胡不归问题模型.docx
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胡不归问题模型
胡不归问题模型及其应用
康题重规：
（来讀：
高邮市赞代学校独立壕习（6））
如圍1所示r抛物线y二M2-2x-2与x轴交于A、B两点,过B的■践交抛物线于E,HtanzEBA=4/3,有一只删12从A出发，先以1单位店的遠度爬到絃段BE上的点加.再以"5单位/啲速農沿看DEF6到E点处氐價,则男蚁从A到E的最短时间呈5-
套想昨决迟八所谓"走趣”.不得不提起T蓍名的、大名漏鼎的、古老的"胡不归”冋题.
一，模型购故!
HS§不归“问題）,下文来源于网培
有一则古老的历史故事：
说的是一t身在他乡的小伙子”彳骐父亲病危的消恵后便日夜赶路回家•然而（当他吒晞吁吁地来到父亲的面前时.老人爾刚咽气了•人怕告诉他,在弥留之际，老人在不断闻同地叨念：
“胡不归？
胡不归？
•“…”
旦期的科学赢曾为逗则古老传说中的小快子设想了一条路谨：
如團1-1所示，A星出发地,B星目的地；AC是一条驿逍「而^逍靠目的血的一01全是砂土地帯为了总切回家「小佚子选择了直线路程AB.但是，他怨略了在驿直上行走要比在秒土地帯行走快的这一因素•如果他胄施4寮合适的路线（尽管这条路践豪一些，但是速度却可以8除「是可以提前抵达家二的.
图1-1
那么，他应该降那条路坡呢？
显然,根据两种路面的状;兄和在鼻上行走的速度置,可以在A匸上选宦一点Dr小秋子从A走到D.然后从D#f4£Br可望最早到这目的地E
用现代的数学营言表达出来就是：
已知在驿逍和砂地上行走的速度分别为VI和V2.在AC上找一走百D、使从A至D,劳从D至B的行走时间S®.
于星•问题在于如何去找出D点.这个古老的"胡不归"问題风靡了一多年.一直到十七世纪中叶”才宙法国着名科学家墓尔马罔幵了它的面纱.
二.模型解决
第一步《设岀时冋仃将數学问錘字母化〉:
设总时间为t,则t=—&里％＞并，
%卩2
要求的就是I的最小值，这是一个系数不为1的最值问題，而且有两个系数均不为“第二步《拐収“大系数”,化为只有一个系数不为1的是值冋»）:
—般情况下，週到两个系数不为1的最值问題，百先更将其转化为里个系数不为1的員值问竝，这个转化还是比较好实现的，只需提取一个系数出来即可；
问题是，该提取哪个系数比较好呢？
一般情况下，提取数值比较大的那个系数：
董本
例来说P由知I的衰达式中两个系数丄＜丄，因而应该提取丄出来，即卩
%%叫
丄（冬•Q+D8）,注意这里V^V2均为常数，这杯要求i的最小值，只葵求
*2*1
AD-DB的最小值即可，从而问題核转化为单个系数不为1的最值问題;
第三步《构造三角的数，化为系数均为1的常規最值冋題〉：
如何求解冬・AD+DB
的最小值问趣呢？
还是要您办法处理不为1的系数，将系數都化力1.但衆问題来了，此时明显不能再用提取系数的办法了！
那咋办？
数学是门神奇的科学，只有你想不到，没耳她散不到的！
联想到初中阶段学到的锐角三角因数，可以构造一个直角三角形，将不为1的系数无形中化为1,这也罡解决所谓“胡不归"问題的核心与难点所在，具休襟作如下：
由冬＜1联想到三角国数值，如图1・2所示，过定点A在直线AC的下方构造锐甬Z
CAE=ou使其満足sina=—j
再过动点D作DG丄AE于点G则沁仔笔从而有2$如
其中sma=—
图1・2
戦.4嘶最小值吆就际转呢"的最W,变成了
一个系数均为1的常规最值问题;
需要特别提醒大家的是，这里的关键角CX是依托于哪些考虑作出来的呢？
注意到品原始的"胡不归"问题是一个"两走一动型"品值问题，只不过荼数不为1了而已；如图1-2，点A和点B是两个定点，点D是一个动点，且定点A与动点D在同一条定直线AC上;上面的角a其实就是依托于这里的定点A及定直线AC做出的，即过定点A作一条射线与定直线AC所交锐角为角a即可！
说到底就是"抓不变示”的解题策路，依托于定点A及定直线AC作角a,使其满足sina=V2/V1,即可顺利将所谓"胡不归""难题“转化为系数均为1的韋规昴值问题！
第四步（利用“垂线段最姮原理”，解以系数均为1的常奴杲值冋題〉：
注意到构造的AE乜定一条定射线，要求DG+DB的最小值问题，耳实就是在两定直线AC、AE±分别找点D、G,且DG丄AE,使QG+ZX5震小.
先利用“两点之间线段晟迈”易知DG+D32EG,当且仅当B、D、G三点共线时取爹号丿
如图1・3所示，再利用“垂线段最短”只需过点B作BG丄AE于点G,此时BG最小,则BG与AC的交点即为所要寻找的点D,
因而t=_L（冬・Q+DB）=丄（DG+DB）^—=—•肋・sin/B4G,其中匕片KvKK■
AB及乙BAG均为常值，故所求时间的最小值为丄・AB^n/BAG.
至此，"胡不归”模型得到完矣解决！
如果奄竜一息的父亲能够坚持^-ABsinZBAG这个时间，那么裁能够见他的儿
子杲后一面了！
三.原题解决
一'回到我们最初的考题上，设蚂蚊从点A到点E所爲的时间为t,如團-4,则
t=—+—=^D+—,要求的就是t的最小值，即AD^—的最小值；
11.2555
很明显，这就是一个曲型的“胡不归”问題，可按照上述解决模型的步曝逬行操作：
图1・4
第一步（构三角函数，化系数为1）：
由系数*V联想到三角函数值，如图】・5所示,
4
过定直线EB上的定点E在直线EB的上方构造锐角ZBEF=a,使茸满足sina=y；
4DG4
再过动点D作DG丄EF于点G＞则sina=—=,从而有DG=--DE}
…5DE5
这佯t=JD+—-AD^DG,转化为了常规的系数均为1的巖值问題；
第二步（寻新目特殊性，贡新调整阴形》：
但先不茎忙于计算，我们还藝敏锐地育识
第三步（利用“垂线段屋厢原理解次系数均为1的常規囂侑冋鬆）：
注童到构造的EF也是一条定射线，要求AD+X的最小值问题,其实就罡在两定直线EB、EF上分别找点D、G,且DG丄EF,使AD^DG最小.
先利用“两点之间线段最袒”易IDJD+DG^JG,当且仅当A、D、G三点共线时取羊号；
如團1・7所示，再利用“垂线段最短”只霧过点A作AG丄EF于点G,此时AG最小,则AG与EF的交点即为所賽寻找的点D;
因而t=-4D+-^-=AD+DG>AG,故所求时间t的最小值即为AG的长，即点E的纵坐标的值，下面求出点E的坐标即可；
图1-7第四步（求定点E的坐标）：
这里提供两种方法求点E的坐标；方法一（求交点坐标〉：
设直线£8与》$由交于点如團18所示，由題易知点B
4
的坐标为（3,0）,在RtAMOB中由tanZEBA=-M）0I=4,则点K坐标为（0,4〉；
3
由B（3,0）及I<0,4）可得直线EB的解析式为尸-jxMj
f4.
Iv=■一x+4•4
联立直线EB与抛物线的解析式得：
H3,Pnx2-2jr3=--x+4，即
[y=x2-2x~33
3宀2厂21=0,解之=^=3（舍去〉,故点E的坐标为）
339
方法二（设坐标法〉：
设点E的坐标为（I,r-2f-3）,过点E作EH丄x轴于点H,如團1・9所示，在RtAEHB中由tanZEBA=-可得—即（一3X/+l）=g,即
3BH33-r3
47764
—（r+1）=—,解得r=—故点E的坐标为（—9—）；
3339
因此，所求时间t=JD+—的最小值为兰.
59
此题播定，所谓的“难题”看来也不是太难啊，玩的都是“倉路”！
图1・9
解题后反思：
平时“套路”积累多了，真的遇到了所谓的"建路题"，同学们就能立于不败之地了!
这題也给我们的教学一定的启发性,即应该贡视模型敦学这一块！
有人说"成也模型.败也模型“，但我想说如舆貞的不讲模型或者说不先经历模型过程，真的鯛E出模型达到更高境界也是痴心妄想！
初中阶段学生还是应该申视模型的积累与应用过程，可以这样说，每一节新课，毎一道题目可能都能称之为一个模型！
其实名称都是回事，或者说叫某某模型也无所谓，之所以起名称，更主要的还是希盅学生能做到”顾名思义"之效，最终达到熟能生巧之目的！
【来龙】“
有一则历史故事说的是，一个身在他乡的小伙子得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。
然而，当他气喘吁吁地来到父亲面前时，老人刚刚咽气了。
人们告诉他，在弥留之际,老人还在不師楠的叨念：
“胡不归？
胡不归？
……U
早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线（见图1〉"罡出发地,E罡目的地，.4C罡一条驿道，而驿道畫目的地的一侧全是砂土地带。
为了急切回家，小伙子选择了直线路程加。
2
但是他忽^了在驿道上行走藝比在砂土地芾行走快的这一因素。
如果他能选择一条合适的跻线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快）,是可以提前抵达家门的。
A
那么这应该是哪条路线呢？
显然，根抿两种路面的状况和在其上面行走的速度值，可以在"上选定一点6小伙子从4走到6然后从D折往几可望最早到达3。
"
用现代的科学语言表达就是：
“已知在驿道不附地上行走的速度分别为n和V2,在"上求一个定点D使得的行走时间最短。
”于星冋題在于如何去找出D点。
A
【建模】“
起点/和终点B固定，在过无点的定直线上取一点6使得r=—+—的值最小，
viV2
可以转化为求DA—DB（0<-<1）s^-^DA-DB（0<-<1〉型的最值冋題*
mmmm
【解模】"
具体例子：
如图，一条笔直的公路/穿过草原，公路边有一消防站川，距高公路5千米的地方有一居民点B,A、B的直线距离罡13千米.一夭，居民点B看火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度罡80千米M时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过—小时可到达居民点£•〈友情提尘：
消防车可从公路的任意位赛进入草地行驶.）3
解析:
设消防车从公路上点D进入草地行驶。
冋题是农迴/»晋+欝诂（S+）
的最小值，问逸立即转化为求\da^db的最小值。
〜
接下来就是“套路”：
构造一条线段尊于^DAf并将新纟锻与线段DB“接起来”,在
初中数学中我们学习过三个“一半”定理：
矗直角三角形中30。
说角所对直角边尊于斜边
一半（助30。
・£门②三角形中位线平行第三边且羡壬第三边长的一半；③直角三角形斜
边上的中线等于斜边的一半。
它们是解决线段借分去系的利器。
我佃腮$汝30。
J来解
块任务：
在直线/的下方作ZC4M=30°,过点D作DE_UM于点M,则DM=-DAy
2
再往下来就太容易了。
2
冋越转为求折线段aew的累小值。
你会解决了吗？
宜拱上图算了。
由“垂絃段最短”的基本数学事实出发，可以、过点3作财丄如于点F,交VC于点0,则点P即为所求，此时DF丄
J2
由对页三角形显然有ZC3D：
・30。
逬而△C3D：
可解，求出CD：
和加沏长后，就能求出此题的最终答案了。
2
【归纳】“
胡不归问趣模型的解題方案：
2
S矽1:
将所求线段和$专换为巴（0<-<1）的形式（以上题为例〉J♦
mm
&即2:
在直线/的异于肋的一侧作厶，使其正弦值为亠卩m
阴3:
过点B问厶的月一边上引垂线段，其与直线/的交点即为所求―
s啊剩下的就是计S7,可以借助三角跚L相似形■勾股定理尊知识完成。
【用模】~
盍巨感受一下中考里面杲如何考查''胡不归问題”的。
4
例K如囲在MCE中，CAME,ZC4E=3O%00经过点C,且国的直径肋在线段血
（1）试说明CE是◎。
的切线—
⑵若ZUCE中・4£边上的高为力，试用含/:
的代数式表示O?
的宜径肿；a
⑶设点D是线段AC±任議一点（不含躺点〉,连接OD,当寺CZHQD的最小值为6时,
求0。
的直径肋的长•2
（2）过点C作CH1AB于连接0C,如團2,卩
由题可得CHM・在总△OHC中，CH=OC^stnZ.COH,：
.h=OCstn60^^-OCfW\A£
33
<3）作OF平分ZXOC,交00于尸，连接曲、CF、DF,如團3,a
则厶OF二乙COF丄厶OC丄（180°-60°>=60°.卩
22
•.•0A2F=0C,.•.△AOF、ACOF罡等边三角形，:
AF=AGOC=FC,
・•・四边形4OCF是菱形，.••根据对称•性可得"70.，
过，点D作DH丄0C于H,卩
'：
OA=OC,:
.Z.OC4=ZOAC^30°,：
・DH二匹泌乙DCH=DC•血30气DC,：
.LCD^OD二DH十FD•卍
2
根据两点之间线段最短可得：
卩
当F、D、H三点绘戋时，DH+FD（眾評X0D〉最小,〜此时FH=0F・sinZF0H^0F=6,则0"皿〉ABJOF二血.卩2
・・.当寺CZH0D的最小值为6时，O。
的直径•购的长为皿.卩
例2•如囹，在平面直甬坐标系中，二次国数尸衣扳+C的图象经过点/（"I,0）,5（0,-V3）>C（2,0）,其对称轴与x轴交于点》
⑴求二欠逐I数的衰达式及其顶点坐标；卩
鲁…••抛物缴?
析式为
C«"
•・>=¥"-爭-炉?
"-号）-睜，:
.顶点坐标（寺-竽■八•
（2）如图1中，连接肋，作DHIAB干H,交03于几此B寸最小.2理宙：
VO^=1,OB血,.••血厶刃0=也逅，/.Z-45O=30%7
0B3
.•.p气PB,・•.专PB^D=P*PI>=DH,"
•••此时£pb+pd最短（垂线段最短〉.4
2
在RIYADH中.VZAttD^,AD^,Z/£4D=60\亠
2
••$他卫1,•••»朋空3•••丄PBtPD的晶4、值
AD42
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