第13章轴对称单元模拟测试A及答案.docx

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第13章轴对称单元模拟测试A及答案

第13章《轴对称》单元模拟测试（A）

一、单选题 （本大题共8小题，每小题3份，共24分）

1．（2015•庆阳）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

2．（2015•盐城）若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（　　）

A．12B．9C．12或9D．9或7

3．（2015•南宁）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（　　）

A．35°B．40°C．45°D．50°

4．（2015•陕西）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（　　）

A．2个B．3个C．4个D．5个

5．（2015•玉林）如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是（　　）

A．AD=AEB．DB=ECC．∠ADE=∠CD．DE=

BC

6．（2015•福州）如图，在3×3的正方形网格中由四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（　　）

A．A点B．B点C．C点D．D点

7．（2015•罗平县三模）如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是（　　）

A．115°B．75°C．105°D．50°

8．（2015•营口）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（　　）

A．25°B．30°C．35°D．40°

二、填空题 （本大题共6小题，每小题3份，共18分）

9．（2015•泉州）如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD=　　　　　　°．

10．（2015•乌鲁木齐）等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是　　　　　　．

11．（2015•株洲）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于y轴的对称点的坐标是　　　　　　．

12．（2015•东莞校级一模）如图，△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于D，若△ADB的周长是10cm，AB=4cm，则AC=　　　　　　cm．

13．（2015•江西校级模拟）如图，在凸四边形ABCD中，AB=BC=BD，∠ABC=80°，则∠ADC等于　　　　　　°．

14．（2015•黄岛区校级模拟）如图，已知AB=A1B，在AA1的延长线上依次取A2、A3、A4、…、An，并依次在三角形的外部作等腰三角形，使A1C1=A1A2，A2C2=A2A3，A3C3=A3A4，…，An﹣1Cn﹣1=An﹣1An，若∠B=30°，则∠An=　　　　　　°．

三、（本大题共4题，每小题6份，共24分）

15．（2016秋•灌云县月考）已知AB=AC，AE平分∠DAC，那么AE∥BC吗？

为什么？

16．（2015•聊城）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）．

（1）将△ABC沿y轴正方向平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1坐标；

（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．

17．（2015•黄岛区校级模拟）某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置．

18．（2015•杭州模拟）已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC，交线段AB于点F．请找出一组相等的线段（AB=AC除外）并加以证明．

四、（本大题共2题，每小题8份，共16分）

19．（2014秋•黔东南州期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E．若∠CAE=∠B+30°，求∠AEB的度数．

20．（2015春•山亭区期末）如图，AD∥BC，∠BAC=70°，DE⊥AC于点E，∠D=20°．

（1）求∠B的度数，并判断△ABC的形状；

（2）若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是∠ABC的平分线．

五、（本大题共2题，第21题8份，第22题10份，共18分）

21．（2015春•宜春期末）已知，在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为（1，4）和（3，0），点Q是y轴上的一个动点，且M、N、Q三点不在同一直线上，当△MNQ的周长最小时，求点Q的坐标．

22．（2015春•启东市月考）已知，如图所示：

P为等边三角形ABC内的一点，它到三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高AM=h．则h与h1、h2、h3有何数量关系？

写出你的猜想并加以证明．

参考答案

一、单选题 （本大题共8小题，每小题3份，共24分）

1．（2015•庆阳）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

选：

A

2．（2015•盐城）若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（　　）

A．12B．9C．12或9D．9或7

考点：

等腰三角形的性质；三角形三边关系．

分析：

利用等腰三角形的性质以及三角形三边关系得出其周长即可．

解答：

解：

∵一个等腰三角形的两边长分别是2和5，

∴当腰长为2，则2+2＜5，此时不成立，

当腰长为5时，则它的周长为：

5+5+2=12．

故选：

A．

点评：

此题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，正确分类讨论得出是解题关键．

3．（2015•南宁）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（　　）

A．35°B．40°C．45°D．50°

考点：

等腰三角形的性质．

分析：

先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．

解答：

解：

∵△ABD中，AB=AD，∠B=70°，

∴∠B=∠ADB=70°，

∴∠ADC=180°﹣∠ADB=110°，

∵AD=CD，

∴∠C=（180°﹣∠ADC）÷2=（180°﹣110°）÷2=35°，

故选：

A．

点评：

本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．

4．（2015•陕西）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（　　）

A．2个B．3个C．4个D．5个

考点：

等腰三角形的判定与性质．

分析：

根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形．

解答：

解：

∵AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形；

∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠C=72°，

∵BD是△ABC的角平分线，

∴∠ABD=∠DBC=

∠ABC=36°，

∴∠A=∠ABD=36°，

∴BD=AD，

∴△ABD是等腰三角形；

在△BCD中，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°，

∴∠C=∠BDC=72°，

∴BD=BC，

∴△BCD是等腰三角形；

∵BE=BC，

∴BD=BE，

∴△BDE是等腰三角形；

∴∠BED=（180°﹣36°）÷2=72°，

∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°，

∴∠A=∠ADE，

∴DE=AE，

∴△ADE是等腰三角形；

∴图中的等腰三角形有5个．

故选D．

点评：

此题考查了等腰三角形的判定，用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等，解题时要找出所有的等腰三角形，不要遗漏．

5．（2015•玉林）如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是（　　）

A．AD=AEB．DB=ECC．∠ADE=∠CD．DE=

BC

考点：

等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．

专题：

计算题．

分析：

由DE与BC平行，得到三角形ADE与三角形ABC相似，由相似得比例，根据AB=AC，得到AD=AE，进而确定出DB=EC，再由两直线平行同位角相等，以及等腰三角形的底角相等，等量代换得到∠ADE=∠C，而DE不一定为中位线，即DE不一定为BC的一半，即可得到正确选项．

解答：

解：

∵DE∥BC，

∴

=

，∠ADE=∠B，

∵AB=AC，

∴AD=AE，DB=EC，∠B=∠C，

∴∠ADE=∠C，

而DE不一定等于

BC，

故选D．

点评：

此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解本题的关键．

6．（2015•福州）如图，在3×3的正方形网格中由四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（　　）

A．A点B．B点C．C点D．D点

考点：

关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标确定位置．

分析：

以每个点为原点，确定其余三个点的坐标，找出满足条件的点，得到答案．

解答：

解：

当以点B为原点时，

A（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），

则点A和点C关于y轴对称，

符合条件，

故选：

B．

点评：

本题考查的是关于x轴、y轴对称的点的坐标和坐标确定位置，掌握平面直角坐标系内点的坐标的确定方法和对称的性质是解题的关键．

7．（2015•罗平县三模）如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是（　　）

A．115°B．75°C．105°D．50°

考点：

线段垂直平分线的性质．

分析：

由BE是∠ABC的平分线，∠ABC=50°，可求得∠EBD的度数，然后由AD垂直平分线段BC，根据线段垂直平分线的性质，可得EB=ED，继而求得∠C的度数，然后由三角形外角的性质，求得答案．

解答：

解：

∵BE是∠ABC的平分线，∠ABC=50°，

∴∠EBD=

∠ABC=25°，

∵AD垂直平分线段BC，

∴EB=EC，∠ADC=90°，

∴∠C=∠EBD=25°，

∴∠AEC=∠ADC+∠C=115°．

故选A．

点评：

此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

8．（2015•营口）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（　　）

A．25°B．30°C．35°D．40°

考点：

轴对称-最短路线问题．

专题：

压轴题．

分析：

分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=

∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．

解答：

解：

分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，

分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：

∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，

∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；

∵点P关于OB的对称点为C，

∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，

∴OC=OP=OD，∠AOB=

∠COD，

∵△PMN周长的最小值是5cm，

∴PM+PN+MN=5，

∴DM+CN+MN=5，

即CD=5=OP，

∴OC=OD=CD，

即△OCD是等边三角形，

∴∠COD=60°，

∴∠AOB=30°；

故选：

B．

点评：

本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．

二、填空题 （本大题共6小题，每小题3份，共18分）

9．（2015•泉州）如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD=　30°　°．

考点：

等边三角形的性质．

分析：

根据正三角形ABC得到∠BAC=60°，因为AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一得到∠BAD的度数．

解答：

解：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=60°，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴∠BAD=

∠BAC=30°，

故答案为：

30°．

点评：

本题考查的是等边三角形的性质，掌握等边三角形的三个内角都是60°和等腰三角形的三线合一是解题的关键．

10．（2015•乌鲁木齐）等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是　120°　．

考点：

等腰三角形的性质．

分析：

三角形内角与相邻的外角和为180°，三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等，100°只可能是顶角．

解答：

解：

等腰三角形一个外角为60°，那相邻的内角为120°，

三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，

所以120°只可能是顶角．

故答案为：

120°．

点评：

本题主要考查三角形外角性质、等腰三角形性质及三角形内角和定理；判断出80°的外角只能是顶角的外角是正确解答本题的关键．

11．（2015•株洲）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于y轴的对称点的坐标是　（3，2）　．

考点：

关于x轴、y轴对称的点的坐标．

分析：

根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．

解答：

解：

在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于y轴的对称点的坐标是（3，2），

故答案为：

（3，2）．

点评：

本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：

关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

12．（2015•东莞校级一模）如图，△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于D，若△ADB的周长是10cm，AB=4cm，则AC=　6　cm．

考点：

线段垂直平分线的性质．

分析：

根据线段的垂直平分线性质得出CD=BD，求出△ADB的周长AD+DB+AB=AC+AB=10cm，求出即可．

解答：

解：

∵MN是线段BC的垂直平分线，

∴CD=BD，

∵△ADB的周长是10cm，

∴AD+BD+AB=10cm，

∴AD+CD+AB=10cm，

∴AC+AB=10cm，

∵AB=4cm，

∴AC=6cm，

故答案为：

6．

点评：

本题考查了线段垂直平分线的性质的应用，注意：

线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．

13．（2015•江西校级模拟）如图，在凸四边形ABCD中，AB=BC=BD，∠ABC=80°，则∠ADC等于　140　°．

考点：

等腰三角形的性质．

分析：

根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠ADB=90°﹣

∠ABD，∠CDB=90°﹣

∠CBD，由于∠ADC=∠ADB+∠CDB，∠ABC=80°，依此即可求解．

解答：

解：

∵AB=BC=BD，

∴∠ADB=90°﹣

∠ABD，∠CDB=90°﹣

∠CBD，

∴∠ADC=∠ADB+∠CDB

=90°﹣

∠ABD+90°﹣

∠CBD

=180°﹣

（∠ABD+∠CBD）

=180°﹣

×80°

=180°﹣40°

=140°．

故答案为：

140．

点评：

本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，注意整体思想的运用．本题难度适中．

14．（2015•黄岛区校级模拟）如图，已知AB=A1B，在AA1的延长线上依次取A2、A3、A4、…、An，并依次在三角形的外部作等腰三角形，使A1C1=A1A2，A2C2=A2A3，A3C3=A3A4，…，An﹣1Cn﹣1=An﹣1An，若∠B=30°，则∠An=　

　°．

考点：

等腰三角形的性质．

专题：

规律型．

分析：

先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠C1A3A2及∠C2A4A3…的度数，从而找出规律即可得出∠An的度数．

解答：

解：

∵在△ABA1中，∠B=30°，AB=A1B，

∴∠BA1A=

=

=75°，

∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，

∴∠CA2A1=

=

=37.5°；

∴∠C1A3A2=18，75°，∠C2A4A3=9.375°，…，

∴∠An=

，

故答案为：

．

点评：

本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠C1A3A2及∠C2A4A3…的度数，找出规律是解答此题的关键．

三、（本大题共4题，每小题6份，共24分）

15．（2016秋•灌云县月考）已知AB=AC，AE平分∠DAC，那么AE∥BC吗？

为什么？

考点：

等腰三角形的性质；平行线的判定．

分析：

根据等边对等角可得∠B=∠C，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAC=2∠B，根据角平分线的定义可得∠DAC=2∠DAE，然后求出∠B=∠DAE，最后根据同位角相等，两直线平行证明即可．

解答：

略

点评：

本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．

16．（2015•聊城）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）．

（1）将△ABC沿y轴正方向平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点B1坐标；

（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．

考点：

作图-轴对称变换；作图-平移变换．

专题：

作图题．

分析：

（1）直接利用平移的性质得出平移后对应点位置进而得出答案；

（2）利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案．

解答：

解：

（1）如图所示：

△A1B1C1，即为所求；点B1坐标为：

（﹣2，﹣1）；

（2）如图所示：

△A2B2C2，即为所求，点C2的坐标为：

（1，1）．

点评：

此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，根据图形的性质得出对应点位置是解题关键．

17．（2015•黄岛区校级模拟）某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置．

考点：

线段垂直平分线的性质；作图—应用与设计作图．

分析：

由三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，可得售票中心是海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐场组成三角形的三边的垂直平分线的交点．

解答：

解：

如图，①连接AB，AC，

②分别作线段AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线相较于点P，

则P即为售票中心．

点评：

此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握线段垂直平分线的作法．

18．（2015•杭州模拟）已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC，交线段AB于点F．请找出一组相等的线段（AB=AC除外）并加以证明．

考点：

等腰三角形的判定与性质．

分析：

据图易知∠ADE=90°﹣∠C，∠BFE=90°﹣∠B，而AB=AC，可知∠B=∠C，于是∠ADE=∠BFE，又∠AED和∠BFE是对顶角，易得∠D=∠AFD，从而有AD=AF，易证之．

解答：

解：

AD=AF；

∵AB=AC，

∴∠B=∠C

∵DE⊥BC，

∴∠BEF=∠DEC=90°，

∴∠BFE=∠D，

∵∠BFE=∠DFA，

∴∠DFA=∠D，

∴AF=AD．

点评：

本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明∠D=∠AFD，注意等边对等角，以及等角对等边的使用．

四、（本大题共2题，每小题8份，共16分）

19．（2014秋•黔东南州期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E．若∠CAE=∠B+30°，求∠AEB的度数．

考点：

线段垂直平分线的性质．

分析：

根据线段垂直平分线求出AE=BE，推出∠B=∠EAB，根据已知和三角形内角和定理得出∠B+30°+∠B+∠B=90°，求出∠B，即可得出答案．

解答：

解：

∵DE垂直平分AB，

∴AE=BE，

∴∠B=∠EAB，

∵∠C=90°，∠CAE=∠B+30°，

∴∠B+30°+∠B+∠B=90°，

∴∠B=20°，

∴∠AEB=180°﹣20°﹣20°=140°．

点评：

本题考查了线段垂直平分线，三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是得出关于∠B的方程，题目比较好，难度适中．

20．（2015春•山亭区期末）如图，AD∥BC，∠BAC=70°，DE⊥AC于点E，∠D=20°．

（1）求∠B的度数，并判断△ABC的形状；

（2）若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是∠ABC的平分线．

考点：

等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．

分析：

（1）根据三角形内角和定理求得∠CAD=70°，根据平行线的性质求得∠C=∠CAD=70°，即可求得∠B的度数，根据等角对等边求得△ABC是等腰三角形；

（2）根据等腰三角形三线合一的性质即可证得；

解答：

解：

（1）∵DE⊥AC于点E，∠D=20°，

∴∠CAD=70°，

∵AD∥BC，

∴∠C=∠CAD=70°，

∵∠BAC=70°，

∴∠B=40°，AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）∵延长线段DE恰好过点B，DE⊥AC，

∴BD⊥AC，

∵△ABC是等腰三角形，

∴DB是∠ABC的平分线．

点评：

本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握和应用这些性质和定理是本题的关键．

五、（本大题共2题，第21题8份，第22题10份，共18分）

21．（2015春•宜春期末）已知，在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为（1，4）和（3，0），点Q是y轴上的一个动点，且M、N、Q三点不在同一直线上，当△MNQ的周长最小时，求点Q的坐标．

考点：

轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．

分析：

根据平面直角坐标系找出N关于y轴的对称点N′位置，连接MN′，根据轴对称确定最短路线问题交点即为△MNQ的周长最小的点Q的位置，根据MD和N′D确定△MDN′是等腰直角三角形，进而求得△QON′是等腰直角三角形，即可求得OQ的长．

解答：

解：

作点N关于y轴的对称点N′，连接MN′交y轴于点Q，

则此时△MNQ的周长最小，

理由：

∵点N的坐标是（3，0），

∴点N′的坐标是（﹣3，0），

过点M作MD⊥x轴，垂足为点D

∵点M的坐标是（1，4）

∴N′D=MD=4

∴∠MN′D=45°，