名师整理数学九年级下册第27章《271 图形的相似》优秀教案.docx
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名师整理数学九年级下册第27章《271图形的相似》优秀教案
第 27 章相似
27.1图形的相似
一、教学目标
1．核心素养
通过图形相似的学习，初步形成基本的几何直观、运算能力、推理能力．
2．学习目标
（1）理解并掌握两个图形相似的概念．
（2）了解成比例线段的概念，会确定线段的比．
（3）了解比例尺的概念.
（4）记住相似多边形的性质，会辨别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行
相关的计算．
3．学习重点
相似图形的概念和与成比例线段的概念；相似多边形的性质与识别.
4．学习难点
线段成比例的意义；运用相似多边形的性质进行相关的计算．
二、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务
任务 1. 阅读教材 P24-25，思考：
什么是相似图形?
你能正确判断两个图形是否相
似吗？
任务 2. 阅读教材 P26—P28，思考：
什么是相似多边形？
什么是相似比？
相似多
边形有怎样的性质？
什么是成比例线段？
2．预习自测
（1）下列各组图形相似的是（）
答案：
B
解析：
略
（2）下列各组数中成比例的是（）
A. 2，3，4，1B. 3，5，13，9
C. 6，8，9，10D. 10，20，20，40
答案：
D
解析：
略
（3）如图,四边形 EFGH 相似于四边形 ABCD,则∠A=______度，∠C=______度，∠
H=_____度，x=_____，y=_____,z=_____。
答案：
7012060404575
解析：
∵四边形 ABCD 和 EFGH 相似，所以它们的对应角相等， 由此可得∠A=∠
E=70°，∠C=∠G=120°,∠H=∠D=60°.
∵四边形 ABCD 和 EFGH 相似，所以它们的对应边成比例，
由此可得 x = 18 = 30 = 20 , 解得 x=40,y=45,z=75.
100yz50
1
（二）课堂设计
1．知识回顾
1.全等形的概念：
能够完全重合的两个图形叫做全等形。
2.全等多边形的性质：
全等多边形的对应角相等，对应边相等。
3.比的意义：
两个数相除又叫做两个数的比。
比号前面的数叫做比的前项，比号
后面的数叫做比的后项。
4.比的性质：
比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0 除外），比值不变。
5.比例：
表示两个比相等的式子叫做比例。
6.比例尺：
图上距离：
实际距离=比例尺。
2．问题探究（对课本知识按学习目标进行讲解，由浅入深，突出重点，逐步讲解）
问题探究一什么是相似图形？
重点知识★
●活动 1师生互动，探索新知
情景：
依次展示每组图片，供学生欣赏.
观察与思考：
请观察下面几组图片：
你能发现它们有什么特点吗?
想一想：
你能再举出一些相似的图形的例子吗？
学生举例
探究与思考：
什么是相似图形？
引导学生归纳.
从而得出：
具有相同形状的图形叫相似形．（出示课题——图形的相似）
●活动2多媒体演示，进一步理解相似图形的概念
从学生举例的相似图形中选出三组如下，通过多媒体将其图形缩小或放大，再
2
利用图形的平移或旋转等变换，使它与另一个图形重合，加以验证它们是相似的
图形，从而进一步理解相似图形的概念。
●活动3应用练习
1.思考教科书第 25 页思考中的问题，哈哈镜里看到的不同镜像它们相似吗？
【知识点：
相似图形】
解：
∵哈哈镜改变了形状，∴它们不相似。
2.如图，图形 a～f 中，哪些是与图形
（1）或
（2）相似的？
【知识点：
相似图形】
解：
与
（1）相似的是：
d；与
（2）相似的是：
e.
3.如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？
【知识点：
相似图形】
3
解：
它们形状相同，所以是相似的。
问题探究二什么是线段的比？
●活动 1 学生计算、讨论、交流，感受两条线段的比，从而得出线段比的概念。
例：
一张桌面的长 AB=1.25m，宽 AD=0.75m，那么长 AB
与宽 AD 的比是多少？
（1）如果 AB=125cm，AD=75cm，那么 AB 与 AD 的比是多
少？
（2）如果 AB=1250mm，AD=750mm，那么 AB 与 AD 的比是多少？
详解：
（1）∵AB=125cm，AD=75cm，∴AB：
AD=125：
75=5：
3；
（2）∵AB=1250mm，AD=750mm，∴AB：
AD=1250：
750=5：
3．
说一说：
生活中还有哪些利用线段比的事例?
你能举例吗？
归纳：
两条线段的比，就是两条线段长度的比．
如果使用同一个长度单位量得两条线段 AB 和 CD 的长分别是 m，n，那么就说这
两条线段的比 AB:
CD=m:
n，或写成 ABm .其中，线段 AB，CD 分别叫做这个线段
CDn
比的前项和后项.如果把 m 表示成比值 k（k 是无单位的正实数），那么 AB =k，或
nCD
AB=kCD，
两条线段的比是有顺序的；两条线段的比与所采用的长度单位无关，但要采
用同一长度单位。
问题探究三什么是成比例线段？
重点、难点知识★▲
●活动 1让学生通过计算、讨论得出成比例线段的概念
如图，设小方格的边长为 1，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 的顶点都在格点上，那么
,,
EF EH AD EH
4
你发现了什么？
学生通过计算的结果可得出:
ABEF
EHAD = EH
●活动 2例题讲解，成比例线段的应用
例 1.已知 a=2，b=4.1，c=4，d=8.2,下面选项正确的是（）
A. d，b，a，c 成比例B. a，d，b，c 成比例
C. a，c，b，d 成比例D. a，d，c，b 成比例
【知识点：
成比例线段】
解：
C由 a：
c=2：
4=1：
2，b：
d=4.1：
8.2=1:
2，∴a：
c=b：
d，故选 C.
点拨：
四条线段成比例是有顺序性的。
例 2.下列各组中的四条线段成比例的是（）
5
A.a=2 ，b=3，c=2，d= 3B.a=4，b=6，c=5，d=10
C.a=2，b= 5 ，c=2 3 ，d= 15D.a=2，b=3，c=4，d=1
【知识点：
成比例线段】
解：
C 由 a:
b=2:
5 ，c:
d=2 3 :
15 =2:
5 ，∴a:
b= c:
d,线段 a,b,c,d 是成比例线
段.
点拨：
判断四条线段是否成比例，也可看最短线段长和最长线段长的乘积与长度
居中的两条线段长的乘积是否相等，若乘积相等, 则这四条线段成比例，否则不
成比例.
●活动 3应用练习
1.下列长度的各组线段中，能组成比例线段的是（）
A.2，5，6，8B. 3，6，9，18C.1，2，3，4D. 3，6，7，9
解：
B
2.已知 a、b、c、d 是成比例线段,a=4cm,b=6cm,d=9cm,则 c=____.
解：
由 a：
b=c：
d，4:
6:
=c:
9,c=6.
问题探究四什么是相似多边形？
相似多边形有怎样的性质？
重点、难点知识
★▲
●活动 1从特殊图形入手，合作探究
思考图中的两个相似的正三角形和两个相似的正六边形的对应边和对应角的关
系．
∵正△ABC 与正
B C 相似，
111
∴∠A=∠A =60°，∠B=∠B =60°，∠C=∠C =60°。
111
6
设△ABC 的边长为
，A B C 的边长为 b，
111
∴AB
a
a
a
让学生独立思考并分组交流讨论，然后请学生有条理说明。
归纳：
特殊三角形的对应角相等，对应边成比例。
●活动 2 由特殊到一般进行探究
探究：
如图中的两个相似三角形和相似四边形，它们的对应角和对应边有什么关
系？
利用量角器，直尺度量角及边长。
教师先演示度量，然后请学生上台度量。
学生
感觉比较新鲜。
并且通过电子白板功能准确测量三角形的角与边的度数及长度，
进一步验证相似三角形的对应角相等，对应边的比相等这个性质，及相似比这个
概念。
归纳：
相似多边形的性质：
相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
●活动 3相似多边形的性质的应用
例：
如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求∠ α 和∠ β 的大小，EH 的长度 x ．
解：
因为四边形 ABCD 和 EFGH 相似，所以它们的对应角相等，
由此可得∠α=∠C=83°， ∠A=∠E=118°.
7
在四边形 ABCD 中，∠β=360°-（78°+83°+118°） = 81°.
因为四边形 ABCD 和 EFGH 相似，所以它们的对应边成比例，
即=.
AB2118
解得 x=28.
点拨：
利用相似多边形的对应角相等和四边形内角和等于360︒ 求角的度数；利用相
似多边形的对应边成比例求边长。
●活动 4应用练习：
1.△ABC 与△DEF 的相似比是 2∶3，△DEF 与△ABC 的相似比是___.
【知识点：
相似比】
解：
∵△ABC 与△DEF 的相似比是 2∶
，∴DEF 与△ABC 的相似比是 3：
2.
2.一块长 3m、宽 1.5m 的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框 7.5cm.
①边框的内外边缘所成的矩形相似吗？
为什么？
②如果镶的纵向边框宽 7.5cm，那么当镶的横向边框宽为多少时，边框的内外边缘
所成的矩形相似？
【知识点：
相似多边形的概念和性质】
解：
①∵四边形 ABCD 与矩形 A B C D 均为矩形，
1111
∴∠A =∠A ，∠B=∠B ，∠C=∠C ，∠D=∠D ，
1
1
1
1
由题意得 AB=315，BC=165.
∴
AB CD 315 21
A B C D 300 20
1 1 1 1
BC DA 165 11
B C D A 150 10
1 1 1 1
8
∴AB = CD ≠
A BC D
1111
BC DA
=
B C D A
1 1 1 1
.
∴矩形 ABCD 和矩形 A B C D 不相似.
1111
②解：
设镶的横向边框宽为 xcm.
165
300150解得 x=15. 经检验符合题意.
答：
当镶的横向边框宽为 15cm 时，边框的内外边缘所成的矩形相似.
四、课堂总结
【知识梳理】
（1）相似图形：
形状相同的图形叫相似形．
（2）线段的比：
两条线段的比，就是两条线段长度的比．
（3）比例尺：
图上距离：
实际距离=比例尺.
（4）成比例线段：
在四条线段 a，b，c，d 中，如果 a:
b=c:
d，那么这四条线
段 a，b，c，d 叫做成比例线段，简称比例线段。
（5）相似多边形：
相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
【重难点突破】
（1）对于相似图形的概念：
①判断两个图形是否相似，就看这两个图形是不是形状相同，与它的位置、
颜色、大小无关（当形状与大小都一样时，两个图形就是全等形，所以全等形是
一种特殊的相似形）；
②相似形不仅仅指平面图形，也包括立体图形的情况，如飞机和飞机模型也
是相似形；
9
③两个图形相似，其中一个图形可以看作有另一个图形放大或缩小得到的，
而把一个图形的部分拉长或加宽得到的图形和原图形不是相似图形；
④在记两个多边形相似时，要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上；
（2）相似比的实质是把一个图形放大或缩小一定的倍数（即相似多边形的对
应边的长放大或缩小一定的倍数）．相似比是有顺序的；若△ABC 与 ∆A'B'C' 的相似
比为 k，则 ∆A'B'C' 与△ABC 的相似比为 1 ；
k
（3）图形的相似具有传递性，如果图形 A 与图形 B 相似，图形 B 与图形 C 相
似，那么图形 A 与图形 C 相似。
（4）对于成比例线段：
①若 a:
b=k , 说明 a 是 b 的 k 倍；
②两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必
须一致；
③线段的比值是一个没有单位的正数；
④除了 a=b 外,a:
b≠b:
a；
⑤判断四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两
条线段之比与后两条线段之比是否相等即可.
⑥成比例的四条线段有顺序性.
（5）比例尺问题中注意单位换算.
10
五、随堂检测
一、选择题
1.下列各线段的长度成比例的是（）
A．1 cm，2.5cm，3cm，4 cmB．2 cm，4cm，6cm，8cm
C．3 cm，6 cm，9 cm，18cmD．3cm，5cm，8cm，15 cm
【知识点：
成比例线段】
答案：
C
解析：
略
2.下列图形一定是相似图形的是（）
A．两个平行四边形
C．两个矩形
B．两个正三角形
D．两个菱形
答案：
B
解析：
略
【知识点：
相似图形】
3.若四边形 ABCD∽四边形 A'B'C 'D' ，且 AB∶ A'B' =2∶5，已知 BC=14，则 B'C ' 的长是
（）
A．28B．35C．50D．70
答案：
B
解析：
由相似多边形的对应边成比例，得 BC = AB ，有 14 = 2 ，∴ B'C ' =35.
B'C 'A'B'B'C '5
故选 B.
【知识点：
相似多边形的性质】
4.Rt△ABC 的两条直角边分别为 5cm，12cm，与它相似
A'B'C ' 的斜边为 39cm，
那么
A'B'C ' 的周长为（）
11
A．90cmB．80cmC．60cmD．30cm
答案：
A
解析：
由
ABC 的两条直角边分别为 5cm、12cm，可得其斜边为 13cm，又知与
它相似的
A'B'C ' 的斜边为 39cm，可得
ABC 与
A'B'C ' 的相似比为 13：
39=1：
3，根据相似多边形的性质“相似多边形对应边成比例”可得
A'B'C ' 的
两条直角边分别为 15cm、36cm，因此
A'B'C ' 的周长为：
15+36+39=90 cm.
【知识点：
勾股定理，相似多边形的性质；数学思想：
数形结合】
二、解答题
5.如图，一块矩形纸板的长 AB=m 米,AD=1 米，按照图中所示的方式将它剪成相同
的三块矩形纸板，且使剪出的每块矩形纸板与原矩形纸板相似，那么 m 的值应当
是多少？
答案：
见解析
解析：
根据题意可知，AB=m 米，AE= 1 m 米，AD=1 米．
3
由
1
m
= =
AD AB 1 m 3
m2 = 1 ，∴ m = 3 （ m = - 3 舍去）.
【知识点：
相似多边形的性质、比例的性质；数学思想：
数形结合】
（三）课后作业
基础型自主突破
一、选择题
1.下面几对图形中，相似的是（）
12
【知识点：
相似图形】
答案：
C
解析：
由相似图形的定义可得
2.下列线段中，能成比例的是（）
B
A．2cm，3cm，4cm，5cm ．1.5cm，2.5cm，4cm，5cm
D
C．1.1cm，2.2cm，3.3cm，4.4cm ．1cm，2cm，3cm，6cm
【知识点：
比例线段】
答案：
D
解析：
由 1×6=2×3，可得 D 选项中的四条线段成比例。
3.等边三角形的边长为 a，一边上的中线长为 h，则 a:
h=（）
A. 3∶2B. 3∶1C．2∶ 3D．1∶ 3
【知识点：
等边三角形、比例线段；数学思想：
数形结合】
答案：
C
解析：
由等边三角形的性质知它一边与这边上的中线的夹角为30 ，可得一边与这
边上的中线的比是 2∶ 3。
13
4.在比例尺是 1：
6000000 的地图上，量得甲地到乙地的距离是 18 厘米，南京到
北京的实际距离是千米.
【知识点：
比例尺】
答案：
1080
解析：
由 18×6000000=108000000（厘米）=1080（千米）
5.已知图中的两个四边形相似，则 x=_____，y=_____, ∠ α 的度数为______．
【知识点：
相似多边形的性质；数学思想：
数形结合】
答案：
725485︒
解 析 ：
由 相 似 多 边 形 的 性 质 可 得 36 = x = y ， 解 得 x=72 ， y=54 ，
81612
∠α = 360︒ -115︒ - 77︒ - 83︒ = 85︒ .
6.如图，一个矩形 ABCD 的长 AD=10cm，E、F 分别是 AD、BC 的中点，连接 E、F，
所得新矩形 ABFE 与原矩形 ABCD 相似，则宽 AB=_______cm．
【知识点：
相似多边形的性质；数学思想：
数形结合】
答案：
5 2
解析：
由题意得 AE = AB ，∴ 5 = AB ，∴ AB = 5 2 。
ABADAB10
能力型 师生共研
14
7. 已知线段 a、b，且 a = 3 ，则下列说法错误的是（）
b5
A.a=3cm, b=5cmB.a=3k,b=5k（k>0）C.5a=3b
D. a = 3 b
5
【知识点：
线段的比】
答案：
A
解析：
由线段比的概念可得。
8.下列说法：
（1）正方形都相似；
（2）直角三角形都相似；（3）菱形都相似；（4）
正六边形都相似；（5）矩形都相似；⑥等腰三角形都相似．其中正确的有（）
A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个
【知识点：
相似多边形的概念】
答案：
A
解析：
因正方形、正六边形它们的角都分别相等，边都分别成比例，故它们都相
似.
9.如图，把一个长方形划分为 6 个全等的小长方形，若要使每一个小长方形与原
长方形相似，则原长方形长 m，宽 n 应满足的条件是（）
A.m=6nB.m=12nC. m =6nD. m = 2 3n
【知识点：
相似多边形的性质；数学思想：
数形结合】
答案：
C
15
1
m
解析：
由题意得 6=
nm
10.如图，已知△ABC 与△ADE 相似，AE=25cm，EC=15cm，BC=35cm，∠BAC= 45︒ ,∠
C= 40︒ .
（1）求∠AED 和∠ADE 的大小;
（2）求 DE 的长.
【知识点：
相似图形的性质；数学思想：
数形结合】
答案：
见解析
解析：
解：
（1）因为△ABC∽△ADE,
所以由相似三角形对应角相等,得∠AED=∠C= 40︒ .
在△ADE 中, ∠ADE=180︒ － 40︒ － 45︒ = 95︒ .
（2）由相似三角形对应边成比例，得
AEDE25DE
ACBC25 +1535
25⨯35
25+15
探究型 多维突破
16
11.如图，矩形 A`B`C`D`在矩形 ABCD 内部. AB∥A`B`，AD∥A`D`，且 AD:
AB=3:
2,
设 AB 与 A`B`、BC 与 B`C`、CD 与 C`D`、DA 与 D`A`之间的距离分别为 6、4、m、n，
要使矩形 A`B`C`D`∽矩形 ABCD，m、n 应满足什么条件？
请说明理由.
A
B
A`
B`
D
D`
C` C
【知识点：
线段的比，相似多边形的特征，一元二次方程的应用，阅读理解；数
学思想：
数形结合】
答案：
见解析
解析：
解：
设 AB=2x，则 AD=3x，那么 A`D`=3x－6－m, A`B`=2x－4－n
∵矩形 A`B`C`D`∽矩形 ABCD，∴AD：
AB=A`D`：
A`B`=3：
2.
∴A`D`= 3 A`B`，∴3x－6－m= 3 （2x－4－n），∴ m3 n .
222
12.如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠A=90°,AB=14,AD=4,BC=6,试在腰 AB 上确定
点 P 的位置,使得以 P,A,D 为顶点的三角形与以 P,B,C 为顶点的三角形相似.
AD
P
BC
【知识点：
相似多边形的特征，一元二次方程的解法；数学思想：
数形结合，分
类讨论】
答案：
见解析
17
解析：
（1）若点 A，P，D 分别与点 B，C，P 对应，即△APD∽△BCP，
∴=，∴4AP ，∴AP2﹣14AP+24=0，∴AP=2 或 AP=12；
14 - AP6
（2）若点 A，P，D 分别与点 B，P，C 对应，即△APD∽△BPC．
∴=，∴AP= 4 ，∴AP= 28 ．
14 - AP65
因此，点 P 的位置有三处，即 AP 等于 2、 28 、12 处．
5
自助餐
1.下列说法：
①用放大镜看到奥运五环图标与原奥运五环图标是相似图形；②比
例尺不同的同一架飞机图形是相似图形；③放电影时胶片上的图象和它映射到屏
幕上的图象是相似图形；④用手机拍照，你拍的熊猫形象与原熊猫是相似的．其
中正确的是（）
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
【知识点：
图形的相似】
答案：
A
解析：
略
2.如图，四边形 ABCD∽四边形 EFGH，若 AB∶EF＝4∶3，则下列结论正确的是（）
A．4BC＝3FGB．3BC＝4FGC．3∠A＝4∠ED．4∠A＝3∠E
【知识点：
相似多边形】
18
答案：
B
解析：
略
3.下列线段能构成比例式的是（）
A．2cm,
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