讲义之有理数.docx

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讲义之有理数

第一章 有理数知识点提要

1.1正数和负数 

●0以外的数前面加上负号“－”的书叫做负数，其余叫做正数。

●数０既不是正数也不是负数，０是正数与负数的分界。

●在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义  

1.2有理数 

1.2.1有理数 

1.2.2数轴 

规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

数轴的作用：

所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。

注意事项：

⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可。

⑵同一根数轴，单位长度不能改变。

一般地，设是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数－a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

1.2.3相反数 

只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。

在任意一个数前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数。

1.2.4绝对值 

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。

一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。

注意事项：

比较有理数的大小：

⑴正数大于0，0大于负数，正数大于负数。

⑵两个负数，绝对值大的反而小。

例题

【考题1－1】|－22|的值是（）

A．－2B.2C．4D．－4

解C点拨：

由于－22=－4，而|－4|=4．故选C．

【考题1－2】在下面等式的□内填数，○内填运算符号，使等号成立（两个算式中的运算符号不能相同）：

□○□=－6；□○□=－6．

解：

－2

－4

=－6

点拨：

此题考查有理数运算，答案不唯一，只要符合题目要求即可．

【考题1－3】自然数中有许多奇妙而有趣的现象，很多秘密等待着我们去探索！

比如：

对任意一个自然数，先将其各位数字求和，再将其和乘以3后加上1，多次重复这种操作运算，运算结果最终会得到一个固定不变的数R，它会掉入一个数字“陷断”，永远也别想逃出来，没有一个自然数能逃出它的“魔掌”．那么最终掉人“陷井”的这个固定不变的数R=_________

解：

13点拨：

可任意举一个自然数去试验，如15，（1+5）×3+1=19，（1+9）×3+1=31，（3+1）×3+1=13

（1+3）×3+1=13，……．

【考题1－4】在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所．已知青少年宫在学校东300m处，商场在学校西200m处，医院在学校东500m处．若将马路近似地看作一条直线，以学校为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示100m．

（1）在数轴上表示出四家公共场所的位置；

（2）列式计算青少年宫与商场之间的距离．：

解：

（1）如图1－2－1所示：

（2）300－（－200）=500（m）；或|－200－300|=500（m）；或300+|200|=500（m）．

答：

青少宫与商场之间的距离是500m。

三、针对性训练：

（30分钟）

1．－（－4）的相反数是_______，－（+8）是______的相反数．（考察相反数的概念）

2．若

的倒数与

互为相反数，则a等于（）（考察相反数的概念）

3．已知有理数x、y满足

求xyz的值．（考察绝对值的性质）

4．如图1―2―2是一个正方体盒子的展开图，请把-10，8，10，－2，－8，2分别填入六个小正方形，使得按虚线折成的正方体相对面上的两数互为相反数．（综合运用一二章知识）

5．在数轴上a、b、c、d对应的点如图1―2―3所示，化简|a－b|+|c－b|+|c－c|+|d－b|.（考察数轴上的点的大小何正负关系）

6．把下面各数填入表示它所在的数集里．（考察有理数的分类）

－3，7，－

，0，2003，－1．41，0．608，－5％

正有理数集｛…｝；

负有理数集｛…｝；

整数集｛…｝；

有理数集｛…｝；

7．已知a与b互为倒数，c和d互为相反数，且|x|=6，求式子

的值．（考察倒数相反数概念）

8．比较－

与－

的大小．（借助绝对值比较两数的大小）

1.3有理数的加减法 

1.3.1有理数的加法 

有理数的加法法则：

⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0。

⑶一个数同0相加，仍得这个数。

 加法交换律：

a＋b＝b＋a 

加法结合律：

（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 1.3.2有理数的减法 

有理数的减法可以转化为加法来进行。

 有理数减法法则：

减去一个数，等于加这个数的相反数。

a－b＝a＋（－b）  

1.4有理数的乘除法

1.4.1有理数的乘法 

有理数乘法法则：

（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

（2）任何数同0相乘，都得0。

（3） 乘积是1的两个数互为倒数。

（4）几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。

乘法交换律：

ab＝ba 

乘法结合律：

（ab）c＝a（bc）

 乘法分配律：

a（b＋c）＝ab＋ac 

1.4.2有理数的除法 

有理数除法法则：

（1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

 a÷b＝a×

（b≠0） 

（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。

因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算。

乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

1.5有理数的乘方

1.5.1乘方

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在an中，a叫做底数，n叫做指数，当an看作a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂。

注意事项：

（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

→ 有理数混合运算的运算顺序：

⑴先乘方，再乘除，最后加减；

 ⑵同极运算，从左到右进行； 

⑶如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行 

1.5.2科学记数法 

把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数），使用的是科学记数法。

用科学记数法表示一个n位整数，其中10的指数是n－1。

1.5.3近似数和有效数字 

接近实际数目，但与实际数目还有差别的数叫做近似数。

精确度：

一个近似数四舍五入到哪一位，就说精确到哪一位。

从一个数的左边第一个非0 数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。

注意事项：

对于用科学记数法表示的数a×10n，规定它的有效数字就是a中的有效数字

【考题2－1】今年我市二月份某一天的最低气温为－5oC，最高气温为13oC，那么这一天的最高气温比最低气温高（）

A．－18oCB．18oCC．13oCD．5oC

解：

B点拨：

13－（－5）－13＋5=18（℃）．

【考题2－2】生物学指出，在生态系统中，每输人一个营养级的能量，大约只有10％的能量能够流动到下一个营养级，在H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中，（Hn表示第n个营养级，n=l，2，…，6），要使H6获得10千焦的能量，需要H1提供的能量约为（）千焦

A．104B．105C106D107

解:

C点拨：

因只有10％的能量从上一营养级流到下一营养级，所以要使H6获得10千焦的能量，则H1需100千焦，以此类推，H1需提供106千焦．

【考题2－3】计算：

6－1=______

解：

点拨：

需用

三、针对性训练：

（45分钟）（答案：

212）

4、

5、我们平常用的数是十进制的数如2639=2×103＋6×102＋3×102＋9×10，表示十进制的数要用

十个数码：

0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码：

0，1．如二进制中：

101＝1×22＋0×21+1×20等于十进制的数5；10111＝1×24+0×23+1×22+1×21+1×20等于十进制的数23．请问二进制中的1101等于十进制中的哪个数？

_________________

7．已知|x|=3，|y|=2，且xy≠0，则x+y的值等于___

8．计算12－|－18|+（－7）+（－15）．

其中错误的个数是（）

A．3B．4C．5D．6

单元检测

一、选择题（本大题共15小题，共45分）：

1、在–1，–2，1，2四个数中，最大的一个数是（）

（A）–1（B）–2（C）1（D）2

2、有理数

的相反数是（）

（A）

（B）

（C）3（D）–3

3、计算

的值是（）

（A）–2（D）

（C）

（D）2

4、有理数–3的倒数是（）

（A）–3（B）

（C）3（D）

5、π是（）

（A）整数（B）分数（C）有理数（D）以上都不对

6、计算：

（＋1）＋（–2）等于（）

（A）–l（B）1（C）–3（D）3

7、大于–3.5，小于2.5的整数共有（）个。

（A）6（B）5（C）4（D）3

8、如果

，那么a是（）

（A）0（B）0和1（C）正数（D）非负数

9、如果两个有理数的积是正数，和也是正数，那么这两个有理数（）

（A）同号，且均为负数（B）异号，且正数的绝对值比负数的绝对值大

（C）同号，且均为正数（D）异号，且负数的绝对值比正数的绝对值大

二、填空题：

（本大题共5小题，共15分）

10、如果向银行存入人民币20元记作+20元，那么从银行取出人民币32.2元记作________。

11、比较大小：

–π________–3.14（填=，＞，＜号）。

12、

。

13、一个数的倒数等于它的本身，这个数是_____________。

三、解答题：

（本大题共6个小题，共40分）

14、（本题6分）在数轴上表示下列各数：

0，–2.5，

，–2，+5，

。

16、（本题12分）直接写出答案：

（1）

=____________；

（2）

=____________；

（3）

=____________；（4）

_______________；

17、（共22分）计算下列各题（要求写出解题关键步骤）：

（1）（4分）

（2）（本题6分）

（3）（本题6分）

　（4）（本题6分）（―3）＋（－7）

（5）（本题6分）（－3.6）＋（＋2.5）　　　　（6）（本题6分）

（7）（本题6分）

（8）（本题6分）（＋4.7）―（―8.9）－（＋7.5）＋（―6）

18、某检修小组乘汽车检修公路道路。

向东记为正，向西记为负。

某天自A地出发。

所走路程（单位：

千米）为：

+22，-3，+4，-2，-8，-17，-2，+12，+7，-5；

问：

①，最后他们是否回到出发点？

若没有，则在A地的什么地方？

距离A地多远？

②，若每千米耗油0.05升，则今天共耗油多少升？

大家都来到荷塘，挖莲藕抓鱼虾，捉泥鳅捡螃蟹，人声鼎沸，笑语欢声，相互谈说着要如何弄出一顿顿可口的美味。

光是莲藕的吃法就有很多：

熬汤炖肉八宝酿、清炒生吃蜜饯糖，还可以磨成藕粉，加入砂糖或蜂蜜，在温水里一泡，就是一杯清凉清甜的解暑饮料。

用鲜莲叶来熬粥，蒸饭蒸鸡，或蒸其它肉类味道都是极鲜美的，做出来的食物均带着一股淡淡的莲叶清香。

人们那么喜欢荷花，不单单是因为它的芳香美丽洁净高雅，更因为它全身是宝，每一处都可食可药可用。

　我最喜欢的是生鲜莲子羹。

把剥好的莲子对半打开去芯，莲子芯很苦，可以药用，没有芯的莲子是甜的，正好用它熬糖水。

把足量的生莲子洗净，和着一小片生姜一片鲜莲叶，放进清水锅里，盖着盖子大火烧滚，转小火熬二十分钟，捞起莲叶，加入冰糖，小火慢熬，边熬边搅拌，十五分钟后，一款既清香甘美又消暑解渴的莲子羹就做成了。

这样的汤水，在炎热的夏季里，只要喝过一次都不会忘记。