多边形的内角和教案.docx

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多边形的内角和教案

22.1多边形的内角和

教学目标：

1．知道多边形的定义及其边、顶点、对角线等概念，会判断一个多边形是否是凸多边形．

2.经历探索多边形内角和定理的过程，掌握多边形内角和定理，会运用定理进行有关计算．

3.初步感受化归、类比、从特殊到一般等数学思想，发展合情推理意识，提高主动探索能力．

教学重点：

多边形内角和定理的探索、归纳及运用定理进行简单计算．

教学难点：

通过动手实践、观察分析、探索并归纳多边形内角和定理．

【教学过程】复习引入：

师：

同学们三角形是我们极为熟悉的图形，请问三角形的定义是什么？

生：

平面内由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做三角形．

二、新授：

师：

这是几边形？

师：

我们能否参照三角形的定义，尝试给多边形下个定义？

生：

平面内由不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形．

师：

一些线段至少有几条呢？

生：

三条．

师：

三角形是最简单的多边形．由n条线段组成的多边形就称为n边形．如由四条线段组成的多边形就称为四边形，由五条线段组成的多边形就称为五边形．

生活举例（展示生活中含多边形的图片）

师：

可见在我们生活中多边形无处不在．

凸多边形与凹多边形：

对于一个多边形画出它任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做凸多边形，否则叫做凹多边形．

4．师：

三角形的内角和是几度？

生：

180°．

师：

那么四边形、五边形、n边形的内角和呢？

（连问不答）

今天这节课，我们就来研究多边形的内角和．（板书课题）

多边形中的有关概念：

概念1：

多边形的边：

组成多边形的每一条线段叫做多边形的边．

概念2：

多边形的顶点：

相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点．

概念3：

多边形的内角：

多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角．

概念4：

多边形的对角线：

联结多边形的两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线．

师：

三角形有对角线吗？

四边形的对角线共有几条？

五边形的对角线共有几条？

师：

五边形中，从一个顶点出发有几条对角线？

（如果学生答对，则问是如何考虑的）

师：

这些对角线把五边形分割成了几个三角形？

师：

那么六边形、七边形……n边形从一个顶点出发共有几条对角线呢？

三、探究定理：

师：

接下来我们来探究一下多边形的内角和是多少，请大家独立完成下表。

学生探究：

填写表格：

多边形内角和定理：

n边形的内角和等于

（板书）

师：

刚才我们采用的是从n边形的一个顶点出发画出所有的对角线，把这个n边形分割成（n-2）个三角形，然后利用三角形的内角和定理得到n边形的内角和，请问你还有其它分割方法得到n边形的内角和吗？

请以五边形为例，想想其他的分割方法。

生：

（利用附录中的图，小组共同研究）

展示探究成果，交流分割方案．

定理说明：

多边形的边数减去2，然后再乘以180°，就可以得到多边形的内角和了。

四、例题与练习：

例1：

求十二边形内角和.（板书）

例2：

已知一个多边形的内角和为2160°，求这个多边形的边数．

练习1：

1）六边形的内角和为度2）求十边形的内角和．

练习2：

已知一个多边形的内角和为1260°，求这个多边形的边数．

练习3：

求图中x的值：

练习4：

几边形的内角和是六边形内角和的2倍？

例3：

如果一个多边形的边数增加1，那么它的内角和将增加几度．

五、小结：

一个定理（多边形内角和定理）；多种思想（类比、化归、特殊到一般的思想）。

六、作业：

练习册22.1

（1）

思考题：

一个多边形除了一个内角等于α，其余角的和等于700°，求这个多边形的边数，及α的值。

22.2

（1）平行四边形的性质

一教学目标

1：

理解平行四边形的概念，2：

经历平行四边形性质的探索过程，从中感受转化、分类的思想方法；3：

掌握平行四边形的性质定理，能运用这些知识进行证明或计算；4：

理解两条平行线间的平行线段相等．

二教学重点及难点

理解平行四边形性质．

经历平行四边形性质的探索过程，从中感受转化、分类的思想方法．

三教学过程

平行四边形定义

观察生活中的平行四边形，并举例，试说出它的特点．

定义：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作

ABCD：

如图因为AD∥BCAB∥CD，所以

ABCD.

[说明]定义即第一个判定．

讨论性质

讨论一个图形的性质一般从边、角、对角线、对称性几个角度来研究的．

讨论平行四边形的性质.

观察平行四边形两组对边除了平行，还有别的特点吗？

两组对角又有什么特点？

对边相等；对角相等．

平行四边形性质定理：

平行四边形的对边相等，对角相等．

由平行四边形边的性质定理得出推论

如图：

若

//

，AD、BC是夹在

、

之间的两条平行线段，那么AD与BC一定

相等吗?

为什么？

推论：

夹在两条平行线间的平行线段相等．

平行四边形的性质应用

例题选讲

小强用一根长度为36cm的铁丝围成了一个平行四边形的模型，其中一边长是8cm，其他三边的长分别是多少？

分析：

可由平行四边形对边相等先得出已知边的对边长度，再根据这根铁丝的长度即这个平行四边形的周长求出它的另外两条边的长．

在□ABCD中，∠A比∠B大60°，求这个平行四边形各内角的度数？

分析：

可由平行四边形邻角互补得∠A＋∠B＝180°，再根据已知∠A－∠B＝60°，可解出两个角，最后可由平行四边形对角相等得出另外两个内角度数．

四小试牛刀

已知

ABCD中，∠A=60°，说出∠B、∠C、∠D的度数．

2、

ABCD的周长为48，且AB=2BC，求出平行四边形各边的长．

3、如图，已知EF、ED、FD分别过ΔABC的顶点A、B、C，且EF∥BC，ED∥AC，FD∥AB．

指出图中所有的平行四边形．

求证：

点A、B、C分别是线段EF、ED、DF的中点．

本课小结：

平行四边形的性质

布置作业：

练习册第36页习题22.2

（1）

22.2

（2）平行四边形的性质运用

教学目的

1：

经历平行四边形性质定理3、4的探索过程，从中感受转化、分类的思想方法；

2：

掌握平行四边形的性质定理3、4，能运用这些性质定理3、4进行证明或计算.

教学重点及难点

理解和掌握平行四边形性质定理3、4.

教学过程

1、平行四边形性质复习：

边：

对边平行、对边相等

推论：

夹在两条平行线间的平行线段相等

角：

对角相等、内角和360度、外角和360度

平行四边形性质定理3、4

如图，平行四边形ABCD，有多少对全等的三角形？

2、由这些三角形全等，可得平行四边形的对角线什么特点？

得性质定理3：

平行四边形的两条对角线互相平分

3、平行四边形ABCD具有某种对称性吗？

得性质定理4：

平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点

性质的应用

例题选讲

1）

已知如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与边AB、CD分别相交于点E、F.求证：

OE=OF.

分析：

用全等证明结论.

三角形全等时必须注意至少有一对边相等；故运用平行四边形对角线的性质得到一对边相等，再由平行四边形边的平行得到角相等，从而顺利得到本题的结论.

2）从对称性角度再次理解平行四边形的性质.由点O为对角线交点即得点O为平行四边形的对称中心，故EF关于点O对称，图形中有众多的全等.

已知：

如图,在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF.

求证：

∠BAE=∠DCF.

[说明]本题证法众多，多讨论几种方法，以增加学习兴趣.

小试牛刀

1．

ABCD中，AD=4cm，AC=10cm，BD=6cm，ΔAOD的周长是多少？

ΔAOD和ΔAOB的面积有什么关系？

在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的对角线的交点正好与坐标原点重合，且点A、B的坐标分别为（3，2）、（–2，1），试写出C、D两点的坐标

已知：

如图，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，联结BE并延长，交AD的延长线于点F，求证：

E是BF的中点，D是AF的中点.

本课小结：

平行四边形的性质的运用

四个方面研究（边、角、对角线、对称性）

根据题意灵活选用最恰当的平行四边形的性质.

布置作业：

练习册第37页习题22.2

（2）

22.2（3）平行四边形的判定

教学目标

1.经历探究平行四边形的判定方法的过程，体会类比、逆向思维的方法；

2.掌握平行四边形的判定方法，能运用平行四边形的判定定理解决有关的证明或计算问题．

教学重点及难点

1.理解平行四边形判定.

2.经历平行四边形判定的探索过程，体会类比、逆向思维的方法

教学用具准备

课件

教学过程

平行四边形性质复习

边：

对边平行、对边相等.

推论：

夹在两条平行线间的平行线段相等.

角：

对角相等、内角和360度、外角和360度.

对角线：

两条对角线互相平分.

对称性：

中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.

平行四边形判定探究

定义：

两组对边平行的四边形是平行四边形

（两组对边平行的四边形是平行四边形）.

思考：

有没有其他方法？

平行四边形的对边相等，那么反之是否成立呢？

已知，四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC.

求证：

四边形ABCD为平行四边形.

得判定:

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

两组对边分别平行，或两组对边分别相等都可证明一个四边形是平行四边形，那么一组对边既平行又相等能否得到一个四边形是平行四边形呢？

已知，四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD.

求证：

四边形ABCD为平行四边形.

得判定:

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

注:

一定是同一组对边既平行又相等.

总结判定：

边（3条）

例题选讲

如图，ABCD中，E,F分别在边BC，AD上，且BE＝DF；

求证：

四边形AECF是平行四边形.

（探求一题多解）

本题不添加辅助线的情况下，可以有四种方法分别证明之.

既熟悉平行四边形的性质判定，也增加学生兴趣.

小试牛刀

如图：

AD∥GH∥BC；AB∥EF∥DC；图中平行四边形有哪些？

如图：

ABCD中，E,F分别是AB，CD的中点，求证：

EF=BC

如图：

ABCD中，E，F，G，H分别是BC，AD，AB，CD的中点，

求证：

四边形EHFG是平行四边形.

本课小结：

平行四边形的判定

包括定义边（3条）

根据题意灵活选用最恰当的平行四边形的性质与判定.

布置作业：

练习册第38页习题22.2（3）

22.2（4）平行四边形

教学目标

1.掌握平行四边形的判定定理，能运用平行四边形的判定定理证明和计算．

2.经历探究平行四边形的判定定理的过程，体会类比、逆向思维的方法．

教学重点及难点

掌握平行四边形的判定定理，并能应用定理进行计算和证明．

教学用具准备

画图工具

教学过程设计

情景引入

复习

平行四边形的性质定理

平行四边形的对边平行且相等．

平行四边形的对角相等．

平行四边形的两条对角线互相平分．

平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．

已经学习过的平行四边形的判定方法．

定义：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．

判定定理：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

（要求学生根据图形写出几何语言）

[说明]通过复习平行四边形的性质定理和判定定理，并要求学生写出各定理的几何语言，便于本节课的学习．

提问

还有判定一个四边形是平行四边形的其他方法吗？

讨论

学生讨论还可以从四边形的什么条件判定平行四边形．

[说明]学生从讨论中，通过类比从对角线和角来研究平行四边形的判定定理．

二、学习新课

平行四边形判定定理3

（1）“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是真命题吗？

师生互动，转化成数学几何语言，并证明之．

（2）平行四边形判定定理3

如果一个平行四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．

简述为：

对角线互相平分的四边形是平行四边形．

几何语言：

．

．

[说明]从定理的证明到定理几何语言的描述，使学生几何学习能力增强．

平行四边形判定定理4

如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形．

简述：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

同样要求学生把文字语言转化成数学语言，并证明定理并写出几何语言．

三、例题讲解

已知：

如图，ABCD中，E,F分别是对角线上两点，且AE＝CF．

求证：

四边形BEDF是平行四边形．

分析：

本题可以用判定平行四边形的五

种方法证明．在讲解时，让学生尽可能多的说出证明方法，教师适当补充．最后教师选择一种方法板书，学生再选另一种方法书写．

[说明]本题一题多解，在讲解过程中运用平行四边形的各种判定方法，利于学生掌握判定定理的运用．

四、巩固练习

书上练习22.4（4）

五、课堂小结

平行四边形的判定定理进一步学习．

五、作业布置

练习册习题22.2（4）

22.2（4）平行四边形综合运用

教学目标

1.理解平行四边形的性质定理和判定定理的区别与联系．

2.能综合运用平行四边形的性质定理和性质定理计算和证明．

3.领会分别从题设或结论出发寻求论证思路的分析方法，提高逻辑思维和几何论证能力．

4.通过一题多解，增强学习数学的兴趣．

教学重点及难点

理解平行四边形性质定理和判定定理的区别和联系．

综合运用平行四边形的性质定理和判定定理计算和证明．

教学用具准备

画图工具

教学过程设计

复习提问

结合图形

讲出平行四边形的性质定理

几何语言：

因为……所以……

讲出平行四边形的判定定理

几何语言：

因为……所以……

二、学习新课

例题选讲

如图，ABCD中，AE⊥BD,CF⊥BD，垂足分别为E、F；

求证：

AE＝CF．

［说明］本题的证明中可运用平行四边形的性质，教师分析，并板书．另外，本题也可以用面积相等的方法证明，教师分析并板书．

已知：

如图，ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD,∠BCD,分别交边BC、AD于点E,F；

求证：

四边形AECF是平行四边形．

［说明］本题可运用平行四边形的定义或平行四边形的判定定理证明，方法有多种，让学生分析，比较各种方法的特点，并选择一种方法证明．

3.已知：

如图，ABCD中，点E,F,G,H分别在边AD，AB,BC,CD上，且DE＝BG,AF＝CH.

求证：

（1）EF＝GH;

（2）EG和HF互相平分．

［说明］此题是平行四边形的性质定理和判定定理的综合运用，学生讨论分析后教师整理并板书．

三、巩固练习

书上练习22.2（5）

注意解题时平行四边形性质定理和判定定理的正确使用，并寻求一题多解．

四、课堂小结

平行四边形性质定理和判定定理进一步熟悉．

平行四边形性质定理和判定定理的综合运用．

五、作业布置

练习册第52页习题22.2（5）

22.3

（1）特殊的平行四边形

教学目标

1.理解矩形、菱形的概念，知道它们之间的关系以及它们与平行四边形的关系．

2.经历从平行四边形的性质类比探索矩形和菱形的性质的过程，感悟类比思想以及“从一般到特殊”的方法．

3.掌握矩形、菱形的有关性质并能运用这些性质进行有关的证明和计算．

教学重点及难点

1.理解矩形和菱形的概念，知道它们之间的关系以及它们与平行四边形的关系．

2.掌握矩形和菱形的性质并用这些性质进行证明和计算．

教学用具准备

多媒体课件、画图工具

教学过程设计

情景引入

观察

观察课件：

（1）平行四边形的边长不变，改变内角的大小，使一个角变为直角；

（2）平行四边形的内角不变，改变边的长度，使一组邻边相等．

矩形和菱形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

讨论

因为矩形和菱形是特殊的平行四边形，所以它们具有平行四边形的所有性质．那么，它们还有自有的特殊性质吗？

从哪几个角度来进行研究？

二、学习新课

矩形的特殊性质：

由矩形的定义可知，它的边没有特殊的性质，那么从它的内角，对角线和对称性来研究它的特殊性质．

（学生先观察后推理）

研究矩形的内角

矩形的性质定理1矩形的四个角都是直角．

研究矩形的对角线

矩形的性质定理2矩形的两条对角线相等．

（３）研究矩形的对称性

矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形．

画出它的对称抽，并用语言描述．

菱形的特殊性质：

由菱形的定义可知，它的角没有特殊的性质，那么从它的边，对角线和对称性来研究它的特殊性质．

（学生先观察后推理）

研究菱形的边

菱形的性质定理1菱形的四条边都相等．

研究菱形的对角线

菱形的性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．

研究菱形的对称性

菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形．

画出它的对称轴，并用语言描述．

三、巩固练习

书上练习22.3

（1）

四、课堂小结

矩形和菱形的定义．

矩形和菱形的性质定理．

五、作业布置

练习册第41页习题22.3

（1）

故本节课的设计重点放在学生探索研究得到矩形和菱形的概念和性质．

22．3

（2）矩形、菱形的性质运用

一教学目标

1.通过矩形菱形的性质运用，掌握处理矩形菱形的一般方法．同时感悟类比、转化思想；

2.掌握矩形、菱形的有关性质并能运用这些知识进行有关的证明和计算

教学重点及难点

1.掌握处理矩形菱形的一般方法．

2.感悟类比思想、转化思想．

二教学用具准备

课件

教学过程设计

观察几类特殊的四边形

矩形、菱形的定义复习练习：

如图：

点A是圆弧上一动点，点C是x轴正半轴上一动点，BC∥OA,AB∥x轴，

①四边形OABC是______（）

②当A运动到y轴时，四边形OABC是____

③当C运动到圆弧上时，四边形OABC是____

矩形菱形的性质回顾：

（从边、角、对角线、对称性角度）

边

角

对角线

对称性

矩形

菱形

[说明]矩形菱形始终是特殊的平行四边形，故选用了第一个图形揭示它们之间的关系.

矩形菱形定义的回顾：

选用了一个动态的平行四边形，以加深对概念的理解．

对于图形的性质，始终引导学生从对图形的边、角、对角线、对称性的角度去整理，这样便于对知识的综合理解，理顺关系．

二、矩形菱形的性质运用举例

例题1矩形对角线相交所成的角中，有一个是60度，这个角所对的边长为20cm，则矩形的对角线_______;面积________

[说明]矩形问题可以转化为等腰三角形、等边三角形、直角三角形等．

通过矩形的对角线互相平分且相等，得到等腰三角形、又由于两条对角线的夹角为60度，故得到等边三角形，矩形的四个角都是直角，故矩形与直角三角形也密不可分．

通过本例，学生可以大致对矩形问题的一般处理，有个初步了解．

例题2如图,在菱形ABCD中，AB＝13cm，AC＝24cm，求这个菱形的面积．

[说明]在例题1的基础上，类比得到菱形的一般处理方法：

同样的，可以认识到菱形与等腰三角形（四条边相等）、菱形与直角三角形（对角线互相垂直）之间的关系．

同时，通过本例，也得出“对角线互相垂直的四边形的面积公式．

例题3已知：

如图，菱形ABCD中∠B=60°；E,F在边BC,CD上，且∠EAF=60°；

求证：

AE=AF.

[说明]例题3在例题2的基础上，在菱形ABCD的条件之外再补充一个：

∠B=60°，于是在等腰三角形的基础上又得到了等边三角形．又与全等三角形结合运用．易由A.S.A得△ABE≌△ACF；

总之，所选3例：

目的是让同学们熟悉矩形菱形与以往学过的一些图形之间的关系，更重要的是引导同学感悟类比思想、以及“从一般到特殊”的转化思想．

三、小试牛刀，运用定理

已知矩形对角线相交所成的锐角是60度，较短的边长为12cm，求它的对角线的长．

一个菱形的两条对角线的长分别是12和6

，求它的面积．

菱形的边长为6cm，一个角为60度，求菱形两条对角线的长．

[说明]所选3个习题都比较基本，分别试图达到以下目的：

---基本思路“矩形菱形—等腰三角形—等边三角形”;

---基本思路“菱形—对角线互相垂直—面积＝

×对角线乘积”;

---基本思路“矩形菱形—直角三角形—勾股定理”.

四、反思小结,谈谈收获

这节课你学会了什么？

特殊的平行四边形是从平行四边形的____或_____所具有的特征来定义的.

矩形：

当两条对角线的夹角有60度时，矩形问题可以结合等边三角形，直角三角形共同解决．

当菱形中有一条对角线的长度等于边长时，菱形问题也可以转化为等边三角形、直角三角形等共同解决．

２．你认为有哪些要注意的地方？

注意合理转化，知识之间的综合运用．

３．你还有什么疑惑吗？

特殊的平行四边形：

本节课研究的是特殊的平行四边形（矩形菱形的性质运用），注意题目特点，寻找合适的突破口；掌握解决矩形菱形的一般思路．

五、布置作业：

22．3（3）矩形、菱形的判定

一教学目标

1.经历从特殊的平行四边形的性质逆向探索特殊的平行四边形判定方法的过程，掌握矩形、菱形的2.常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算．

3.通过矩形、菱形判定的探索过程，积累数学活动的经验，提高合情推理能力；结合性质和判定定理以及相关问题的证明，进一步发展逻辑思维能力和提高推理论证的表达能力．

二教学重点及难点

掌握矩形、菱形的判定，知道它们之间的关系以及与平行四边形的关系．进一步发展逻辑思维能力和提高推理论证的表达能力．

三教学用具准备

课件

四教学过程设计

温故知新

平行四边形的判定

（5个方法）

矩形、菱形的性质复习——有别于平行四边形的特殊性质：

矩形

菱形

四个角都是直角

四条边相等

对角线互相平分且相等

对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角

[说明]本节课研究矩形、菱形的判定．故本环节安排平行四边形的判定复习以及矩形、菱形作为特殊的平行四边形的特殊性质回顾；便于本节课的顺利开展．

二、矩形、菱形的判定探讨

思考：

如何从矩形、菱形特殊的性质出发，得出矩形、菱形的判定？

定义可以作为第一条判定：

即：

有一个角是直角的平行四边形是矩形．

有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

[说明]定义是作为判定的第一依据，因此，所有的定义都可以作为第一个判定方法．

其他方法呢？

“1）从边；2）从角；3）从对角线”的角度考虑．

矩形：

——矩形的特殊性在于直角和对角线

不妨给出关于矩形判定的命题：

（讨论、交流）

比如：

四个角是直角的四边形是矩形．

三个角是直角的四边形是矩形．

对角线相等的平行四边形是矩形．……

分析上述给出的命题，证明讨论；

得出矩形的判定定理：

三个角是直角的四边形是矩形．

对角线相等的平行四边形是矩形．

菱形：

——类似矩形进行讨论．

并得出菱形的判定定理：

四条边相等的四边形是菱形．

对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

[说明]作为特殊的平行四边形，矩形、菱形在角、边、对角线方面都有特殊的性质．因此，引导学生不妨就从其特殊性开始考虑．矩形详加探究之后，对应得到菱形的判定方法．

总结矩形菱形的判定

矩形的判定

菱形的判定

四边形

矩形