初中数学方程及方程的解知识点总结.docx

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初中数学方程及方程的解知识点总结

1

知识点1：

一元一次方程

只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的整式方程，叫做一元一次方程．

一元一次方程的标准形式是：

ax＋b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）．

一元一次方程的最简形式是：

ax=b（a≠0）．

不定方程:

一个代数方程，含有两个或两个以上未知数时，叫做不定方程，不定方程一般有无穷多解。

代数方程:

代数方程通常指整式方程。

有时也泛指方程两边都是代数式的情形，因而也包括分式方程和无理方程。

等式:

用符号“=”来表示相等关系的式子，叫做等式．在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．性质：

两边同加同减一个数或等式仍为等式;两边同乘同除一个数或等式（除数不能是0）仍为等式。

方程的根：

只含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根。

解一元一次方程的一般步骤：

1．去分母：

在方程两边都乘以各分母的最小公倍数；

2．去括号：

先去小括号，再去中括号，最后去大括号；

3．移项：

把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；

4．合并同类项：

把方程化成ax=b（a≠0）的形式；

5．系数化成1：

在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解。

矛盾方程：

一个方程，如果不存在使其左边与右边的值相等的未知数的值，这样的方程叫矛盾方程．

知识点2：

二元一次方程

有两个未知数并且未知项的次数是1，这样的方程，叫做二元一次方程．

二元一次方程组：

含有相同的两个未知数的两个一次方程所组成的方程组，叫做二元一次方程组．

解：

使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．

二元一次方程组的两种解法：

（1）代入消元法，简称代入法．

①把方程组里的任何一个未知数化成用另一个未知数的代数式表示．

②把这个代数式代入另一个方程里，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．

③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，然后再求另一个未知数的值．

④把求得两个未知数的值写在一起，就是原方程组的解．

2）加减消元法，简称加减法．

①把一个方程或两个方程的两边都乘以适当的数，使同一个未知数的系数的绝对值相等．

②把所得的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．

③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，然后再求另一个未知数的值．

④把求得的两个未知数的值写在一起，就是原方程组的解．

二元一次方程组解的情况：

2

知识点3：

一元一次不等式（组）：

不等号有＞、≥、＜、≤或≠等等．用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．

只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式．如

axb（a≠0）

几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组

不等式基本性质：

（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．

（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．

（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

一元一次不等式的解法步骤：

（1）去分母

（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）系数化成1（如果乘数和除数是负数，要把不等号改变方向）

一元一次不等式组的解法步骤：

（1）分别求出不等式组中所有一元一次不等式的解集．

（2）在数轴上表示各个不等式的解集．（3）写出不等式组的解集．

一元一次不等式组的四种情况：

知识点4

一元二次方程

基本概念：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．

一元二次方程3x2+5x-2=0的常数项是-2（任意）.一次项系数为5（任意），二次项是3（任意不为0）.一元二次方程的求根公式：

一元二次方程的解法：

1．解一元二次方程的直接开平方法

如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，则根据平方根的概念可以用直接开平方法来解．

3

2．解一元二次方程的配方法

先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，可通过直接开平方法来求方程的解，也就是先配方再求解．

3．解一元二次方程的公式法

利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．

4．解一元二次方程的因式分解法

在一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，可先将一边分解成两个一次因式的积，再分别令每个因式为零，通过解一元一次方程，可求得原方程的解．

一元二次方程的解

1．方程042?

?

x的根为.

A．x=2B．x=-2C．x1=2,x2=-2D．x=42．方程x2-1=0的两根为.

A．x=1B．x=-1C．x1=1,x2=-1D．x=23．方程（x-3）（x+4）=0的两根为.

A.x1=-3,x2=4B.x1=-3,x2=-4C.x1=3,x2=4D.x1=3,x2=-44．方程x（x-2）=0的两根为.

A．x1=0,x2=2B．x1=1,x2=2C．x1=0,x2=-2D．x1=1,x2=-25．方程x2-9=0的两根为.

A．x=3B．x=-3C．x1=3,x2=-3D．

x1=+3

x2=-3

方程解的情况及换元法

1．一元二次方程02342?

?

?

xx的根的情况是.

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

2．不解方程,判别方程3x2-5x+3=0的根的情况是.A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

3．不解方程,判别方程3x2+4x+2=0的根的情况是.A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

4．不解方程,判别方程4x2+4x-1=0的根的情况是.A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

5．不解方程,判别方程5x2-7x+5=0的根的情况是.A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

6．不解方程,判别方程5x2+7x=-5的根的情况是.A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

4

7．不解方程,判别方程x2+4x+2=0的根的情况是

.A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

8.不解方程,判断方程5y2

+1=25y的根的情况是

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

9.用换元法解方程4）3（5322?

?

?

?

xxxx时,令32?

xx=y,于是原方程变为

.

A.y2-5y+4=0B.y2-5y-4=0C.y2-4y-5=0D.y2+4y-5=0

10.用换元法解方

程4）3（5322?

?

?

?

xxxx时,

令23xx?

=y,于是原方程变为

.

A.5y2-4y+1=0B.5y2-4y-1=0C.-5y2-4y-1=0D.-5y2-4y-1=011.用换元法解方程

（1?

xx）2

-5（1?

xx）+6=0

时，设1?

xx=y，则原方程化为关于y的方程是

.A.y2+5y+6=0B.y2-5y+6=0C.y2+5y-6=0D.y2-5y-6=0

知识点5：

直角坐标系与点的位置

1．直角坐标系中，点A（3，0）在y轴上。

2．直角坐标系中，x轴上的任意点的横坐标为0.3．直角坐标系中，点A（1，1）在第一象限.4．直角坐标系中，点A（-2，3）在第四象限.5．直角坐标系中，点A（-2，1）在第二象限.

知识点6：

基本函数的概念及性质

1．函数y=-8x是一次函数.2．函数y=4x+1是正比例函数.3．函数xy21?

?

是反比例函数.4．抛物线y=-3（x-2）2-5的开口向下.5．抛物线y=4（x-3）2-10的对称轴是x=3.6．抛物线2）1（212?

?

?

xy的顶点坐标是（1,2）.

7．反比例函数xy2?

的图象在第一、三象限

练习

.1．下列函数中,正比例函数是

.

A.y=-8xB.y=-8x+1C.y=8x2+1D.y=x8?

2．下列函数中,反比例函数是

.A.y=8x2B.y=8x+1C.y=-8xD.y=-x8

5

3．下列函数：

①y=8x2；②y=8x+1；③y=-8x；④

y=-x8.其中,一次函数有

个.A.1个B.2个C.3个D.4个

知识点7：

自变量的取值范围

1

．函数2?

?

xy中，自变量x的取值范围是

.

A.x≠2B.x≤-2C.x≥-2D.x≠-22．函数

y=31?

x的自变量的取值范围是

.A.x>3B.x≥3C.x≠3D.x为任意实数

3．函数y=11?

x的自变量的取值范围是

.

A.x≥-1B.x>-1C.x≠1D.x≠-14．函数

y=11?

?

x的自变量的取值范围是

.A.x≥1B.x≤1C.x≠1D.x为任意实数

5．函数

y=25?

x的自变量的取值范围是

.A.x>5B.x≥5C.x≠5D.x为任意实数

知识点8：

函数图像问题

1．已知：

关于x的一元二次方程32?

?

?

cbxax的一个根为21?

x，且二次函数cbxaxy?

?

?

2的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标是

.

A.（2，-3）B.（2，1）C.（2，3）D.（3，2）

2．若抛物线的解析式为y=2（x-3）2+2,则它的顶点坐标是

.A.（-3,2）B.（-3,-2）C.（3,2）D.（3,-2）

3．一次函数y=x+1的图象在

.

A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限

C.第一、二、四象限D.第二、三、四象限

4．函数y=2x+1的图象不经过

.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5．反比例函数

y=x2的图象在

.

A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限

6．反比例函数

y=-x10的图象不经过

.

A第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限

7．若抛物线的解析式为y=2（x-3）2+2,则它的顶点坐标是

.A.（-3,2）B.（-3,-2）C.（3,2）D.（3,-2）8．一次函数y=-x+1的图象在

.

A．第一、二、三象限B.第一、三、四象限

6

C.第一、二、四象限D.第二、三、四象限

9．一次函数y=-2x+1的图象经过

.

A．第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第一、三、四象限D.第一、二、四象限

10.已知抛物线y=ax2+bx+c（a>0且a、b、c为常数）的对称轴为x=1，且函数图象上有三点A（-1,y1）、

B（21,y2）、C（2,y3），则y1、y2、y3的大小关系是

.

A.y3

知识点9：

基本函数图像与性质

1．若点A（-1,y1）、

B（-41,y2）、

C（21,y3）在反比例函数

y=xk（k<0）的图象上，则下列各式中不正确的是

.A.y3

y3?

y2<0

2．在反比例函数

y=xm63?

的图象上有两点A（x1,y1）、B（x2,y2）,若x2<0

.A.m>2B.m<2C.m<0D.m>03．已知:

如图,过原点O的直线交反比例函数y=x2的图象于A、B两点,AC⊥x轴,AD⊥y轴,△ABC的面积为S,则

.

A.S=2B.244．已知点（x1,y1）、（x2,y2）在反比例函数

y=-x2的图象上,下列的说法中:

①图象在第二、四象限;②y随x的增大而增大;③当0

个.

A.1个B.2个C.3个D.4个

5

．若反比例函数xky?

的图象与直线y=-x+2有两个不同的交点A、B，且∠AOB<90o，则k的取值范围必是

.

A.k>1B.k<1C.0

6．若点（m

，m1）

是反比例函数xnny122?

?

?

的图象上一点，则此函数图象与直线y=-x+b（|b|<2）的交点的个数为

.

A.0B.1C.2D.47．已知直线bkxy?

?

与双曲线xky?

交于A（x1，y1）,B（x2，y2）两点,则x1·x2的值

.

A.与k有关，与b无关B.与k无关，与b有关

C.与k、b都有关D.与k、b都无关

知识点10：

因式分解

1.分解因式：

x2-x-4y2+2y=

.2.分解因式：

x3-xy2+2xy-x=

.3.分解因式：

x2-bx-a2+ab=

.

7

4.分解因式：

x2-4y2-3x+6y=

.

5.分解因式：

-x3-2x2-x+4xy2=

.6.分解因式：

9a2-4b2-6a+1=

.7.分解因式：

x2-ax-y2+ay=

.8.分解因式：

x3-y3-x2y+xy2=

.9.分解因式：

4a2-b2-4a+1=