初二小班第七讲图形与坐标.docx

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初二小班第七讲图形与坐标

第七讲图形与坐标

教学目标

1.利用有序数对表示平面上点的位置；

2.直角坐标系的概念和直角坐标系的建立；

3.根据已知点写出坐标、根据点的坐标写出点的位置；

4.在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化；

5.灵活运用不同的方式确定物体的位置。

教学重点及相应策略

平面直角坐标系中点的四性和平面直角坐标系内的图形变换

教学难点及相应策略

掌握点在图形变换中的规律，根据规律确定点的位置

教学方法建议

讲练结合，引导学生归纳总结

选材程度及数量

课堂精讲例题

搭配课堂训练题

课后作业

A类

（4）道

（4）道

（6）道

B类

（5）道

（4）道

（6）道

C类

（2）道

（1）道

（2）道

一、知识梳理/提炼

本周我们所学的知识主要是平面直角坐标系，其中有以下主要知识点（需熟记）

1、点的坐标

在坐标系中已知点标出它的坐标：

过点分别作x轴与y轴的垂线，在x轴上的垂足所表示的数即是点的横坐标，在y轴上的垂足所表示的数即是纵坐标，坐标需写成（x,y），（横坐标在前，纵坐标在后）。

已知点的坐标在坐标系中描出点。

分别在x轴与y轴上找到表示横坐标与纵坐标的点，过这两点分别作x轴y轴的垂线，两线的交点即是所求的点。

2、不同位置下点的坐标特征

a、象限点：

第一象限点（+，+），第二象限点（-，+）第三象限点（-，-）第四象限点（+，-）

b、坐标轴上的点：

x轴上点（x,0）,y轴上点（0，y）

注：

坐标轴上的点不属于任何象限

3、点到坐标轴的距离

点到x轴的距离=纵坐标的绝对值，点到y轴的距离=横坐标的绝对值。

即A（x,y）,到x轴的距离=|y|,到y轴的距离=|x|

对称两点的坐标特征：

1、关于x轴对称两点：

横坐标相同，纵坐标互为相反数。

2、关于y轴对称两点：

横坐标互为相反数，纵坐标相同。

3、关于原点对称两点：

横、纵坐标均互为相反数。

四、同一水平线（平行于x轴的直线）、铅直线（平行于y轴的直线）上点的坐标特征

1、同一水平线（平行于x轴的直线）上的点：

纵坐标相同，

2、同一铅直线（平行于y轴的直线）上的点：

横坐标相同。

即若A（a,b）,B（a,c）则点A、B在同一水平线（平行于x轴的直线）上，若M（a,b）,N（c,b）,则点M、N在同一沿直线（平行于y轴的直线）上。

五、水平线段（在水平线上的线段）与铅直线段（在沿直线上的线段）的长度：

水平线段长度=两端点横坐标之差的绝对值，

铅直线段长度=两端点纵坐标之差的绝对值。

六、用坐标表示平移：

1、点的平移规则：

平移a个单位长度：

向左平移→横坐标减a,向右平移→横坐标+a,向上平移→纵坐标+a,向下平移→纵坐标-a,反之亦然。

2、图形的整体平移：

找到所有关键点（如多边形的顶点，线段的端点等）进行平移。

二、课堂精讲例题

例题1

题目：

如图所示的象棋盘上，若”帅”位于点（1，-3）上，“相”位于点（3，-3）上，则”炮”位于点（　　）

A、（-1，1）B、（-1，2）

C、（-2，0）D、（-2，2）

难度分级：

A类

-试题来源：

新课标数学提高班

-选题意图（对应知识点）：

坐标确定位置．

-解题思路：

先根据图分析得到“炮”与已知坐标的棋子之间的平移关系，然后直接平移已知点的坐标可得到所求的点的坐标．即可用“帅”做参照，也可用“相”做参照．若用“帅”则其平移规律为：

向左平移3个单位，再向上平移2个单位到“炮”的位置．

-解法与答案：

-解：

由图可知：

“炮”的位置可由“帅”的位置向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到，所以直接把点（1，-3）向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到点（-2，0），即为“炮”的位置．

-故选C．

搭配课堂训练题

题目：

以下是甲、乙、丙三人看地图时对四个地标的描述：

甲：

从学校向北直走500公尺，再向东直走100公尺可到图书馆．

乙：

从学校向西直走300公尺，再向北直走200公尺可到邮局．

丙：

邮局在火车站西方200公尺处．

根据三人的描述，若从图书馆出发，判断下列哪一种走法，其终点是火车站（　　）

A、

向南直走300公尺，再向西直走200公尺

B、向南直走300公尺，再向西直走600公尺

C、向南直走700公尺，再向西直走200公尺

D、向南直走700公尺，再向西直走600公尺

解析：

根据甲，乙，丙的描述可画出图，O代表学校，A代表图书馆，B代表邮局，C代表火车站；由图可知四个选项中只有A符合条件．

答案：

A

例题2

题目：

已知点M（3a-9，1-a）在第三象限，且它的坐标是整数，则a等于（　　）

A、1B、2C、3D、0

难度分级：

A类

-试题来源：

2009年中考试题汇编

-选题意图（对应知识点）：

点的坐标；一元一次不等式组的整数解．

-解题思路：

在第三象限内，那么横坐标小于0，纵坐标小于0．而后求出整数解即可．

-解法与答案：

-解：

∵点M在第三象限．

-∴

-解得1＜a＜3，

-因为点M的坐标为整数，所以a=2．

-故选B．

-主要考查了平面直角坐标系中第三象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：

第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．

搭配课堂训练题

题目：

在平面直角坐标系中，有一点P（a，b），若ab=0，则点P的位置在（　　）

A、原点B、横轴上C、纵轴上D、坐标轴上

解析：

根据坐标轴上的点的特征：

至少一个坐标为0解答．

答案：

选D

例题3

题目：

已知A（a，-21），B（-13，b），且A，B两点所在直线平行于x轴．则a≠，b=．

-难度分级：

A类

-试题来源：

尖子生培优

-选题意图（对应知识点）：

考查了直线平行于x轴的上两不同点的特点是：

纵坐标相等，横坐标不相等．

-解题思路：

根据直线平行于x轴的特点解答．

-解法与答案：

-解：

∵A（a，-21），B（-13，b），且A，B两点所在直线平行于x轴，

-∴a≠-13，b=-21．

搭配课堂训练题

题目：

长方形ABCD两组对边分别平行于坐标轴，若点A（3.2,1.9）,点C（-4,-2），则点B坐标为，点D坐标为

答案：

点B坐标为（-4，1.9）,点D坐标为（3.2,-2）。

例题4

题目：

已知点P（x，y），则求①关于y轴的对称点；②关于x轴的对称点；③关于原点的对称点；④关于直线y=x的对称点；⑤关于直线y=-x的对称点．

难度分级：

A类

-试题来源：

2010年中考试题汇编

-选题意图（对应知识点）：

点的对称问题

-解题思路：

-①根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，由P的坐标可得答案；

-②根据关于x轴对称的点的纵坐标互为相反数，横坐标不变，根据题意，由P的坐标可得答案；

-③根据关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数，由P的坐标可得答案；

-④根据关于直线y=x对称的点的横坐标、纵坐标的特点，根据题意，由P的坐标可得答案；

-⑤根据关于直线y=-x对称的点的横坐标、纵坐标的特点，根据题意，由P的坐标可得答案；

-解法与答案：

-解：

①答案为（-x，y）；

-②答案为（x，-y）；

-③答案为（-x，-y）；

-④答案为（y，x）；

-⑤答案为（-y，-x）．

搭配课堂训练题

题目：

将平面直角坐标系内的△ABC的三个顶点坐标的横坐标乘以-1，纵坐标不变，则所得的三角形与原三角形（　　）

A、关于x轴对称B、关于y轴对称C、关于原点对称D、无任何对称关系

解析：

“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”，可知所得的三角形与原三角形关于y轴对称．

答案：

选B

例题5

题目：

在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（　　）

A、4个B、5个C、6个D、8个

难度分级：

B类

-试题来源：

尖子生培优教材

-选题意图（对应知识点）：

坐标与图形性质；勾股定理的逆定理．

-解题思路：

当∠A=90°时，满足条件的C点2个；当∠B=90°时，满足条件的C点2个；当∠C=90°时，满足条件的C点2个．所以共有6个．

-解法与答案：

解：

∵点A，B的纵坐标相等，

∴AB∥x轴，点C到距离AB为5，并且在平行于AB的两条直线上．

∴满足条件的C点有：

（1，6），（6，6），（11，6），（1，-4），（6，-4），（11，-4）

故选C．

搭配课堂训练题

题目：

在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（50，0），B（50，50），C（0，50）．若正方形OABC的内部（边界及顶点除外）一格点P（“格点”是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点）满足S△POA•S△PBC=S△PAB•S△POC，就称P为“好点”．

（1）请你判断：

P（20，15）是“好点”吗？

（2）求出正方形OABC内部“好点”的个数．

解析：

（1）利用三角形的面积公式把点P（20，15）代入好点的条件，如果满足，则点P是“好点”，如果不满足，则点P不是“好点”；

（2）设点P的坐标为（x，y），把点P的坐标代入好点条件，求出x与y的关系式，然后根据关系式找出在正方形内的点的坐标的个数，就是“好点”的个数．

答案：

（1）P（20，15）不是“好点”．

（2）满足条件的“好点”共有2×49-1=97（个）．

例题6

题目：

如图，△DEF是△ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：

（1）分别写出点A与点D，点B与点E，点C与点F的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；

（2）若点P（a+3，4-b）与点Q（2a，2b-3）也是通过上述变换得到的对应点，求a、b的值．

-难度分级：

B类

-试题来源：

2008年中考试题汇编

-选题意图（对应知识点）：

坐标与图形变化-旋转

-解题思路：

-

（1）根据点的位置，直接写出点的坐标；

-

（2）根据

（1）中发现的规律，两点的横坐标、纵坐标都互为相反数，即横坐标的和为0，纵坐标的和为0，列方程，求a、b的值．

-解法与答案：

-解：

（1）由图象可知，点A（2，3），点D（-2，-3），点B（1，2），点E（-1，-2），点C（3，1），点F（-3，-1）；

-对应点的坐标特征为：

横坐标、纵坐标都互为相反数；

-

（2）由

（1）可知，a+3+2a=0，4-b+2b-3=0，解得a=-1，b=-1．

搭配课堂训练题

题目：

如图，在平面直角坐标系中，有一直角△ABC，且A（0，5），B（-5，2），C（0，2），并已知△AA1C1是由△ABC经过旋转变换得到的．

（1）问由△ABC旋转得到的△AA1C1的旋转角的度数是多少？

并写出旋转中心的坐标；

（2）请你画出仍以

（1）中的旋转中心为旋转中心，将△AA1C1、△ABC分别按顺时针、逆时针各旋转90°的两个三角形，并写出变换后与A1相对应点A2的坐标；

（3）利用变换前后所形成图案证明勾股定理（设△ABC两直角边为a、b，斜边为c）．

解析：

（1）图象的旋转可以利用某点的旋转来找到旋转的角度和旋转中心；

（2）在解决题中第2问时，还需认真分析、观察旋转前后图案的特征，并利用其面积关系来验证勾股定理．

（3）利用正方形的面积的不同计算方法进行验证勾股定理．

答案：

解：

（1）旋转角为90°，中心坐标为（-1，1）；

（2）如图，点A1对应点A2的坐标为（-2，-3）；

（3）证明：

正方形AA1A2B面积c2，正方形C1C2C3C的面积（b-a）2，

设AC=b，BC=a，

则c2-（b-a）2=4×12ba

c2-b2+2ab-a2=2ba

∴c2=b2+a2

例题7

题目：

已知三角形三个顶点坐标，求三角形面积通常有三种方法：

方法一：

直接法．计算三角形一边的长，并求出该边上的高．

方法二：

补形法．将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差．

方法三：

分割法．选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算面积的三角形．

现给出三点坐标：

A（2，-1），B（4，3），C（1，2），请你选择一种方法计算△ABC的面积．

-难度分级：

B类

-试题来源：

2010年中考试题汇编

-选题意图（对应知识点）：

三角形的面积；坐标与图形性质．

-解题思路：

本题宜用补形法．过点A作x轴的平行线，过点C作y轴的平行线，两条平行线交于点E，过点B分别作x轴、y轴的平行线，分别交EC的延长线于点D，交EA的延长线于点F，然后根据S△ABC=S矩形BDEF-S△BDC-S△CEA-S△BFA即可求出△ABC的面积．

-解法与答案：

-

解：

本题宜用补形法．

-如图，过点A作x轴的平行线，过点C作y轴的平行线，两条平行线交于点E，过点B分别作x轴、y轴的平行线，分别交EC的延长线于点D，交EA的延长线于点F，

-∵A（2，-1），B（4，3），C（1，2），

-∴S△ABC=S矩形BDEF-S△BDC-S△CEA-S△BFA

-=BD•DE-

DC•DB-

CE•AE-

AF•BF，

-=12-1.5-1.5-4

-=5．

-（本题也可先由勾股定理的逆定理，判别出△ABC为直角三角形，再求面积）．

搭配课堂训练题

题目：

用分割法计算出例题7的面积

解析：

在用分割法计算S△ABC的面积时，要用到一次函数的图像的相关知识点

答案：

S△ABC=5

例题8

题目：

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，C点的坐标是（4，0）．

（1）写出A，B两点的坐标；

（2）若E是线段BC上一点，且∠AEB=60°，沿AE折叠正方形ABCO，折叠后B点落在平面内F点处．请画出F点并求出它的坐标．

-难度分级：

B类

-试题来源：

2010年中考试题汇编

-选题意图（对应知识点）：

坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．

-解题思路：

-

（1）题较简单，根据正方形的性质写出即可．

-

（2）题中，首先是个作图题，由于翻折前后的三角形全等，那么可分别以A、E为圆心，AE、BE长为半径作弧，两弧的交点即为F点；求F点的坐标需要作出F点到两坐标轴的距离，然后根据给出的已知条件∠AEB=60°解直角三角形便可求出F点的坐标了．

-解法与答案：

-解：

（1）由于四边形ABCO是正方形，且C（4，0）；

故A（0，4），B（4，4）．

（2）以AE为对称轴作B点的对称点F，则点F即为所求的点；

连接AF，EF，过F作FM⊥x轴于M，FH⊥y轴于H．

在Rt△AHF中，AF=AB=4，∠HAF=30°，

故HF=4×

=2，

AH=4×

2=

，

∴OH=OA-AH=

，

∴F（2，

）．

搭配课堂训练题

题目：

在平面直角坐标系中，将正方形OABC按如图折叠，若A（8，0），∠AOP=15°，则A1的坐标为．

解析：

过A1点作A1E⊥OA，根据翻折变换，OA1=OA，在Rt△OEA1中，解得A1的坐标．

答案：

A1的坐标为（

，4）．

例题9

题目：

如图，已知A1（1，0），A2（1，-1），A3（-1，-1），A4（-1，1），A5（2，1），…，则点A2010的坐标是．

-难度分级：

B类

-试题来源：

2010年中考试题汇编

-选题意图（对应知识点）：

点的坐标;轴对称变换；找规律

-解题思路：

经过观察可得在第一象限的在格点的正方形的对角线上的点的横坐标依次加1，纵坐标依次加1，在第二象限的点的横坐标依次加-1，纵坐标依次加1；在第三象限的点的横坐标依次加-1，纵坐标依次加-1，；在第四象限的点的横坐标依次加1，纵坐标依次加-1，第二，三，四象限的点的横纵坐标的绝对值都相等，并且第三，四象限的横坐标等于相邻4的整数倍的各点除以4再加上1．

-解法与答案：

-解：

易得4的整数倍的各点如A4，A8，A12等点在第二象限，

-∵2010÷4=502…2；

-∴A2010的坐标在第四象限，

-横坐标为（2010-2）÷4+1=503；纵坐标为503，

-∴点A2010的坐标是（503，-503）．

-故答案为：

（503，-503）．

搭配课堂训练题

题目：

如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2010次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2010的位置，则点P2010的坐标为．

解析：

做题首先要知道经过连续翻转2010次后P点的位置，然后求出此点坐标，在求点P的坐标时，要用到等边三角形和直角三角形的相关知识点。

答案：

P2010（

，

）．

例题10

题目：

如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．

（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（-2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：

B′

、C′；

（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：

坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（不必证明）；

（3）已知两点M（3，-2）、N（-1，-4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到M、N两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．

-难度分级：

C类

-试题来源：

2011年中考试题汇编

-选题意图（对应知识点）：

坐标与图形变化-对称；轴对称-最短路线问题．

-解题思路：

-

（1）作C（-2，5）关于直线l的对称点C′，C′（5，-2）；

-

（2）观察以上三组点的坐标，你会发现坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（b，a）；

-（3）点N关于直线l的对称点N′的坐标为（-4，-1），可求出点M、点N′的直线解析式为

．点Q是直线

与直线l：

y=x的交点，解方程组：

即可得到点Q的坐标．

-解法与答案：

-解：

（1）如图：

B′（3，5），C′（5，-2），

-

（2）结合图形观察以上三组点的坐标可知坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（b，a）．

-（3）直线l的解析式为y=x

-作点N关于l的对称点N′（-4，-1），设直线MN′的解析式为y=kx+b

-则

解得

∴

-

-解方程组

-

-得x=y=

-∴直线l上的点Q（

，

）符合条件．

搭配课堂训练题

题目：

如图，在平面直角坐标系中，直线l是第二、四象限的角平分线．

（1）实验与探究：

由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（-2，0），请在图中分别标明B（-1，5）、C（3，2）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：

B′、C′；

（2）归纳与发现：

结合图观察以上三组点的坐标，你会发现坐标平面内任一点P（a，b）关于第二、四象限的角平分线l的对称点P'的坐标为（不必证明）；

（3）运用与拓展：

已知两点D（-1，-3）、E（2，-4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出点Q的坐标．

解析：

（1）分别作B（-1，5）、C（3，2）关于直线l的对称点B′，C′，B′（-5，1）、C′（-2，-3）；

（2）观察以上三组点的坐标，你会发现坐标平面内任一点P（a，b）关于第二、四象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（-b，-a）；

（3）点D关于直线l的对称点D'的坐标为（3，1），可求出点E、点D′的直线解析式为y=5x-14．点Q是直线y=5x-14与直线l：

y=-x的交点，解方程组：

即可得到点Q的坐标．

答案：

（1）B′（-5，1）、C′（-2，-3）；

（2）

（2）P（-b，-a）；

（3）点Q的坐标为（7/3，-7/3）

例题11

题目：

在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图）．

（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；

（3）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？

请证明你的结论．

-难度分级：

C类

-试题来源：

2010年中考试题汇编

-选题意图（对应知识点）：

坐标与图形变化-旋转；全等三角形的判定；正方形的性质；扇形面积的计算．

-解题思路：

-

（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；

-

（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数；

-（3）利用全等把△MBN的各边整理到与正方形的边长有关的式子．

-解法与答案：

-解：

（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，

-∴OA旋转了45°．

-∴OA在旋转过程中所扫过的面积为半径为2的圆的面积的1/8.扫过的面积为π/2．

-

（2）∵MN∥AC，

-∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．

-∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．

-又∵BA=BC，∴AM=CN．

-又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN．

-∴∠AOM=∠CON．∴∠AOM=

（90°-45°）=22.5°．

-∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．

-

（3）证明：

延长BA交y轴于E点，则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，

-∴∠AOE=∠CON．

-又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．

-∴△OAE≌△OCN．

-∴OE=ON，AE=CN．

-又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，

-∴△OME≌△OMN．∴MN=ME=AM+AE．

-∴MN=AM+CN，

-∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．

-∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．

搭配课堂训练题

题目：

已知：

如图，在平面直角坐标xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC=AC，∠C=120°．

（1）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；

（2）如图

（2），现有∠MCN=60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？

若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．

解析：

全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；直角三角形的性质；图形与坐标的变换------旋转变换．