奥数.docx

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奥数

第11讲年龄问题

（一）

日常生活中到处存在着数学，一些关于年龄的数学趣题，尤其使人迷恋。

大象对长颈鹿说：

“我现在的年龄，等于我像你那么大时你的年龄的2倍，而等你长到我这么大时，我俩的年龄之和是63岁。

”

你能根据大象的话，算出大象与长颈鹿的年龄吗？

小鲸鱼说：

“妈妈，我到您现在这么大时，您就31岁啦！

”鲸鱼妈妈说：

“我像你那么大年龄时，你只有1岁。

”

你能根据他们的对话，算出鲸鱼妈妈和小鲸鱼现在各是多少岁吗？

年龄问题生动有趣，又往往是和差、倍数等问题的综合，因此需要灵活地解决。

例1．妈妈今年43岁，女儿今年11岁，几年后妈妈的年龄是女儿的3倍？

几的前妈妈的年龄是女儿的5倍？

例2．今年，父亲的年龄是女儿的4倍，3年前，父亲和女儿年龄的和是49岁。

父亲、女儿今年各是多少岁？

例3．一家有三口人，三个人年龄之和是72岁，妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的4倍。

三人各是多少岁？

例4．王英5年前的年龄等于李明7年后的年龄，王英4年后与李明3年前的年龄和是35岁。

王英、李明二人今年各几岁？

例5．哥哥与弟弟两人3年后的年龄和是27岁。

弟弟今年的年龄等于两人的年龄差。

哥哥和弟弟今年各几岁？

练习现思考

1．小红今年14岁，爸爸41岁。

几年前爸爸的年龄是小红的4倍？

2．父亲今年38岁，儿子今年10岁。

几年之后，父亲的年龄是儿子的3倍？

3．父子两人的年龄和是64岁，儿子年龄的3倍比父亲多8岁。

父子两人的年龄各是多少岁？

4．爸爸比小刚大25岁，爸爸的年龄比小刚年龄的5倍少3岁。

爸爸多少岁？

5．小丽今年7岁，小丽妈妈今年35岁。

小丽多少岁时，妈妈的年龄是小丽的8倍？

6．4年前，妈妈的年龄是娟娟的4倍，娟娟今年12岁，今年妈妈的年龄是小丽的几倍？

7．爸爸今年35岁，妈妈今年31岁。

当爸爸和妈妈年龄之和等于98岁时，爸爸和妈妈各是多少岁？

8．哥哥5年前的年龄等于妹妹7年后的年龄，哥哥4年后与妹妹3年前年龄的和是35岁。

求哥哥、妹妹今年的年龄？

9．今年哥哥16岁，弟弟比哥哥小3岁，多少年后兄弟两年龄的和为45岁？

那时哥哥和弟弟各几岁？

10．甲的年龄比乙的年龄的3倍少4岁，甲7年前的年龄和乙9年后的年龄相等。

甲、乙现在各是多少岁？

第12讲年龄问题

（二）

例1．已知祖父和父亲、父亲和孙子年龄的差是一样的，又知祖父和孙子的年龄之和为84岁，这个岁数再加上孙子的年龄，正好是100岁。

问：

三人的年龄各是多少岁？

例2．祖孙三人的年龄加在一起正好是100岁，祖父过的年数正好等于孙子过的月数，儿子过的星期数正好等于孙子过的天数。

问：

三人的年龄各是多少岁？

例3．王叔叔对小明说：

“我15年前的岁数和你6年后的岁数相同。

7年前，我的年龄是你的年龄的8倍。

”小明今年多少岁？

王叔叔今年多少岁？

例4．小英一家由小英的她的父母组成。

小英的父亲比母亲大3岁。

今年全家年龄的总和是71岁，8年前这个家庭的年龄总和是49岁。

今年小英多少岁？

父亲多少岁？

母亲多少岁？

练习与思考

1．今年小明和妈妈的年龄和是42岁，6年前，妈妈的年龄是小明年龄的14倍。

小明和妈妈今年各多少岁？

2．李老师的年龄比小红年龄的2倍多8岁，李老师10年前的年龄和小红8年后的年龄相等。

小红今年几岁？

3．15年前父亲的年龄是儿子的7倍，10年后父亲的年龄是儿子的2倍。

父亲、儿子现在各多少岁？

4．大马年龄是小马年龄的4倍，再过20年大马的年龄比小马的2倍小14岁。

大马、小马现在各多少岁？

5．四个人年龄之和是77岁，最小的是10岁，最大的与最小的年龄之和比另外两人年龄之和大7岁。

最大的年

龄是多少岁？

6．4年前，母亲的年龄是芳芳的4倍，芳芳今年12岁了。

今年母亲的年龄是芳芳年龄的几倍？

7．哥哥对弟弟说：

“当我是你今年的岁数那一年，你刚刚3岁。

”弟弟对哥哥说：

“当我长到你今年的岁数时，你就是15岁了。

”哥哥、弟弟今年各多少岁？

第11讲等量代换

同学们都知道曹冲称象的故事吧。

曹冲让大象上船，看船被河水水面淹没到什么位置，然后刻上记号。

再把大象赶上岸，把这条船装上石块，当水面淹没到记号的位置时，就可以知道，船上的石块菜有多重，大象就有多重。

曹冲称象就是运用了“等量代换”的方法：

两个相等的量，可以互相代换。

解数学题，经常要用到这种思考方法。

例1．下面的四只天平都保持平衡。

想一想：

一个西瓜和几根香蕉的重量相等？

例2．已知一只狗重8千克，请你根据下图推出一只小猴和一只小兔共重多少千克。

例3．一头猪可以换3只羊，1只羊可以换2只狗，1只狗可以换4只兔子，1头猪可以换几只兔子？

例4．百货商店运来300双球鞋，分别装在2个木箱和6个纸箱里。

如果2个纸箱同1个木箱装的球鞋一样多，想一想；每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋？

例5.如右图，阴影部分BDFE是正方形，求长方形ACGH的周长。

练习与思考

1.○+○=△△+△+△=□□=（）个○

2．下面图中每只梨重500克，那么，1根香蕉比1个苹果轻多少千克？

3．已知1头猪=2只羊，1只羊=8只兔子。

1头猪=（）只兔子；

2头猪=（）只兔子；

3只羊=（）只兔子；

24只兔子=（）只羊；

32只兔子=（）头猪。

4．已知20只鸡可以换2条狗，6条狗可以换2头猪，10头猪可以换2头牛。

那么，5头牛可以换多少只鸡？

5．已知3个苹果和重量加上一个梨子的重量等于14个桔子的重量，6个桔子的重量加上1个苹果的重量等于1个梨子的重量。

问：

1个梨子的重量等于多少个桔子的重量？

6．已知1筐梨+2筐桔子=130千克；

2筐苹果+2筐桔子=160千克；

3筐梨+2筐苹果=310千克。

求1筐梨=（）千克；

1筐苹果=（）千克；

1筐桔子=（）千克。

7．买6千克荔枝和8千克桂圆，共付312元。

已知5千克荔枝的价钱等于2千克桂圆的价钱。

荔枝的单价是多少元？

桂圆的单价是多少元？

8．甲、乙二人共同生产一种零件，甲生产了8小时，乙生产了6小时，一共生产了312个零件。

已知乙5小时的工作量等于甲2小时的工作量。

甲生产了多少个零件？

乙生产了多少个零件？

9．甲、乙两数之差是180，如果将乙数的小数眯向右移动一位就与甲数相等。

甲、乙两数各是多少？

10．如右图，阴影部分是正方形，求长方形ABCD的周长。

 第22讲还原问题

（一）

　　有一位老人说：

“把我的年龄加上12，再用4除，再减去15后乘以10，恰好是100岁。

”这位老人有多少岁呢？

解这个题目要从所叙述的最后结果出发，利用已给条件一步步倒着推算，同学们不难看出，这位老人的年龄是

（100÷10＋15）×4—12＝88（岁）。

从这一例子可以看出，对于有些问题，当顺着题目条件的叙述去寻找解法时，往往有一定的困难，但是，如果改变思考顺序，从问题叙述的最后结果出发，一步一步倒着思考，一步一步往回算，原来加的用减，减的用加，原来乘的用除，除的用乘，那么问题便容易解决。

这种解题方法叫做还原法或逆推法，用还原法解题的问题叫做还原问题。

例1有一个数，把它乘以4以后减去46，再把所得的差除以3，然后减去10，最后得4。

问：

这个数是几？

　　分析：

这个问题是由

（□×4—46）÷3—10＝4，

　　求出□。

我们倒着看，如果除以3以后不减去10，那么商应该是4＋10＝14；如果在减去46以后不除以3，那么差该是14×3＝42；可知这个数乘以4后的积为42＋46＝88，因此这个数是88÷4=22。

解：

［（4＋10）×3＋46］÷4＝22。

　　答：

这个数是22。

例2小马虎在做一道加法题目时，把个位上的5看成了9，把十位上的8看成了3，结果得到的“和”是123。

问：

正确的结果应是多少？

　　分析：

利用还原法。

因为把个位上的5看成9，所以多加了4；又因为把十位上的8看成3，所以少加了50。

在用还原法做题时，多加了的4应减去，多减了的50应加上。

解：

123-4＋50＝169。

　　答：

正确的结果应是169。

例3学校运来36棵树苗，乐乐与欢欢两人争着去栽，乐乐先拿了若干树苗，欢欢看到乐乐拿得太多，就抢了10棵，乐乐不肯，又从欢欢那里抢回来6棵，这时乐乐拿的棵数是欢欢的2倍。

问：

最初乐乐拿了多少棵树苗？

　　分析：

先求乐乐与欢欢现在各拿了多少棵树苗。

学校共有树苗36棵，乐乐拿的树苗数是欢欢的2倍，所以欢欢现在拿了36÷（2＋1）=12（棵）树苗，而乐乐现在拿了12×2＝24（棵）树苗，乐乐从欢欢那里抢走了6棵后是24棵，如果不抢，那么乐乐有树苗24-6＝18（棵），欢欢看乐乐拿得太多，去抢了10棵，如果欢欢不抢，那么乐乐就有18＋10＝28（棵）。

解：

36÷5（1＋2）×2-6＋10=28（棵）。

　　答：

乐乐最初拿了28棵树苗。

例4甲、乙、丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组拥有相等数目的图书。

问：

甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？

分析与解：

尽管甲、乙、丙三个组之间将图书借来借去，但图书的总数90本没有变，由最后三个组拥有相同数目的图书知道，每个组都有图书90÷3＝30（本）。

根据题目条件，原来各组的图书为

　　甲组有30＋3＝33（本），

　　乙组有30—3＋5＝32（本），

　　丙组有30—5＝25（本）。

店时，我还有4元钱。

问：

进A商店时我身上有多少钱？

　　=18（元）

　　答：

进A商店时我身上有18元。

例6一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米？

　　分析：

由逆推法知，第二次用完还剩下15＋7=22（米），第一次用完还剩下（22—10）×2＝24（米），原来电线长（24＋3）×2＝54（米）。

解：

［（15＋7—10）×2＋3］×2＝54（米）。

　　答：

这捆电线原有54米。

 练习22

　　1.某数加上11，减去12，乘以13，除以14，其结果等于26，这个数是多少？

　　2.某数加上6，乘以6，减去6，其结果等于36，求这个数。

　　3.在125×□÷3×8—1=1999中，□内应填入什么数？

　　4.小乐爷爷今年的年龄数减去15后，除以4，再减去6之后，乘以10，恰好是100。

问：

小乐爷爷今年多少岁？

　　5.粮库内有一批面粉，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半少7吨，还剩4吨。

问：

粮库里原有面粉多少吨？

　　6.有一筐梨，甲取一半又一个，乙取余下的一半又一个，丙再取余下的一半又一个，这时筐里只剩下一个梨。

这筐梨共值8.80元，那么每个梨值多少钱？

　　桔子。

问：

树上原来有桔子多少个？

8.某人去银行取款，第1次取了存款的一半还多5元，第二次取了余下的一半还多10元，这时存折上还剩125元。

问：

此人原有存款多少元？

第23讲还原问题

（二）

上一讲我们讲了还原问题的基本思想和解法，下面再讲一些较复杂的还原问题和列表逆推法。

例1有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚。

问：

原来至少有多少枚棋子？

分析与解：

棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为1枚。

由此逆推，得到

　　第三次分之前有1×4＋1＝5（枚），

　　第二次分之前有5×1＋1＝21（枚），

　　第一次分之前有21×4＋1＝85（枚）。

　　所以原来至少有85枚棋子。

例2袋里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共操作了5次，袋中还有3个球。

问：

袋中原有多少个球？

分析与解：

利用逆推法从第5次操作后向前逆推。

第5次操作后有3个，第4次操作后有（3—1）×2＝4（个），第3次……为了简洁清楚，可以列表逆推如下：

所以原来袋中有34个球。

例3三堆苹果共48个。

先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的苹果并入第二堆；再从第二堆中拿出与第三堆个数相等的苹果并入第三堆；最后又从第三堆中拿出与这时第一堆个数相等的苹果并入第一堆。

这时，三堆苹果数恰好相等。

问：

三堆苹果原来各有多少个？

分析与解：

由题意知，最后每堆苹果都是48÷3＝16（个），由此向前逆推如下表：

　　原来第一、二、三堆依次有22，14，12个苹果。

　　逆推时注意，每次变化中，有一堆未动；有一堆增加了一倍，逆推时应除以2；另一堆减少了增加一倍那堆增加的数，逆推时应使用加法。

例4有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克。

先将甲桶油倒入乙、丙两桶，使它们各增加原有油的一倍；再将乙桶油倒入丙、甲两桶，使它们的油各增加一倍；最后按同样的规律将丙桶油倒入甲、乙两桶。

这时，各桶油都是16千克。

问：

各桶原有油多少千克？

分析与解：

与例3类似，列表逆推如下：

　　原来甲、乙、丙桶分别有油26，14，8千克。

　　逆推时注意，每次变化时，有两桶各增加了一倍，逆推时应分别除以2；另一桶减少了上述两桶增加的数，逆推时应使用加法。

例5兄弟三人分24个桔子，每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数。

如果老三先把所得的桔子的一半平分给老大与老二，接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三，这时每人的桔子数恰好相同。

问：

兄弟三人的年龄各多少岁？

分析与解：

由于总共有24个桔子，最后三人所得到的桔子数相等，因此每人最后都有24÷3＝8（个）桔子。

由此列表逆推如下表：

　　由上表看出，老大、老二、老三原来分别有桔子13，7，4个，现在的年龄依次为16，10，7岁。

　　逆推时注意，拿出桔子的人其桔子数减少了一半，逆推时应乘以2；另两人各增加拿出桔子的人拿出桔子数的一半，逆推时应减去拿出桔子数的一半。

 练习23

　　1.有一堆桃，第一只猴拿走其中的一半加半个，第二只猴又拿走剩下的一半加半个，第三、四、五只猴照此方式办理，最后还剩下一个桃。

问：

原来有多少个桃？

　　问：

这堆西瓜原来有多少个？

　　3.甲、乙两粮库各有大米若干吨，先是甲库运出一半给乙库，然后乙库

　　525吨，乙库有大米775吨。

问：

最初甲、乙两库各有大米多少吨？

　　4.书架有上、中、下三层，一共放了192本书。

先从上层取出与中层同样多的书放到中层，再从中层取出与下层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层现有的同样多的书放到上层，这时三层的书刚好相等。

问：

这个书架上、中、下三层原来各有多少本书？

　　5.甲、乙、丙三人各有若干元钱，甲拿出一半平分给乙、丙，乙又拿出现有的一半平分给甲、丙，最后丙又拿出现有的一半平分给甲、乙。

这时他们各有240元。

问：

甲、乙、丙三人原来各有多少钱？

水。

问：

三个桶中原来各有多少升水？