直线和圆的方程知识点.docx
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直线和圆的方程知识点
直线和圆的方程知识点
直线和圆--知识总结
'、直线的方程
L
a
0W：
V,
若l//x轴或与x轴重合时，
=00。
2、斜率：
k=tan=0：
=■-=0
已知
占
八\、
:
与'的关系:
（Xi,yi）
0VJV—二k0
2
x2,y2
:
=不存在
2
已知
方程
说明
4、直线方程的几种形式
几种特殊位置的直线
斜截式
K、b
Y=kx+b
不含y轴和行平于y轴的直线
占
八\、
斜式
Pi=（
xi,yi）
k
y-yi=k（x-xi）
不含y轴和平行于y轴的直线
两
占
八\、
式
Pl（Xl,yi）
P2（X2
y2）
y—yix—Xi
—yX2—Xi
不含坐标辆和平行于坐标轴的直线
截
距
式
a、b
x+y=1ab
不含坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线
般
Ax+by+c=0
A、B不
同时为0
①x轴：
y=0
②y轴：
x=0
③平行于x轴:
y=b
4平行于y轴：
x=a
5过原点：
y=kx
式
两个重要结论：
①平面内任何一条直线的方程都是关于x、y的二元一次方程。
②任何一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线。
5、直线系：
（1）共点直线系方程：
po（Xo,yo）为定值，k为参数y-yo=k（x-xo）
特别：
y=kx+b，表示过（0、b）的直线系（不含y轴）
（2）平行直线系：
①y=kx+b，k为定值，b为参数。
2AX+BY+入=0表示与Ax+By+C=0平行的直线系
3BX-AY+入=0表示与AX+BY+C垂直的直线系
（3）过Li,L2交点的直线系Aix+Biy+Ci+入（A2X+B2Y+C2）=0（不含L2）
6、三点共线的判定：
①ABBC=AC，②KAB=KBC，
③写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。
二、两直线的位置关系
1、
L1:
L1:
L1与L2组成
y=k1X+b1
A1X+B1Y+
的方程组
L2:
C1=0
y=k2x+b2
L2:
A2X+B2Y+
C2=0
平行
Ki=k2且bi
半b2
A1B1C1
—~r~
a2b2C2
无解
重合
—
Ki=k2且bi=b2
A1B1C1
A2B2C2
有无数多解
相交
Ki工k2
A1B1
——丰一
A2B2
有唯一解
垂直
Ki・k2=-1
AiA2+BiB2=0
（说明：
当直线平行于坐标轴时，要单独考虑）
4、点到直线距离:
|AXq+By。
中cd=_』
PA2+B2
（已知点（po（xo,yo），L:
2、Li到L2的角为0,则怡》占先（心」1）
AX+BY+C=0）
①两行平线间距离：
Li=AX+BY+C1=0L2:
AX+BY+C2=0二d=斗虫
护2+b2
②与AX+BY+C=0平行且距离为d的直线方程为
Ax+By+C±d...a2b2=o
③与AX+BY+C1=0和AX+BY+C2=0平行且距离相
AXBY
C1C2
2
=0
等的直线方程是
5、对称:
（1）点关于点对称:
p（xi,yi）关于M（Xo,yo）的对称P（2X。
-Xi,2Y。
_Yi）
（2）点关于线的对称：
设p（a、b）
对称轴
对称点p，
对称轴
对称点p^
X轴
p"（a、_b）
Y=-x
P（一b、一a）
Y轴
p\-a、b）
X=m（m丰
o）
p"（2m-a、b）
y=x
P\b、a）
y=n（nMo）
p"（a、2n-b）
一般方法：
如图：
（思路1）设P点关于L的对称点为Po（xo,yo）
则Kppo*Kl=—1
P,Po中点满足L方程解出Po（xo,yo）
（思路2）写出过P丄L的垂线方程,先求垂足，然后用中点坐标公式求出Po（xo,yo）的坐标。
Po
（3）直线关于点对称
L:
AX+BY+C=O关于点P（Xo、Yo）的对称直线i:
A
（2Xo-X）+B（2Yo-Y）+C=0
（4）直线关于直线对称
①几种特殊位置的对称：
已知曲线
关于x轴对称曲线是f（x、-y）=0是f（y、x）=0
关于y轴对称曲线是f（-x、y）=0
是f（-y、-x）=0
关于原点对称曲线是f（-x、-y）=0
是f（2a-x、y）=0
是f（x、2b-y）=0
f（x、y）=0
关于y=x对称曲线
关于y=-x对称曲线
关于x=a对称曲线
关于y=b对称曲线
亠般位置的对称、结合平几知识找出相关特征，逐步求
三、简单的线性规划
不等式表
示的区域
AX+BY+C=0
约束条件、线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划，可行解，最优解。
要点：
①作图必须准确（建议稍画大一点）。
②线性约束条件必须考虑完整。
③先找可行域再找最优解。
四、园的方程
1、园的方程：
①标准方程xd（y—b）訂2，C（a、b）为
园心，r为半径
HD2+E2-4Fr
2
当D2e2—4f=0时，表示一个点。
当D2E2—4「：
0时，不表示任何图形。
x=arco^s
，为参数
B（X2,丫2）为直径的两端点的园的方
2、点与园的位置关系：
考察点到园心距离d，然后与r
比较大小
3、直线和园的位置关系：
相交、相切、相离
判定：
①联立方程组，消去一个未知量，得到一个一元二次方程：
△>0=相交、△=0二相切、△<0二相离
②利用园心c（a、b）到直线AX+BY+C=0的距离d来确
疋：
dvr=相交、d=r-相切d>r-相离
（直线与园相交，注意半径、弦心距、半弦长所组成的
kt△）
4、园的切线：
（1）过园上一点的切线方程
与园x2y2=r2相切于点（XI、yi）的切线方程是XiXy』=r2
与园（x—a）2（y—b）2=r2相切于点（Xi、『1）的切成方程
为：
（Xi_a）（x_a）（yi_b）（y_b）=r2
与园x2y2+DX+EY+F=0相切于点（Xi、丫1）
的切线是
x+X"iy+y^i
x1xy1yD
（1）E（丄）F=0
22
（2）过园外一点切线方程的求法：
已知：
P0（X0,y°）是园（x-a）2（y-b）2二r2外一点
（xi-a）2（yi-b）2二r2...
①设切点是pi（xi、yi）解方程组
（xo-a）（x^-a）（yo-b）（yi-b）2=r2
先求出Pi的坐标，再写切线的方程
再由匕「=r，求出k，再写出方程
ylk+1
（当k值唯一时，应结合图形、考察是否有垂直于x轴的切线）
③已知斜率的切线方程：
设y=gb（b待定），利用园心到L距离为r，确定bo
5、园与园的位置关系
由园心距进行判断、相交、相离（外离、内含）、相切（外切、内切）
6、园系
1同心园系：
（x-a）2（y-b）2=r2,（a、b为常数，r为参数）
或：
x2y2DXEYF=0（D、E为常数，F为参数）
2园心在X轴：
（x-a）2y2=r2
3园心在y轴：
x2，（y-b）2=r2
4过原点的园系方程（x-a）2•（y-b）2=a2•b2
⑤过两园Ci：
X2+y2+DiX+EiY+Fi"和
C2：
x2y2D2XE2YF2=0的交点的园系方程为
x2y2D1X■E1YF,入（x2y2D2XE2YF^0（不含C2）,其中入为参数
若Ci与C2相交，则两方程相减所得一次方程就是公共弦所在直线方程。
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