人教版数学八年级上册第十一章三角形单元训练习题.docx

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人教版数学八年级上册第十一章三角形单元训练习题

八年级上册第十一章单元训练

一．选择题

1．在下列四组线段中，能组成三角形的是（　　）

A．2cm，6cm，9cmB．2cm，3cm，5cm

C．3.4cm，2.7cm，6cmD．3cm，4cm，7cm

2．一个三角形三个内角之比为1：

2：

3，其所对三边之比为（　　）

A．1：

2：

3B．1：

：

C．1：

：

2D．1：

：

3

3．若一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形是（　　）

A．六边形B．八边形C．十边形D．十二边形

4．下列说法错误的个数（　　）

①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②不相交的两条直线必平行；③三角形的三条高线交于一点：

④直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．

A．2个B．3个C．4个D．5个

5．若△ABC的三个内角的比为3：

5：

2，则△ABC是（　　）

A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形

6．如图，AD交BC于点O，∠BAD的角平分线与△OCD的外角∠OCE的角平分线交于点P，则∠P与∠B、∠D的数量关系为（　　）

A．∠P＝

B．∠P＝

C．∠P＝90°+∠B+∠DD．∠P＝90°﹣∠B+∠D

7．量角器测角度时摆放的位置如图所示，在△AOB中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC的度数为（　　）

A．60°B．70°C．80°D．85°

8．如图，直线EF∥直线GH，Rt△ABC中，∠C＝90°，顶点A在GH上，顶点B在EF上，且BA平分∠DBE，若∠CAD＝26°，则∠BAD的度数为（　　）

A．26°B．32°C．34°D．45°

9．如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

10．下列说法中，正确的个数有（　　）

①同位角相等；②三角形的高相交于三角形的内部；③三角形的一个外角大于任意一个内角；④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加180°；⑤两个角的两边分别平行，则这两个角相等．

A．0个B．1个C．2个D．3个

二．填空题

11．如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，∠1+∠2＝235°，则∠A＝　　

度．

12．已知a、b、c是三角形的三边，化简|a﹣b﹣c|+|b+c﹣a|﹣|c﹣a﹣b|＝　　．

13．如图，在长方形门框ABCD上，加钉了木条EF来固定，从数学角度看，这样做的依据是　　．

14．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　　．

15．四边形具有不稳定性．如图，矩形ABCD按箭头方向变形成平行四边形A'B'C'D'，变形后∠A'＝30°，若矩形ABCD的面积是9，则平行四边形A'B'C'D'的面积是　　

三．解答题

16．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝42°，∠DAE＝16°．求∠BAE和∠C的度数．

17．已知△ABC，P是平面内任意一点（A、B、C、P中任意三点都不在同一直线上）．连接PB、PC，设∠PBA＝s°，∠PCA＝t°，∠BPC＝x°，∠BAC＝y°．

（1）如图，当点P在△ABC内时，

①若y＝70，s＝10，t＝20，则x＝　　；

②探究s、t、x、y之间的数量关系，并证明你得到的结论．

（2）当点P在△ABC外时，直接写出s、t、x、y之间所有可能的数量关系，并画出相应的图形．

18．在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，点E在射线DC上，EF⊥BC于点F，EM平分∠AEF交直线AB于点M．

（1）如图1，点E在线段DC上，若∠A＝90°，∠M＝α．

①∠AEF＝　　；（用含α的式子表示）

②求证：

BD∥ME；

（2）如图2，点E在DC的延长线上，EM交BD的延长线于点N，用等式表示∠BNE与∠BAC的数量关系，并证明．

19．

（1）思考探究：

如图，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，已知∠ABC＝70°，∠ACD＝100°．求∠A和∠P的度数；

（2）类比探究：

如图，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点，已知∠P＝n°．求∠A的度数（用含n的式子表示）；

（3）拓展迁移：

已知，在四边形ABCD中，四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平分线所在直线相交于点P，∠P＝n°，请画出图形；并探究出∠A+∠D的度数（用含n的式子表示）．

20．∠MON＝90°，点A，B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．

（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝　　°；

（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．

①若∠BAO＝60°，则∠D＝　　°；

②随着点A，B的运动，∠D的大小会变吗？

如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；

（3）如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO的度数．

参考答案

一．选择题

1．解：

A、∵6+2＜9，∴不能组成三角形，故本选项错误，不符合题意；

B、∵2+3＝5，∴不能组成三角形，故本选项错误，不符合题意；

C、∵3.4+2.7＞6，∴能组成三角形，故本选项正确，符合题意；

D、∵3+4＝7，∴不能组成三角形，故本选项错误，不符合题意；

故选：

C．

2．解：

设△ABC中，∠A：

∠B：

∠C＝1：

2：

3，

∵∠A+∠B+∠C＝180°，

∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，

设BC＝a，则AB＝2a，AC＝

a，

∴BC：

AC：

AB＝1：

：

2，

故选：

C．

3．解：

设这个多边形的边数为n，依题意得

（n﹣2）•180°＝5×360°，

解得n＝12，

∴这个多边形是十二边形，

故选：

D．

4．解：

①平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原题说法错误；

②平面内，不相交的两条直线必平行，故原题说法错误；

③三角形的三条高线交于一点，应该是三条高线所在直线交于一点，故原题说法错误：

④直线外一点到已知直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离，故原题说法错误；

⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原题说法错误．

错误的说法有5个，

故选：

D．

5．解：

∵△ABC的三个内角的比为3：

5：

2可设此三角形的三个内角分别为2x°，3x°，5x°，

∴2x°+3x°+5x°＝180°，解得x＝18°，

∴5x°＝5×18°＝90°．

∴此三角形是直角三角形．

故选：

C．

6．解：

设∠PAB＝∠OAP＝x，∠ECP＝∠PCB＝y，

则有

，

①﹣2×②可得：

∠B﹣2∠P＝∠D﹣2∠D﹣180°，

∴∠P＝

，

故选：

A．

7．解：

∵OA＝OB，∠AOB＝140°，

∴∠A＝∠B＝

（180°﹣140°）＝20°，

∵∠AOC＝60°，

∴∠ADC＝∠A+∠AOC＝20°+60°＝80°，

故选：

C．

8．解：

∵∠C＝90°，∠CAD＝26°，

∴∠ADC＝90°﹣26°＝64°，

∴∠HDB＝∠ADC＝64°，

∵直线EF∥直线GH，

∴∠DBE＝∠HDF＝64°，

∵BA平分∠DBE，

∴

，

∵直线EF∥直线GH，

∴∠BAD＝∠ABE＝32°，

故选：

B．

9．解：

A，C，D都不是△ABC的边AB上的高，

故选：

B．

10．解：

①只有两平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，故说法①错误；

②只有锐角三角形的三条高在三角形的内部，故说法②错误；

③三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角，故说法③错误；

④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加180°，此说法④正确；

⑤两个角的两边分别平行，则这两个角可能相等，也可能互补，故说法⑤错误；

正确的个数有1个，

故选：

B．

二．填空题

11．解：

∵1+∠2＝235°，

∴∠B+∠C＝360°﹣（∠1+∠2）＝360°﹣235°＝125°，

故∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣125°＝55°．

故答案是：

55．

12．解：

根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，

得a﹣b﹣c＜0，b+c﹣a＞0，c﹣a﹣b＜0．

则|a﹣b﹣c|+|b+c﹣a|﹣|c﹣a﹣b|

＝b+c﹣a+b+c﹣a+c﹣a﹣b，

＝3c+b﹣3a．

故答案为：

3c+b﹣3a．

13．解：

在长方形门框ABCD上，加钉了木条EF，得到了△AEF，比较稳定，

从数学角度看，这样做的依据是三角形的稳定性，

故答案为：

三角形的稳定性．

14．解：

连接AD，

在△AOD和△BOC中，

∵∠AOD＝∠BOC，

∴∠B+∠C＝∠1+∠2，

∴∠B+∠C+∠BAF+∠EDF＝∠1+∠2+∠BAF+∠EDF＝∠EDA+∠FAD，

∵∠EDA+∠FAD+∠E+∠F＝360°，

∴∠BAF+∠EDF+∠B+∠C+∠E+∠F＝360°，

故答案为：

360°．

15．解：

由题意可知，平行四边形A'B'C'D'的底边A'D'与矩形的长AD相等，平行四边形A'B'C'D'的高变为矩形的宽的一半，

所以平行四边形A'B'C'D'的面积是矩形面积的一半．

所以平行四边形A'B'C'D'的面积是

．

故答案为：

．

三．解答题

16．解：

∵AD是BC边上的高，

∴∠ADE＝90°．

∵∠ADE+∠AED+∠DAE＝180°，

∴∠AED＝180°﹣∠ADE﹣∠DAE＝180°﹣90°﹣16°＝74°．

∵∠B+∠BAE＝∠AED，

∴∠BAE＝∠AED﹣∠B＝74°﹣42°＝32°，

∵AE是∠BAC平分线，

∴∠BAC＝2∠BAE＝2×30°＝64°．

∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，

∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣42°﹣64°＝74°．

17．解：

（1）①∵∠BAC＝70°，

∴∠ABC+∠ACB＝110°，

∵∠PBA＝10°，∠PCA＝20°，

∴∠PBC+∠PCB＝80°，

∴∠BPC＝100°，

∴x＝100，

故答案为100．

②结论：

x＝y+s+t．

理由：

∵∠A+∠ABC+∠ACB＝∠A+∠PBA+∠PCA+∠PBC+∠PCB＝180°，∠PBC+∠PCB+∠BPC＝180°，

∴∠A+∠PBA+∠PCA＝∠BPC，

∴x＝y+s+t．

（2）s、t、x、y之间所有可能的数量关系：

如图1：

s+x＝t+y；

如图2：

s+y＝t+x；

如图3：

y＝x+s+t；

如图4：

x+y+s+t＝360°；

如图5：

t＝s+x+y；

如图6：

s＝t+x+y；

．

18．解：

（1）①∵∠A＝90°，∠M＝α，

∴∠AEM＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α，

∵EM平分∠AEF，

∴∠AEF＝2∠AEM＝180°﹣2α，

故答案为：

180°﹣2α；

②证明：

∵EF⊥BC，

∴∠EFC＝90°，

∵∠A＝90°，

∴∠C+∠ABC＝90°，

∴∠CEF＝∠ABC，

∵∠AEF＝180°﹣2α，

∴∠CEF＝2α，

∴∠ABC＝2α，

∵BD是△ABC的角平分线，

∴∠ABD＝

ABC＝α，

∴∠ABD＝∠M，

∴BD∥ME；

（2）2∠BNE＝90°+∠BAC，

证明：

∵BD平分∠ABC，EM平分∠AEF，

设∠ABD＝x，∠AEM＝y，

∴∠ABC＝2x，∠AEF＝2y，

∵∠ABD+∠BAD＝180°﹣∠ADB，

∠NED+∠END＝180°﹣∠NDE，

∵∠ADB＝∠NDE，

∴∠ABD+∠BAD＝∠NED+∠END，

∴x+∠BAD＝y+∠END，

∴x﹣y＝∠END﹣∠BAD，

同理，∠ABC+∠BAC＝∠FEC+∠EFC，

∴2x+∠BAC＝2y+∠EFC，

∴2x﹣2y＝∠EFC﹣∠BAC，

∵EF⊥BC，

∴∠EFC＝90°，

∴2（x﹣y）＝90°﹣∠BAC，

∴2（∠END﹣∠BAD）＝90°﹣∠BAC，

即2（∠BNE﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，

∴2∠BNE＝90°+∠BAC．

19．解：

（1）∵∠ABC＝70°，∠ACD＝100°，

∴∠A＝100°﹣70°＝30°，

∵P点是∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，

∴∠PCD＝

∠ACD＝50°，∠PBC＝

∠ABC＝35°，

∴∠P＝50°﹣35°＝15°；

（2）∠A＝2n°．

理由：

∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∠ACD＝∠A+∠ABC，

∵P点是∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，

∴∠ACD＝2∠PCD，∠ABC＝2∠PBC，

∴∠A+∠ABC＝2（∠P+∠PBC），

∠A+∠ABC＝2∠P+2∠PBC，

∠A+∠ABC＝2∠P+∠ABC，

∴∠A＝2∠P，

∴∠A＝2n°；

（3）（Ⅰ）如图②延长BA交CD的延长线于F．

∵∠F＝180°﹣∠FAD﹣∠FDA＝180°﹣（180°﹣∠A）﹣（180°﹣∠D）＝∠A+∠D﹣180°，

由

（2）可知：

∠F＝2∠P＝2n°，

∴∠A+∠D＝180°+2n°．

（Ⅱ）如图③，延长AB交DC的延长线于F．

∵∠F＝180°﹣∠A﹣∠D，∠P＝

∠F，

∴∠P＝

（180°﹣∠A﹣∠D）＝90°﹣

（∠A+∠D）．

∴∠A+∠D＝180°﹣2n°

综上所述：

∠A+∠D＝180°+2n°或180°﹣2n°．

20．解：

（1）∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，

∴∠AOB＝90°，

∴∠OAB+∠OBA＝90°，

∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，

∴∠BAE＝

∠OAB，∠ABE＝

∠ABO，

∴∠BAE+∠ABE＝

（∠OAB+∠ABO）＝45°，

∴∠AEB＝135°；

故答案为：

135°；

（2）①∵∠AOB＝90°，∠BAO＝60°，

∴∠ABO＝30°，

∴∠ABN＝150°，

∵BC是∠ABN的平分线，

∴∠OBD＝∠CBN＝

150°＝75°，

∵AD平分∠BAO，

∴∠DAB＝30°，

∴∠D＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD﹣∠AOB＝180°﹣75°﹣30°﹣30°＝45°，

故答案为：

45；

②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，

设∠BAD＝α，

∵AD平分∠BAO，

∴∠BAO＝2α，

∵∠AOB＝90°，

∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝90+2α，

∵BC平分∠ABN，

∴∠ABC＝45°+α，

∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，

∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°+α﹣α＝45°；

（3）∵∠BAO与∠BOQ的平分线交于点E，

∴∠AOE＝135°，

∴

，

∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的平分线，

∴

，

在△AEF中，若有一个角是另一个角的3倍，

则①当∠EAF＝3∠E时，得∠E＝30°，此时∠ABO＝60°；

②当∠EAF＝3∠F时，得∠E＝60°，

此时∠ABO＝120°＞90°，舍去；

③当∠F＝3∠E时，得

，

此时∠ABO＝45°；

④当∠E＝3∠F时，得

，

此时∠ABO＝135°＞90°，舍去．

综上可知，∠ABO的度数为60°或45°．