人教版学年度八年级数学上册第11章三角形1122三角形的外角性质同步练习新版.docx
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人教版学年度八年级数学上册第11章三角形1122三角形的外角性质同步练习新版
11.2.2三角形的外角性质
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________
一.选择题(共12小题)
1.一天,爸爸带小明到建筑工地玩,看见一个如图所示的人字架,爸爸说:
“小明,我考考你,这个人字架的夹角∠1等于130°,你知道∠3比∠2大多少吗?
”小明马上得到了正确的答案,他的答案是( )
A.50°B.65°C.90°D.130°
2.如图,在△ABC中,∠C=80°,D为AC上可移动的点,则x可能是( )
A.5B.10C.20D.25
3.如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角的2倍,且等于与它不相邻的一个内角的2倍,那么这个三角形一定是( )
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形
4.如图,∠x的两边被一直线截得∠α,∠β,则x用α,β表示的式子是( )
A.β﹣αB.α﹣βC.180°﹣α﹣βD.180°﹣α+β
5.如图所示,下列四个判断中,正确的是( )
A.∠ACE是△ABC的外角B.∠ECD是△ABC的外角
C.∠DCF是△ABC的外角D.∠ACD是△ABC的外角
6.三角形的三个外角之比为2:
2:
3,则此三角形为( )
A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形
7.如图,∠1,∠2,∠3是△ABC互不相等的三个外角,则∠1+∠2+∠3的大小为( )
A.90°B.180°C.270°D.360°
8.如图,船从A处出发准备开往正北方向M处,由于一开始就偏离航线AM15°(即∠A=15°),航线到B处才发现,立即改变航向,并想在航行相同航程后(BM=BA)到达目的地M处,则应以怎样的角度航行即∠CBM等于( )
A.15°B.20°C.25°D.30°
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=55°,点D是AB延长线上的一点.∠CBD的度数是( )
A.125°B.135°C.145°D.155°
10.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠A=65°,将其折叠,使点A落在边CB上A′处,折痕为BD,则∠A′DC=( )
A.40°B.30°C.25°D.20°
11.如图,BP是△ABC中∠ABC的平分线,CP是∠ACB的外角的平分线,如果∠ABP=20°,∠ACP=50°,则∠A+∠P=( )
A.70°B.80°C.90°D.100°
12.如图,把一副三角板的两个直角三角形叠放在一起,则α的度数( )
A.75°B.135°C.120°D.105°
二.填空题(共8小题)
13.△ABC的三个外角之比为3:
4:
5,则最大内角为 .
14.△ABC中,∠A=32°,∠B=76°,则与∠C相邻的外角是 °.
15.如图,在△ABC中,D是边BC延长线上的一点,∠B=45°,∠A=75°,则∠ACD= .
16.在△ABC中,∠C比∠A+∠B还大30°,则∠C的外角为 度,这个三角形是 三角形.
17.如图,x的值是 .
18.如图,△ABC中,∠C=40°,AD是∠CAB的平分线,BD是△ABC的外角平分线,AD与D交于点D,那么∠D= °.
19.如图,△ABC中,∠A=60°,BM、CM分别是内角∠ABC、∠ACB的角平分线,BN、CN是外角的平分线,则∠M﹣∠N= 度.
20.将一副三角板如图叠放,则图中∠α的度数为 .
三.解答题(共5小题)
21.如图,已知在△ABC中,D点在AC上,E点在BC的延长线上.求证:
∠ADB>∠CDE.
22.感知:
如图①,△ABC是锐角三角形,△ABC的外角∠ACD的平分线与边AC上的高BE的延长线交于点F,若∠ABC=45°,∠BAC=65°,求∠F的度数:
探究:
在图①中,若∠ACB=α,其他条件不变,求∠F的度数(用含α的式子表示);
应用:
如图②,在△ABC中,∠ACB是钝角,△ABC的外角∠BCD的平分线与边AC上的高BE交于点F,若∠ACB=α,则BE与CF相交所成的角的大小是 (用含α的式子表示).
23.某零件如图所示,图纸要求∠A=90°,∠B=32°,∠C=21°,当检验员量得∠BDC=145°,就断定这个零件不合格,你能说出其中的道理吗?
24.在△ABC中,∠B,∠C的平分线交于点O,D是外角与内角平分线交点,E是外角平分线交点,若∠BOC=120°,求∠D的度数.
25.如图,在△ABC中,BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线,BP、CP分分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线.
(1)当∠A=40°时,分别求∠D和∠P的度数.
(2)当∠A的大小变化时,试探究∠D+∠P的度数是否变化.如果不变化,求出∠D+∠P的值;如果变化,请说明理由.
参考答案与试题解析
一.选择题(共12小题)
1.
解:
根据题意,∠3﹣∠2=180°﹣∠1,
且∠1=130°,
即得∠3﹣∠2=50°.
故选:
A.
2.
解:
根据题意,9x>∠C=80°,
∴x>(
)°,
在△ABD中,9x<180°,
∴x<20°,
因此(
)°<x<20°.
故选:
B.
3.
解:
设这个外角的度数为x,则与其相邻的内角为180°﹣x.
根据题意得,x=2(180°﹣x),
解得x=120°.
则与其相邻的内角为60°,
等于与它不相邻的一个内角的2倍,
可得这个与其不相邻的内角为60°;
即得该三角形为等边三角形.
故选:
D.
4.
解:
∵∠x+∠1=∠β,∠α=∠1,
∴∠x+∠α=∠β,即∠x=∠β﹣∠α.
故选:
A.
5.
解:
A、∠ACE不是△ABC的外角,原说法错误,故本选项错误;
B、∠ECD是△ABC的外角,原说法错误,故本选项错误;
C、∠DCF是△ABC的外角,原说法错误,故本选项错误;
D、∠ACD是△ABC的外角,原说法正确,故本选项正确;
故选:
D.
6.
解:
设一个外角是2x°,那么其他两个外角一定是2x°,3x°.
根据题意列方程,得2x°+2x°+3x°=360°,
解得x=(51
)°,
则三个外角分别是:
度,
度,
度.
与这三角相邻的三个内角分别是:
度,
度,
度.
因为都是锐角,所以此三角形是锐角三角形.
故选:
A.
7.
解:
∵∠1,∠2,∠3是△ABC互不相等的三个外角,
∴∠1+∠2+∠3=360°.
故选:
D.
8.
解:
∵BM=BA,
∴∠A=∠M=15°,
∴∠CBM=∠A+∠M=15°+15°=30°.故选D.
9.
解:
∵∠CBD是△ABC的外角,
∴∠CBD=∠A+∠ACB,
∵∠A=55°,∠ACB=90°,
∴∠CBD=55°+90°=145°,
故选:
C.
10.
解:
由折叠的性质可知,∠BA′D=∠A=65°,
∵∠ABC=90°,∠A=65°,
∴∠C=25°,
∴∠A′DC=∠BA′D﹣∠C=40°,
故选:
A.
11.
解:
∵BP是△ABC中∠ABC的平分线,CP是∠ACB的外角的平分线,
∵∠ABP=20°,∠ACP=50°,
∴∠ABC=2∠ABP=40°,∠ACM=2∠ACP=100°,
∴∠A=∠ACM﹣∠ABC=60°,
∠ACB=180°﹣∠ACM=80°,
∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°,
∵∠BPC=20°,
∴∠P=180°﹣∠PBC﹣∠BCP=30°,
∴∠A+∠P=90°,
故选:
C.
12.
解:
∵图中是一副直角三角板,
∴∠1=45°,∠2=30°,
∴∠α=180°﹣45°﹣30°=105°.
故选:
D.
二.填空题(共8小题)
13.
解:
∵三角形三个外角度数之比是3:
4:
5,
设三个外角分别是α,β,γ,则α=360°×
=90°,
∴此三角形一定是直角三角形,最大内角为90°.
故答案为:
90°.
14.
解:
如图,∵∠1=∠A+∠B,∠A=32°,∠B=76°,
∴∠1=32°+76°=108°,
故答案为:
108.
15.
解:
∵∠B=45°,∠A=75°,
∴∠ACD=∠B+∠A=45°+75°=120°,
故答案为:
120°.
16.
解:
由题意∠C=∠A+∠B+30°,
∵∠A+∠B+∠A+∠B+30°=180°,
∴∠A+∠B=75°,
∴∠C=105°,
∴∠C的外角是75°,
∵∠C=105°>90°,
∴这个三角形是钝角三角形,
故答案为75,钝角三角形.
17.
解:
由三角形的外角的性质可知,x+x+20=x+80,
解得,x=60,
故答案为:
60.
18.
解:
∵AD是∠CAB的平分线,BD是△ABC的外角平分线,
∴∠DBE=
∠CBE,∠DAE=
∠CAE,
∴∠D=∠DBE﹣∠DAE=
(∠CBE﹣∠CAE)=
∠C=20°,
故答案为:
20.
19.
解:
∵BM、CM分别是内角∠ABC、∠ACB的角平分线,∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A,
∴∠M=180°﹣
(∠ABC+∠ACB)=90°+
∠A;
∵BN、CN是外角的平分线,
∴∠N=90°﹣
,
∴∠M﹣∠N=∠A=60°,
故答案为:
60
20.
解:
由三角形的外角的性质可知,∠α=60°﹣45°=15°,
故答案为:
15°.
三.解答题(共5小题)
21.
证明:
∵∠DCB是△DCE的一个外角(外角定义)
∴∠DCB>∠CDE(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)
∵∠ADB是△BCD的一个外角(外角定义)
∴∠ADB>∠DCB(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)
∴∠ADB>∠CDE(不等式的性质).
22.
解:
感知:
∠ACD=∠A+∠ABC=45°+65°=110°,
由角平分线的性质,得
∠ACF=
∠ACD=55°,
由三角形内角和定理,得
∠F=180°﹣90°﹣∠ECF=90°﹣55°=35°.
探究:
∠ACD=∠A+∠ABC=45°+65°=110°,
由角平分线的性质,得
∠ACF=
∠ACD=55°,
由外角的性质,得
∠F=∠BEC﹣∠ECF=90°﹣55°=35°.
应用:
由补角的性质,得
∠BCD=180°﹣∠ACB=180°﹣α,
由角平分线的性质,得
∠ECF=
∠BCE=90°﹣
α,
由外角的性质,得
∠CFE=90°﹣∠ECF=
α,
由补角的性质,得
∠BFC=180°﹣
α,
综上所述:
BE与CF相交所成的角的大小是
故答案为:
α或180°﹣
α.
23.
解:
如图,连接AD并延长,
∴∠BDE=∠B+∠BAD,∠CDE=∠C+∠CAD,
∵∠A=90°,∠B=32°,∠C=21°,
∴∠BDC=∠BDE+∠CDE,
=∠B+∠BAD+∠DAC+∠C,
=∠B+∠BAC+∠C,
=32°+90°+21°,
=143°,
∵143°≠145°,
∴这个零件不合格.
24.
解:
∵∠BOC=120°,
∴∠OBC+∠OCB=60°,
∵∠B,∠C的平分线交于点O,
∴∠ABC+∠ACB=120°,
∴∠A=60°,
∵D是外角与内角平分线交点,E是外角平分线交点,
∴∠DCH=
∠ACH,∠DBC=
∠ABC,
∴∠D=∠DCH﹣∠DBC=
×(∠ACH﹣∠ABC)=30°.
25.
解:
(1)在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A,
∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,
∴∠DBC=
∠ABC,∠DCB=
∠ACB,
∴∠DBC+∠DCB=
(∠ABC+∠ACB)=
(180°﹣∠A)=90°﹣
∠A,
在△BCD中,
∠BDC=180°﹣(∠DBC+∠DCB)
=180°﹣(90°﹣
∠A)
=90°+
∠A
=90°+20°
=110°;
∵BP、CP分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线,
∴∠CBP=
∠CBE,∠BCP=
∠BCF,
∴∠CBP+∠BCP
=
∠CBE+
∠BCF
=
(∠CBE+∠BCF)
=
(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)
=
(180°+∠A),
∴∠BPC=180°﹣(∠CBP+∠BCP)
=180°﹣
(180°+∠A)
=90°﹣
∠A
=90°﹣
×40°
=80°.
(2)∠D+∠P的值不变.
∵由
(1)知∠D=90°+
∠A,∠P=90°﹣
∠A,
∴∠D+∠P=180°.