-
m
▲_•
22
2.（苏州期末）3.双曲线—=1的离心率为▲•
45
22
3.（常州期末）4、已知双曲线C:
笃-与=1（a0,b0）的一条渐近线经过点P（1,-2）,
ab
则该双曲线的离心率为
4.（苏锡常镇调研二）5•若双曲线x2・my2=1过点-2,2，则该双曲线的虚轴长为
▲_•4
答案与解析
3.5；
4.4
1.（巩固期末）5•双曲线—-^=1的焦点到渐近线的距离为▲•
916
2
2.（扬州期中）6•已知双曲线X丄=1的一条渐近线与直线x-2y'3=0平行，贝U实数a-
a
▲_•
2
x2
3.（泰州期末）3•在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=1的实轴长为▲•
4.（南通调研一）7.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线
22
xy1（a、0,b、0）过点ab
P（1,1），其一条渐近线方程为y=2x，则该双曲线的方程为
答案与解析
1.4;
1
2•-
4
322;
2
x2“
4.y-y=1
2
拔高
1.（南京盐城二模）10.在平面直角坐标系xoy中，抛物线
=2pxp0的焦点为F
22
双曲线笃-笃=1a0,b0的两条渐近线分别与抛物线交于
ab
A,B两点（A,B异于坐标
原点0）.若直线AB恰好过点F，则双曲线的渐近线方程是
x2
2.（苏锡常镇调研一）在平面直角坐标系xoy中，已知方程
4—m2+m
2
——=1表示双曲线，
则实数m的取值范围为.
22
3.（南京期初）8.已知双曲线与-爲=1,a0,b0的一条渐近线的方程为2x-y=0,ab
则该双曲线的离心率为▲_
22
4.【2019江苏，6】在平面直角坐标系xoy中，双曲线———=1上一点M的横坐标为
412
3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为
22_
5.【2019江苏，8】在平面直角坐标系xoy中，若双曲线—-—f1的离心率为5,
mm+4
则m的值为
22
6.【2019江苏，3】双曲线'-厶=1的两条渐近线的方程为
169
22
7,【2019江苏，3】在平面直角坐标系xoy中，双曲线—1的焦距是.
73
答案与解析
1.y=±2x;
2.,5;
3.1;
4.【答案】2
【解析】根据双曲线方程的结构形式可知，此双曲线的焦点在x轴上，且a2二m,b2=m2・4,
6.【答案】y=3x
4
【解析】由题意可知所求双曲线的渐近线方程为y=「3x
4
7.【答案】2帀
【解析】
试题分析：
；"a2=7,b2=3,二c2=a2+b2=7+3=10,”■”c£=2^0故答案
应填：
2.10
22
是解题的关键，為-笃=1（a0,b0）揭示焦点在x轴，实轴长为2a，虚轴长为2b，焦
ab
距为2c=2.a?
b，渐近线方程为y=bx，离心率为£=—a—
aaa
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