高中数学知识精要 18概率教案 新人教A版.docx
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高中数学知识精要18概率教案新人教A版
2019-2020年高中数学知识精要18.概率教案新人教A版
１．频率与概率
频率在一定程度上可以反映事件发生的可能性的大小，频率不是一个完全确定的数，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，但从大量的重复实验中发现，随着试验次数的增加，频率就稳定于某一固定值，这个固定值就是事件的概率.
提醒：
概率的统计定义是由频率来表示的，但是它又不同于频率的定义，只使用频率来估算概率.频率是实验值，有不确定性，而概率是稳定值.
2.互斥事件与对立事件
互斥事件：
指不可能同时发生的事件，可以同时不发生.
对立事件：
A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生.
提醒：
（1）对立是互斥，互斥未必对立.
（2）可将所求事件化为互斥事件A、B的和，再利用公式来求，也可通过对立事件公式来求。
A、B互斥
A、B至少一个发生
A、B都发生
0
A、B都不发生
A、B恰有一个发生
A、B至多一个发生（至少一个不发生）
1
3.
（1）古典概型：
特性：
每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的，每一个结果出现的可能性都是相等的.
基本步骤：
计算一次试验中基本事件的总数n
事件A包含的基本事件的个数m
由公式计算.
注：
必须在解题过程中指出等可能的.
如：
在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是。
解：
记大小相同的5个球分别为红1，红2，白1，白2，白3，则基本事件为：
（红1，红2），（红1，白1），（红1，白2）（红1，白3），（红2，白3），共10个，其中至少有一个红球的事件包括7个基本事件，所以，所求事件的概率为.本题还可以利用“对立事件的概率和为1”来求解，对于求“至多”“至少”等事件的概率头问题，常采用间接法，即求其对立事件的概率，然后利用求解]。
（2）几何概型
特性：
每一次试验中所有可能出现的结果都是无限的，每一个结果出现的可能性都是相等的.
基本步骤：
（1）构设变量
（2）集合表示（3）作出区域（4）计算求解.
如：
（1）一条直线型街道的两端A、B的距离为180米，为方便群众，增加就业机会，想在中间安排两个报亭C、D，顺序为A、C、D、B.
（
）若由甲乙两人各负责一个，在随机选择的情况下，求甲、乙两人至少一个选择报亭C的概率.
（
）求A与C、B与D之间的距离都不小于60米的概率.
解：
（
）两个报亭由甲、乙随机选择一个，属于古典概型，共有4个基本事件.
记表示事件甲、乙两人至少一个选择报亭C，则中包含3个基本事件；
根据古典概型概率公式，
甲、乙两人至少一个选择报亭C的概率.
（
）
构设变量.设A与C、B与D之间的距离分别为x米、y米.
集合表示.用（x,y）表示每次试验的结果，则所有可能结果为
；
记A与C、B与D之间的距离都不小于60米为事件M，则事件M的可能结果为
作出区域.如图所示，试验全部结果构成区域Ω为直线与两坐标轴所围
成的△ABC.而事件M所构成区域是三条直线
所夹中间的阴影部分.
计算求解.根据几何概型公式，得到
.
所以，A与C、B与D之间的距离都不小于60米的概率为.
（2）将数字1、2、3、4填入编号为1、2、3、4的四个方格中，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的概率是_____（答：
）；
（3）有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用的概率为P（n），且P（n）与时刻t无关，统计得到
，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率P（0）的值是（答：
）
理科
（3）独立事件：
A、B独立是A指发生与否对B的概率没有影响.提醒：
（1）如果事件A、B独立，独立不一定互斥，互斥一定不独立；
（2）如果事件A、B独立，那么事件A与、与及事件与也都是独立事件（3）可将所求事件化为相互独立事件A、B的积，再利用公式来求.
相互独立
A、B至少一个发生
A、B都发生
A、B都不发生
A、B恰有一个发生
A、B至多一个发生（至少一个不发生）
如（4）设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P（A）是______（答：
）；
（5）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：
答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得0分，假设这位同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得300分的概率为_____________;这名同学至少得300分的概率为_____________（答：
0.228；0.564）；
（6）袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是________（答：
）；
（7）一项“过关游戏”规则规定：
在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关，那么，连过前二关的概率是________（答：
）；
（8）有甲、乙两口袋，甲袋中有六张卡片，其中一张写有0，两张写有1，三张写有2；乙袋中有七张卡片，四张写有0，一张写有1，两张写有2，从甲袋中取一张卡片，乙袋中取两张卡片。
设取出的三张卡片的数字乘积的可能值为且，其相应的概率记为，则的值为_____________（答：
）；
（9）平面上有两个质点A、B分别位于（0，0）、（2，2）点，在某一时刻同时开始每隔1秒钟向上下左右四个方向中的任何一个方向移动1个单位，已知质点A向左、右移动的概率都是，向上、下移动的概率分别是和p，质点B向四个方向中的任何一个方向移动的概率都是q。
①求p和q的值；②试判断最少需要几秒钟，A、B能同时到达D（1，2）点？
并求出在最短时间内同时到达的概率.（答：
①；②3秒；）
（4）独立事件重复试验（二项分布）与超几何分布
二项分布：
事件A在n次独立重复试验中恰好发生了次的概率（是二项展开式的第k+1项），其中为在一次独立重复试验中事件A发生的概率。
超几何分布：
在产品质量的不放回抽检中，若件产品中有件次品，抽检件时所得次品数X=m.
则.此时我们称随机变量X服从超几何分布
提醒：
两种分布的抽样条件不同：
超几何分布是有限样本不放回抽样，超几何分布中的参数是M,N,n；二项分布适用于n次独立试验，即有放回抽样
（10）在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？
解：
由题意可见此问题归结为超几何分布模型由上述公式得
（11）一批零件共100件，其中有5件次品.现在从中任取10件进行检查，求取道次品件数的分布列.
解：
由题意
X
0
1
2
3
4
5
P
0．58375
0.33939
0.07022
0.00638
0.00025
0.00001
（12）小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是_______（答：
）；
（13）冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等，则甲种饮料饮用完毕时乙种饮料还剩下3瓶的概率为__________（答：
）
（5）条件概率
在事件A已经发生的条件下，B事件发生的概率，称B为事件A在给定下的条件概率，简称为对的条件概率，记作，且.
（14）市场上供应的灯炮中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂的合格率是80%。
若用事件、分别表示甲、乙两厂的产品，表示产品为合格品，试写出有关事件的概率。
解：
依题意
进一步可得：
（15）10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回），甲先、乙次、丙最后。
求甲抽到难签以及甲、乙、丙都抽到难签的概率。
解设事件、、分别表示甲、乙、丙各抽到难签。
由公式（1.1）（1.10）及（1.11），有
提醒：
（1）探求一个事件发生的概率，关键是分清事件的性质。
在求解过程中常应用等价转化思想和分解（分类或分步）转化思想处理，把所求的事件：
转化为等可能事件的概率（常常采用排列组合的知识）；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率，但要注意公式的使用条件。
（2）事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件；（3）概率问题的解题规范：
①先设事件A=“…”，B=“…”；②列式计算；③作答。
3.分布列、期望、方差
（1）任意离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：
pi≥0,i=1,2,…;
p1+p2+…=1（这是检查及简化运算的途径之一）;
（2）数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度
（3）离散型随机变量分布列的解法步骤：
弄清随机变量是什么？
随机变量的取值有哪些？
弄清随机变量的取值的意义是什么？
其概率是多少？
列出分布列
利用公式求出期望、方差
3.记住以下重要公式和结论：
…
…
…
…
（1）期望值E＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…;
（2）方差D＝
;
（3）标准差
；
（4）若～B（n,p）,则E＝np,D＝npq,这里q=1-p;
（16）甲、乙两人同时各射击一枪，击落一敌机，上级决定奖励a万元，按谁击落奖金归谁，若同时击落各一半原则分配奖金，甲、乙各得多少较合理。
（已知甲的命中率为，乙的命中率为）
解：
敌机被击落有以下三种可能：
（1）甲单独击落；
（2）乙单独击落；（3）甲、乙共同击落.
甲单独击落的概率为
乙单独击落的概率为
甲、乙共同击落的概率为
因此甲得到奖金数应为
乙得到奖金数应为
所以甲、乙二人奖金数之比为9：
10时较合理。
（17）袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p．
（Ⅰ）从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．
（i）求恰好摸5次停止的概率；
（ii）记5次之内（含5次）摸到红球的次数为，求随机变量的分布率及数学期望E．
（Ⅱ）若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值．
解（Ⅰ）（i）
（ii）随机变量的取值为0，1，2，3，；由n次独立重复试验概率公式，得
；
（或
）
随机变量的分布列是
0
1
2
3
P
的数学期望是
（Ⅱ）设袋子A中有m个球，则袋子B中有2m个球由，得
（18）一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．
分析：
涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件．
解：
设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3
当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则
P（ξ=0）=
当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则
P（ξ=1）=
当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则
P（ξ=2）=
当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P（ξ=3）=
所以，Eξ=
2019-2020年高中数学知识精要19.统计教案新人教A版
1.抽样方法：
（1）简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；
（2）系统抽样也叫等距离抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；（3）分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同点：
每个个体被抽到的概率都相等，体现了抽样的客观性和平等性。
如
（1）某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95。
为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，把这种抽样记为A；某中学高中一年级有12名女排运动员，要从中选取3人调查学习负担的情况，把这种抽样记为B，那么完成上述两项调查应分别采用的抽样方法：
A为_______，B为_____。
（答：
分层抽样，简单随机抽样）；
（3）某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生300人，现通过分层抽样抽取一个容量为n的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.2，则n=_______（答：
200）；
（4）容量为100的样本拆分成10组，前7组的频率之和为0.79，而剩下的三组的频数组成等比数列，且其公比不为1，则剩下的三组中频数最大的一组的频率是______（答：
0.16）；
（5）用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为2的样本，则某一个体“第一次被抽到的概率”，“第一次未被抽到，第二次被抽到的概率”，“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是______________（答：
）；
2.总体分布的估计：
用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，即用样本平均数估计总体平均数（即总体期望值――描述一个总体的平均水平）；用样本方差估计总体方差（方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差或标准差越小，表示这个样本或总体的波动越小，即越稳定）。
一般地，样本容量越大，这种估计就越精确。
总体估计要掌握：
（1）“表”（频率分布表）；
（2）“图”（频率分布直方图）。
频率分布直方图的特征：
（1）从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势。
（2）从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了。
频率直方图的作法：
（1）算数据极差
（2）决定组距和组数；
（3）决定分点；
（4）列频率分布表；
（5）画频率直方图。
提醒：
直方图的纵轴（小矩形的高）一般是频率除以组距的商（而不是频率），横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率。
组数的决定方法是：
设数据总数目为n，时，分为组；时，分为组.
如
（1）一个容量为20的样本数据，分组后组距与频数如下：
（10,20],2；（20,30],3；（30,40],4；（40,50],5；（50,60],4；（60,70],2；则样本在区间上的频率为
A．5%B．25%C．50%D．70%（答：
D）；
（2）已知样本：
10861013810121178911912910111212，那么频率为0.3的范围是
A．5.5～7.5B．7.5～9.5
C．9.5～11.5D．11.5～13.5（答：
B）；
（3）观察新生儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生儿的体重在[2700，3000]的频率为_______（答：
0.3）；
（4）如图,是一次数学考试成绩的样本频率分布直方图（样本容量n=200），若成绩不低于60分为及格，则样本中的及格人数是_____（答：
120）；
（5）有同一型号的汽车100辆,为了解这种汽车每蚝油1L所行路程的情况,现从中随即抽出10辆在同一条件下进行蚝油1L所行路程实验,得到如下样本数据（单位:
km）:
13.7,12.7,14.4,13.8,
13.3,12.5,13.5,13.6,13.1,13.4，其分组如下:
分组
频数
频率
[12.45,12.95）
[12.95,13.45）
[13.45,13.95）
[13.95,14.45）
合计
10
1.0
（1）完成上面频率分布表；
（2）根据上表,在给定坐标系中画出频率分布直线图,并根据样本估计总体数据落在[12.95,13.95）中的概率；
（3）根据样本,对总体的期望值进行估计
解：
（1）频率分布表：
分组
频数
频率
[12.45,12.95）
2
0.2
[12.95,13.45）
3
0.3
[13.45,13.95）
4
0.4
[13.95,14.45）
1
0.1
合计
10
1.0
（2）频率分布直方图：
估计总体数据落在[12.95,13.95）中的概率为0.7
（3）
＝13.4
因此，总体的期望值进行估计约为13.4.
（6）为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2：
4：
17：
15：
9：
3，第二小组频数为12.
（1）
第二小组的频率是多少？
样本容量是多少？
（2）
若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？
（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？
请说明理由。
分析：
在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。
解：
（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，
因此第二小组的频率为：
又因为频率=,所以
（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为
（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内。
3、样本平均数：
。
如有一组数据：
x1,x2,…,xn（x1≤x2≤…≤xn），它们的算术平均值为20，若去掉其中的xn，余下数据的算术平均值为18，则xn关于n的表达式为（答：
）。
4、样本方差：
；
样本标准差：
。
如
（1）甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表（单位：
环）
甲
10
8
9
9
9
乙
10
10
7
9
9
如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的应是（答：
甲）；
（2）已知实数的期望值为，方差为，，若，则一定有
A．B．C．D．与无法比较大小（答：
B）；
（3）某班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表：
统计量
组别
平均分
方差
第1组
80
16
第2组
90
36
则全班的平均分为_______，方差为______（答：
85,51）
提醒：
若的平均数为，方差为，则
的平均数为，方差为。
如已知数据的平均数，方差，则数据的平均数和标准差分别为
A．15，36B．22，6C．15，6D．22，36（答：
B）
5.茎叶图
（1）茎叶图的画法：
将每个数据分为茎（高位）与叶（低位）两部分，
将最大茎和最小茎之间的数按大小顺序排成一列，
将各数据的叶依先后次序写在其茎的左（右）两侧.
（2）茎叶图的特征：
（１）用茎叶图表示数据有两个优点：
一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示。
（２）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰。
6.独立性检验
独立性检验是检定两个事件间是否独立的统计方法，是卡方检验的一个应用.
卡方检验是对样本的频数分布所来自的总体分布是否服从某种理论分布或某种假设分布所作的假设检验.即根据样本的频数分布来推断总体的分布，卡方独立性检验的零假设是各事件之间相互独立.卡方值永远大于零.χ2的两个临界值分别是3.841，与6.635.≤3.841时，接受假设即两事件无关.
相关系数是测定变量之间相关密切程度和相关方向的代表性指标。
相关系数用符号“r”表示，其特点表现在：
参与相关分析的两个变量是对等的，不分自变量和因变量，改变两变量的地位并不影响相关系数的数值，因此相关系数只有一个；相关系数有正负号反映相关系数的方向，正号反映正相关，负号反映负相关；
回归和相关都是研究两个变量相互关系的分析方法。
相关分析研究两个变量之间相关的方向和相关的密切程度。
但是相关分析不能指出两变量相互关系的具体形式，也无法从一个变量的变化来推测另一个变量的变化关系。
回归方程则是通过一定的数学方程来反映变量之间相互关系的具体形式，以便从一个已知量来推测另一个未知量。
为估算预测提供一个重要的方法。
相关性检验的步骤是：
（1）做统计假设：
x与Y不具备线性相关关系.
（2）根据小概率0.05与查出r的一个临界值.（3）根据样本相关系数公式计算出r的值.（4）作统计推断：
如果表明95%的把握认为x与Y之间具备线性相关关系，如果接受假设.
提醒：
A与B有关并不意味着A的发生必然导致B的发生.
7.回归分析
回归分析是对具有相关关系的两个或两个以上变量之间数量变化的一般关系进行测定，确定一个相应的数学表达式，以便从一个已知量来推测另一个未知量，为估计预测提供一个重要的方法。
在回归分析中，由X推算Y与由Y推算X的回归方程是不同的，不可混淆:
.与相关分析相比，回归分析的特点是：
两个变量是不对等的，只能用自变量来估计因变量，而不允许由因变量来推测自变量,必须区分自变量,一般说，事物的原因作自变量X.
回归分析和相关分析是互相补充、密切联系的。
相关分析需要回归分析来表明现象数量相关的具体形式，而回归分析则应该建立在相关分析的基础上。
依靠相关分析表明现象的数量变化具有密切相关，进行回归分析求其相关的具体形式才有意义。
如
（1）在研究色盲与性别的关系调查中，调查了男性480人，其中有38人患色盲，调查的520个女性中6人患色盲，
（1）根据以上的数据建立一个2×2的列联表；
（2）若认为“性别与患色盲有关系”，则出错的概率会是多少
解：
（1）
患色盲
不患色盲
总计
男
38
442
480
女
6
514
520
总计
44
956
1000
（2）假设H：
“性别与患色盲没有关系”
先算出K的观测值：
则有
即是H成立的概率不超过0.001,
若认为“性别与患色盲有关系”，则出错的概率为0.001
（2）一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：
转速x（转/秒）
16
14
12
8
每小时生产有缺点的零件数y（件）
11
9
8
5
（1）画出散点图
（2）如果y对x有线性相关关系，求回归直线方程；
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