解题后的思考:
①在判定两个三角形全等时,至少有一边对应相等;
②不能证明两个三角形全等的是,a:
三个角对应相等,即AAA;b:
有两边和其中一边的对角对应相等,即SSA。
全等三角形是研究两个封闭图形之间关系的基本工具,同时也是移动图形位置的工具。
在平面几何知识的应用中,若要证明线段相等或角相等,或需要移动图形或移动图形元素的位置,常需借助全等三角形的知识。
二、常见证明题:
例3.如图,已知AD=AE,AB=AC.求证:
BF=FC
思路分析:
1)题意分析:
题目中已给出两组对边相等,再找到一组对应的量就可证明全等。
2)解题思路:
由BF和FC分别位于ΔDBF和ΔECF中,因此先证明ΔACD≌ΔABE,再证明ΔDBF≌ΔECF,即可得到BF=FC。
解答过程:
在ΔACD和ΔABE中,
∴ΔACD≌ΔABE(SAS)
∴∠B=∠C
又∵AD=AE,AB=AC.
∴AB-AD=AC-AE
即BD=CE
在ΔDBF和ΔECF中
∴ΔDBF≌ΔECF(AAS)
∴BF=FC
解题后的思考:
利用三角形全等是证明线段相等最常用的方法。
例4.已知:
如图,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E、F,DE=BF,AF=CE.求证:
AB∥CD。
思路分析:
1)题意分析:
本题考查三角形全等的判定。
2)解题思路:
要证AB∥CD,需证∠C=∠A,而要证∠C=∠A,又需证ΔABF≌ΔCDE.由已知BF⊥AC,DE⊥AC,知∠DEC=∠BFA=90°,且已知DE=BF,AF=CE.显然证明ΔABF≌ΔCDE的条件已具备,故可先证两个三角形全等,再证∠C=∠A,进一步证明AB∥CD.
解答过程:
∵DE⊥AC,BF⊥AC(已知)
∴∠DEC=∠BFA=90°(垂直的定义)
在ΔABF与ΔCDE中,
∴ΔABF≌ΔCDE(SAS)
∴∠C=∠A(全等三角形的对应角相等)
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行)
解题后的思考:
利用全等三角形可得角相等,再利用角相等证平行。
例5.已知:
如图,A、D、B三点在同一条直线上,ΔADC、ΔBDO为等腰直角三角形,AO、BC的大小关系和位置关系分别如何?
证明你的结论。
思路分析:
1)题意分析:
本题没有直接给出有待证的结论,而是让同学们先根据已知条件推断出结论,然后再证明所得结论正确性。
2)解题思路:
通过观察,可以猜测:
AO=BC,AO⊥BC.
解答过程:
∵A、B、D在一条直线上,且△ADC、△BDO为等腰直角三角形,
∴∠ADO=∠CDB=90°,
AD=CD,OD=DB
延长AO交BC于E,在ΔADO和ΔCDB中
∴ΔADO≌ΔCDB(SAS)
∴AO=BC,∠OAD=∠BCD(全等三角形对应边、对应角相等)
∵∠AOD=∠COE(对顶角相等)
∴∠COE+∠OCE=90o
∴AO⊥BC
解题后的思考:
用全等三角形可得角相等,再利用角之间的关系证明垂直。
例6.如图,在△ABC中,AB=AC,延长AB到D,使BD=AB,取AB的中点E,连接CD和CE。
求证:
CD=2CE
思路分析:
1)题意分析:
本题证明线段的倍半关系,可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等。
2)解题思路:
此题有些类似于老师之前讲过的截长补短法,所以此题有两种思考方式。
(ⅰ)折半法:
取CD中点F,连接BF,再证ΔCEB≌ΔCFB.这里注意利用BF是ΔACD中位线这个条件。
(ⅱ)加倍法。
解答过程:
方法一:
取CD中点F,连接BF。
∴BF=
AC,且BF∥AC(三角形中位线定理)
∴∠ACB=∠2(两直线平行,内错角相等)
又∵AB=AC
∴∠ACB=∠3(等边对等角)
∴∠3=∠2
又∵AB=AC,E为AB中点,
∴BE=
,
在ΔCEB与ΔCFB中,
∴ΔCEB≌ΔCFB(SAS)
∴CE=CF=
CD(全等三角形对应边相等)
即CD=2CE
方法二:
延长CE到F,使EF=CE,连BF.
在ΔAEC与ΔBEF中,
∴ΔAEC≌ΔBEF(SAS)
∴AC=BF,∠4=∠3(全等三角形对应边、对应角相等)
∴BF∥AC(内错角相等,两直线平行)
∵∠ACB+∠CBF=180o,
∠ABC+∠CBD=180o,
又AB=AC∴∠ACB=∠ABC
∴∠CBF=∠CBD(等角的补角相等)
又∵AC=AB=BD,
∴BF=BD。
在ΔCFB与ΔCDB中,
∴ΔCFB≌ΔCDB(SAS)
∴CF=CD
即CD=2CE
解题后的思考:
关于折半法有时不在原线段上截取一半,而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。
上面这道例题也可这样处理,取AC中点F,连BF(B为AD中点是利用这个办法的重要前提),然后证CE=BF.
例7.如图,已知:
△ABC中,AB=AC,∠A=120°。
AB边上的垂直平分线交BC于D,求证:
DC=2BD
思路分析:
1)题意分析:
本例的证明也是利用线段的倍半关系,但由于已知中给出角度和中垂线条件,所以解题时就不能盲目套用上例思路。
2)解题思路:
由于DC,BD在同一直线上欲证DC=2BD,表面看似不易,但题中给出AB的中垂线,则可以利用中垂线的性质,去转移等量线段。
故连结AD,这样BD=AD,再证明DC=2AD即可,而DC,AD在同一三角形中,且已知∠A=120°,可求∠B=∠C=30°。
将此问题转化成含30°角的直角三角形性质。
解答过程:
连结AD
∵D在AB的垂直平分线上
∴BD=AD
∴∠B=∠1
∵∠BAC=120°,AB=AC
∴∠B=∠C=30°
∴∠DAC=90°
在Rt△DAC中,∠C=30°,则DC=2AD
∴DC=2BD
解题后的思考:
证明一条线段等于另一条线段的2倍,除了可用折半法和加倍法外,还可用含有30°角的Rt△性质;三角形中位线,直角三角形斜边中线等方法,见到线段的垂直平分线,应想到利用它转移等量线段。
小结:
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析,可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。
翻折
如图
(1),BOC≌EOD,BOC可以看成是由EOD沿直线AO翻折180得到的;
(1)
旋转
如图
(2),COD≌BOA,COD可以看成是由BOA绕着点O旋转180得到的;
(2)
平移
如图(3),DEF≌ACB,DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移动而得到的。
(3)
下一讲我们将一起研究三角形中的常用辅助线。
人说几何很困难,难点就在辅助线。
辅助线,如何添?
把握定理和概念。
还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。
三角形
图中有角平分线,可向两边作垂线。
也可将图对折看,对称以后关系现。
角平分线平行线,等腰三角形来添。
角平分线加垂线,三线合一试试看。
线段垂直平分线,常向两端把线连。
线段和差及倍半,延长缩短可试验。
线段和差不等式,移到同一三角形。
三角形中两中点,连接则成中位线。
三角形中有中线,延长中线等中线。
(答题时间:
90分钟)
一、选择题:
1.根据下列已知条件,能惟一画出三角形ABC的是( )
A.AB=3,BC=4,AC=8;B.AB=4,BC=3,∠A=30°;
C.∠A=60°,∠B=45°,AB=4;D.∠C=90°,AB=6
2.在△ABC和△A′B′C′中,AB=A′B′,∠B=∠B′,补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A′B′C′,则补充的这个条件是()
A.BC=B′C′B.∠A=∠A′C.AC=A′C′D.∠C=∠C′
二、填空题
1.如图,已知:
△ABC≌△DBE,∠A=50°,∠E=30°,则∠ADB=度,∠DBC=度。
2.如图,已知:
△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线DE交AC于E,垂足为D,如果∠A=40˚,那么∠BEC=。
三、解答题
1.如图,已知∠MON的边OM上有两点A、B,边ON上有两点C、D,且AB=CD,P为∠MON的平分线上一点。
问:
(1)△ABP与△PCD是否全等?
请说明理由。
(2)△ABP与△PCD的面积是否相等?
请说明理由。
2.如图,在锐角△ABC中,∠ABC=2∠C,∠ABC的平分线与AD垂直,垂足为D,求证:
AC=2BD。
3.如图,已知:
△ABC中,BC=2AB,D、E分别是BC、BD的中点。
求证:
AC=2AE
4.如图,已知:
△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于D,DE∥BC交AB于E,交AC于F。
求证:
BE=EF+CF
一、1.C2.C
二、1.50,202.80˚
三、1.解
(1)不一定全等,因△ABP与△PCD中,只有AB=CD,而其他角和边都有可能不相等,故两三角形不一定全等。
(2)面积相等,因为OP为∠MON角平分线上一点,故P到边AB、CD上的距离相等,即△ABP中AB边上的高与△PCD中CD边上的高相等,又根据AB=CD(即底边也相等),从而△ABP与△PCD的面积相等。
2.提示:
延长AD交BC于点M,证明AD=DM,然后过D点作AC的平行线,由中位线定理和等角对等边得到结论。
3.证明:
延长AE到F,使AE=EF,连结DF,在△ABE和△FDE中,
BE=DE,∠AEB=∠FEDAE=EF∴△ABE≌△FDE(SAS)
∴∠B=∠FDE,DF=AB
∵D为BC中点,且BC=2AB
∴DF=AB=
BC=DC
而:
BD=
BC=AB,∴∠BAD=∠BDA
∠ADC=∠BAD+∠B,∠ADF=∠BDA+∠FDE
∴∠ADC=∠ADF
DF=DC(已证)∴△ADF≌△ADC(SAS)
又∠ADF=∠ADC(已证)
AD=AD(公共边)
∴AF=AC∴AC=2AE
4.证明:
∵DE∥BC
DB平分∠ABC,CD平分∠ACM
∴∠EBD=∠DBC=∠BDE,
∠ACD=∠DCM=∠FDC
∴BE=DE,CF=DF
而:
BE=EF+DF
∴BE=EF+CF