中考数学复习第二讲方程组教案人教版.docx

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中考数学复习第二讲方程组教案人教版

2016中考数学复习：

第二讲方程（组）教案（人教版）

第二讲方程（组）

于华虎

21一元一次方程、分式方程及其应用

基础盘点

1一元一次方程

（1）在一个整式方程中，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次），这样的方程叫做

（2）解一元一次方程的解法：

①去分母，化方程的系数为整数；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1

2分式方程

（1）分母中含有未知数的方程叫做

（2）解分式方程步骤：

①方程两边同乘以最简公分母，化分式方程为整式方程；②解这个整式方程；③检验，即将整式方程的解代入最简公分母，看结果是否为0，若是0，则此解为增根，若不是0，则此解为原方程的根；

④写出此方程的解

3一元一次方程及分式方程的应用

列方程解应用题的步骤：

①审题，设未知数；②找出相等关系列方程；③解方程；④检验：

如果是一元一次方程，则需要看方程的根是否符合题意；如果是分式方程，除了要检验方程的根是否是原方程的增根外，还看解出的根是否符合题意

考点呈现

考点1一元一次方程的解法

例1（201•广州）解方程：

x＝3（x－4）

解析：

去括号，得x＝3x－12，

移项，合并同类项，得2x＝－12，

解得x＝－6

点评：

解方程移项时一定要注意符号的变化

考点2一元一次方程的解

例2（201•常州）已知x＝2是关于x的方程a（x＋1）＝a＋x的解，则a的值是_____

解析：

把x＝2代入方程a（x＋1）＝a＋x，解得a＝

点评：

方程的解即是满足方程的未知数的值，因此将其代入方程可求得方程中字母的值

考点3一元一次方程的应用

例3（201•海南）小明香葱“天猫”某网站购买计算器，经查询，某品牌A型号计算器的单价比B型号计算器的单价多10元，台A型号的计算器与7台B型号的计算器的价钱相同，问：

A，B两种型号计算器的单价分别是多少？

解析：

设A型号计算器的单价为x元，则B型号计算器的单价是（x－10）元，依题意可得方程x＝

7（x－10），解得x＝3

所以3－10＝2（元），故A型号计算器的单价为3元，则B型号计算器的单价是2元

点评：

列方程解应用题的关键是读懂题意，根据题目给出的条，找出合适的等量关系列方程一般情况下，设未知数的方法不是唯一的，要寻找最简捷的设法

考点4解分式方程

例4（201•嘉兴）小明解方程的过程如图，请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程

解析：

小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥少检验

正确的解法为：

方程两边乘以x，得1-（x-2）＝x，

去括号，得1-x＋2＝x，

移项，得-x-x＝-1-2，

合并同类项，得-2x＝-3，

解得x＝，

经检验x＝是分式方程的解，

故原分式方程的解为x＝

点评：

解分式方程的基本思想是化分式方程为整式方程，转化的方法有两种：

一是去分母，二是换元；变形中有可能增大解的范围，因此分式方程有产生增根的可能，所以检验是不可忽视的步骤

考点分式方程的解

例（201•荆州）若关于x的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（）

A＞-1B≥1＞-1且≠1D≥-1且≠1

解析：

去分母，得-1＝2x-2，解得x＝由题意，得≥0且≠1，解得≥-1且≠1

点评：

解决此类问题的关键是将方程中的字母看做是已知数字，求出方程的解，容易出现的错误是漏掉隐含条——最简公分母不为0．

考点6增根问题

例6（201•营口）若关于x的分式方式有增根，则的值是（）

A=-1B=0＝3D＝0或＝3

解析：

因为方程有增根，所以x-3＝0，解得x＝3原方程去分母整理得＝8-3x，将x＝3代入得＝-1

点评：

确定增根时，注意增根所满足的两个条：

①是由分式方程转化成的整式方程的根；②使最简公分母为零

考点7分式方程的实际应用

例7（201•十堰）在我市开展“五城联创”活动中，某工程队承担了某小区900米长的污水管道改造任务．工程队在改造完360米管道后，引进了新设备，每天的工作效率比原提高了20%，结果共用27天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造管道多少米？

解析：

设原每天改造管道x米，由题意，得，解得x＝30，经检验x＝30是原分式方程的解，（1＋20%）x＝（1＋20%）×30＝36，故引进新设备前工程队每天改造管道36米

点评：

列分式方程解决情境应用题时，最后一定不要忘记检验

误区点拨

1解一元一次方程漏括号

例1解方程

错解：

去分母，得＝，

移项，合并同类项，得，

系数化为1，得

剖析：

显然，本题第一步出错了去分母时，“”没有用括号括起，忽视了分数线的括号作用去掉分数线，应该给分子加括号

正解：

去分母，得＝，

去括号，得＝，

移项，合并同类项，得，

系数化为1，得

2解分式方程忘记验根

例2解方程－=．

错解：

方程两边同时乘以（＋1）（－1），得2（＋1）－2（－1）=＋3，解得=1，所以原方程的解是=1．

剖析：

解分式方程验根是必要的步骤，这样才能够排除增根，防止扩大解的范围．

正解：

（解的过程同上）检验：

当=1时，2－1=0，所以=1是原方程的增根，所以原方程无解．

3解分式方程“去分母”漏乘某些项

例3解方程=2－．

错解：

方程两边同时乘以（2－1），得=2＋3，即=检验：

当=时，2－1=9≠0，所以=是方程的解．

剖析：

去分母时，应该用最简公分母同时乘以方程两边的各个项，不能够遗漏某些项．

正解：

方程两边同时乘以（2－1），得=2（2－1）＋3，解得=－．检验：

当=－时，2－1=－1≠0，所以=－是方程的解．

跟踪训练

1（201•杭州）某村原有林地108公顷，旱地4公顷，为保护环境，需把一部分改造成林地，使旱地面积占林地面积的20%，设把x公顷旱地改为林地，则可列方程（）

AB

D

2关于的方程的解为正实数，则的取值范围是（）

A≥2B≤2＞2D＜2

3已知关于x的分式方程=1有增根，则a=____

4（201•毕节）关于x的方程x-4x＋3＝0与有一个解相同，则a＝_____

（201•扬州）扬州建城200年之际，为了继续美化城市，计划在路旁栽树1200棵，由于志愿者的参加，实际每天栽树的棵数比原计划多20%，结果提前2天完成，求原计划每天栽树多少棵？

22二元一次方程组及其应用

基础盘点1二元一次方程组的解法：

①代入消元法：

将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出，再代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解

②加减消元法：

通过将方程组中两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解

2二元一次方程组的应用：

列二元一次方程组解应用题的一般步骤：

①设出题中的两个未知数；②找出题中的两个等量关系；

③根据等量关系列出方程，并组成方程组；④解这个方程组，求出未知数的值；⑤检验所得结果的正确性及合理性并写出答案

考点呈现

考点1二元一次方程（组）的解

例1（201•南充）已知关于x，的二元一次方程组的解互为相反数，则的值是_____

解析：

因为方程组的解x，互为相反数，所以x＋＝0，所以可得方程组，解得

，代入方程2x＋3＝中可得＝-1

点评：

本题比较常规的解法是解已知方程组，得，再由方程组的解互为相反数得3＋2-2-＝0，解得＝-1因为已知方程组中有字母，导致求解方程组比较麻烦，易于出现错误，所以对于此类问题我们提倡使用上面的求解思路

考点2构造二元一次方程组解题

例2（201•绵阳）若，则＝（）

A-1B1D-

解析：

因为≥0，≥0，而二者的和为0，所以＝0，＝0，于是可得方程组，解得，所以＝＝-1

例3（201•巴中）若单项式与是同类项，则a，b的值分别为（）

Aa＝3，b＝1Ba＝-3，b＝1a＝3，b＝-1Da＝-3，b＝-1

解析：

因为同类项是指所含字母相同，且相同字母的指数相等，所以可得方程组，解得，故选A

点评：

构造二元一次方程组解决的依据很多，比如例1的构造依据是“两个非负数的和为0，则每一个数均为0”，这需要大家熟练掌握二次根式、绝对值或完全平方式等的非负性；例2的构造依据是同类项的定义，即相同字母的指数相等

考点3二元一次方程组的解法

例4（201•河北）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（）

A要消去，可以将①×＋②×2B要消去x，可以将①×3＋②×（-）

要消去，可以将①×＋②×3D要消去x，可以将①×（-）＋②×2

解析：

观察已知方程组，不难发现：

若要消去x，可以将①×（-）＋②×2，故选项D正确，B错误；若要消去，可以将①×3＋②×，故选项A、均错误应选D

例（201•重庆）解二元一次方程组

思路点拨：

观察已知方程组，不难发现未知数x的系数相同，因此可采用加减消元法求解

解法一：

由②-①得＝，解得＝1，代入方程①得x＝3，∴原方程组的解为

解法二：

方程①变形为x＝2＋1③，将方程③代入方程②得2＋1＋3＝6，解得＝1，代入方程③得x＝3，所以原方程组的解为

点评：

解二元一次方程组有代入消元法和加减消元法一般情况下，当可以较容易地把一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出的时候，用代入消元法；否则，用加减消元法

考点二元一次方程（组）的实际应用

例7（201•齐齐哈尔）为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费

3元，毽子单价3元，跳绳单价元，购买方案有（）

A1种B2种3种D4种

解析：

设购买毽子x个，跳绳条，依题意可得方程3x＋＝3因为x，均为正整数，所以方程的解可能为或，所以购买方案有2种，故选B

点评：

本题是借助不定方程的整数解解决实际问题，求解思路通常是：

确定其中一个未知数的取值范围，然后列举出适合条的所有整数值，再求出另一个未知数的值，一般情况下，这类问题的答案不唯一

误区点拨

化简方程过程疏忽导致错误

例解方程组

错解1：

由①×4得2（）－（）＝－1

剖析：

去分母时漏乘了不含分母的项

错解2：

由①×4得2（）－＝－4

剖析：

去分母时忽视了分数线括号的作用

错解3：

由②得＝8

剖析：

用乘法分配律去括号时，符号判断错误

正解：

由①×4得2（）－（）＝－4，化简得，

整理得③；由②得，整理得④由③＋④得，把代入③得，故原方程组的解是

跟踪训练

1二元一次方程组的解是（）

ABD

2若方程组的解x、相等，则的值为（）

A2B-2D-

3（201•黑龙江）为推进改，王老师把班级里40名学生分成若干小组，每小组只能是人或6人，则有几种分组方案（）

A4B32D1

7（201•天门）清明节期间，七

（1）班全体同学分成若干小组到革命传统教育基地缅怀先烈若每小组7人，则余下3人；若每小组8人，则少人，由此可知该班共有____名同学

8已知二元一次方程：

（1）x+=4，

（2）2x-=2，（3）x-2=1．请从这三个方程中选择你喜欢的两个方程，组成一个方程组，并求出这个方程组的解．

23一元二次方程及其应用

基础盘点

1主要概念

⑴只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做

⑵如果一个数能使一元二次方程的左右两边相等，那么这个数就称为这个方程的根（解）

2重要结论

（1）如果方程能化成或（≥0）的形式，则可用直接开平方法解此方程，得＝，或＝

（2）一元二次方程（≠0）的求根公式为：

＝

（3）对于一元二次方程（≠0），①当＞0时，方程有两个不相等的实数根，，＝；②当＝0时，方程有两个相等的实数根，；③当＜0时，方程没有实数根

（4）如果一元二次方程（≠0）的两个实数根为、，那么＋＝，

＝

考点呈现

考点1一元二次方程的解

例1（201•柳州）若x＝1是一元二次方程x2＋2x＋＝0的一个根，则的值为____

解析：

依题意将x＝1代入方程，得1＋2＋＝0，解得＝-3

点评：

此类试题的基本解法就是将根代入方程，同时要注意一元二次方程的二次项系数不为0

考点2一元二次方程的解法

例2

（1）（201•泉州）方程x2＝2的解是________

解析：

因为（±）2＝2，所以方程x2＝2的解是x1＝或x2＝-

（2）（201•滨州）用配方法解一元二次方程x2-6x-10＝0时，下列变形正确的是（）

A（x＋3）2＝1B（x-3）2＝1（x＋3）2＝19D（x-3）2＝19

解析：

移项，原方程变形为x2-6x＝10，方程两边加上9得x2-6x＋9＝19，即（x-3）2＝19

（3）（201•盘锦）方程（x＋2）（x－3）＝x＋2的解是__________

解析：

移项，得（x＋2）（x－3）－（x＋2）＝0，

提公因式，得（x＋2）（x－4）＝0，所以x＋2＝0或x－4＝0，解得＝－2，＝4

（4）（201•大连）解方程：

解析：

因为a＝1，b＝－6，＝－4，所以＝2，代入求根公式可得

＝，所以，

点评：

根据已知方程特点选择正确的方法解方程，注意在利用因式分解法解方程时，当等号两边有相同的含有未知数的因式时，不能随便约去这个因式，会导致方程失根，出现错误，要通过移项，提取公因式的方法求解

考点3根的判别式

例3（201•福州）已知关于x的方程有两个相等的实数根，求的值

解析：

因为有两个相等的实数根，所以△＝＝0，解得，

点评：

利用根的判别式可以确定一元二次方程中未知数的系数或取值范围

考点4根与系数的关系

例4（201•大庆）已知实数a，b是方程的两根，求的值

解析：

因为实数a，b是方程的两根，所以a＋b＝1，ab＝－1，所以＝

＝－3

点评：

使用根与系数的关系解题之前要保证方程的根的判别式大于等于零，即方程的根存在

考点一元二次方程的应用

例（201•连云港）在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元

（1）求每张门票的原定票价；

（2）根据实际情况，活动组织单位定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率

解析：

（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x-80）元，根据题意，得，解得x＝400

经检验x＝400是原方程的根，故每张门票的原定票价为400元；

（2）设平均每次降价的百分率为，根据题意，得400（1-）2＝324，解得1＝01，2＝19（不合题意，舍去），故平均每次降价10%

点评：

此类问题属于平均增长率问题，其解答模型为

误区点拨

1忽视方程同解原理，造成漏解

例1方程（x－1）（x－2）＝2（x－2）的根是____________

错解：

由原方程，得x－1＝2，解得x＝3

剖析：

错解错在方程两边同时除以（x－2），违背了方程的同解原理，从而产生了漏解

正解：

由原方程得（x－1）（x－2）－2（x－2）＝0，整理得（x－2）（x－3）＝0，所以方程的解是＝－2，＝3

2忽视检验，导致错误

例2当取何正整数时，方程和方程有一整数公共根

错解：

设方程公共根为，则有①和②，

因为①×2－

（2）得（－3）＝6，、为整数，所以（－3）必为6的约数，所以－3＝±1、±2、±3、±6，解得＝－3、0、1、2、4、、6、9因为是正整数，所以＝1、2、4、、6、9

剖析：

结论看似合理，但经检验当＝1、2、4时，方程无解，不符合要求；当＝9时，方程无整数根，所以只有取、6时符合要求

3忽视分类讨论

例3为何值时关于x的方程有实数根

错解：

由方程有实数根可知△＝≥0，解得≤，即当≤且≠0时，方程有实数根

剖析：

由于题设条未对方程次数做任何规定，所以原方程可以是一元二次方程也可以是一元一次方程，所以错解忽视了对方程次数的分类讨论

正解：

（1）当方程为一元二次方程时，解法同错解；

（2）当方程为一元一次方程时，＝0，此时方程为x＋2＝0，即方程有实数根

综上所述，当≤时，方程有实数根

跟踪训练

1（201•金华）一元二次方程x2＋4x-3=0的两根为x1，x2，则x1•x2的值是（）

A4B-43D-3

2（201•佛）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2，另一边减少了3，剩余一块面积为202的矩形空地，则原正方形空地的边长是（）

A7B89D10

第2题图第题图

3（201•日照）如果，n是两个不相等的实数，且满足2-＝3，n2-n＝3，那么代数式2n2-n＋2＋201＝______

4（201•台州）关于x的方程x＋x-＋1＝0，有以下三个结论：

①当＝0时，方程只有一个实数解；②当≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是______（填序号）

（201•湖北）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12的住房墙，另外三边用2长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为802?

参考答案

21一元一次方程、分式方程及其应用

1B23141

解：

设原计划每天种树x棵，则实际每天栽树的棵数为（1＋20%），由题意,得-

＝2，解得x＝100，经检验x＝100是原分式方程的解，且符合题意，故原计划每天种树100棵

22二元一次方程组及其应用

1B23D49

解：

答案不唯一，如将

（1）、

（2）组合可得方程组，解得

23一元二次方程及其应用

1D2A320264①③

解：

设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为x，可以得出平行于墙的一边的长为（2-2x＋1）

由题意，得x（2-2x＋1）＝80，化简，得x2-13x＋40＝0，解得x1＝，x2＝8

当x＝时，26-2x＝16＞12（舍去），当x＝8时，26-2x＝10＜12，故所围矩形猪舍的长为10，宽为8