解题后的思考：
①在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；
②不能证明两个三角形全等的是，a：
三个角对应相等，即AAA；b：
有两边和其中一边的对角对应相等，即SSA。
全等三角形是研究两个封闭图形之间关系的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。
在平面几何知识的应用中，若要证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常需借助全等三角形的知识。
二、常见证明题：
例3.如图，已知AD=AE，AB=AC.求证：
BF=FC
思路分析：
1）题意分析：
题目中已给出两组对边相等，再找到一组对应的量就可证明全等。
2）解题思路：
由BF和FC分别位于ΔDBF和ΔECF中，因此先证明ΔACD≌ΔABE，再证明ΔDBF≌ΔECF，即可得到BF=FC。
解答过程：
在ΔACD和ΔABE中，
∴ΔACD≌ΔABE（SAS）
∴∠B=∠C
又∵AD=AE，AB=AC.
∴AB－AD=AC－AE
即BD=CE
在ΔDBF和ΔECF中
∴ΔDBF≌ΔECF（AAS）
∴BF=FC
解题后的思考：
利用三角形全等是证明线段相等最常用的方法。
例4.已知：
如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：
AB∥CD。
思路分析：
1）题意分析：
本题考查三角形全等的判定。
2）解题思路：
要证AB∥CD，需证∠C＝∠A，而要证∠C＝∠A，又需证ΔABF≌ΔCDE.由已知BF⊥AC，DE⊥AC，知∠DEC＝∠BFA=90°，且已知DE=BF，AF=CE.显然证明ΔABF≌ΔCDE的条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证∠C＝∠A，进一步证明AB∥CD.
解答过程：
∵DE⊥AC，BF⊥AC（已知）
∴∠DEC＝∠BFA=90°（垂直的定义）
在ΔABF与ΔCDE中，
∴ΔABF≌ΔCDE（SAS）
∴∠C＝∠A（全等三角形的对应角相等）
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
解题后的思考：
利用全等三角形可得角相等，再利用角相等证平行。
例5.已知：
如图，A、D、B三点在同一条直线上，ΔADC、ΔBDO为等腰直角三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？
证明你的结论。
思路分析：
1）题意分析：
本题没有直接给出有待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论，然后再证明所得结论正确性。
2）解题思路：
通过观察，可以猜测：
AO=BC，AO⊥BC.
解答过程：
∵A、B、D在一条直线上，且△ADC、△BDO为等腰直角三角形，
∴∠ADO=∠CDB=90°，
AD=CD，OD=DB
延长AO交BC于E，在ΔADO和ΔCDB中
∴ΔADO≌ΔCDB（SAS）
∴AO=BC，∠OAD=∠BCD（全等三角形对应边、对应角相等）
∵∠AOD＝∠COE（对顶角相等）
∴∠COE+∠OCE=90o
∴AO⊥BC
解题后的思考：
用全等三角形可得角相等，再利用角之间的关系证明垂直。
例6.如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE。
求证：
CD=2CE
思路分析：
1）题意分析：
本题证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等。
2）解题思路：
此题有些类似于老师之前讲过的截长补短法，所以此题有两种思考方式。
（ⅰ）折半法：
取CD中点F，连接BF，再证ΔCEB≌ΔCFB.这里注意利用BF是ΔACD中位线这个条件。
（ⅱ）加倍法。
解答过程：
方法一：
取CD中点F，连接BF。
∴BF=
AC，且BF∥AC（三角形中位线定理）
∴∠ACB＝∠2（两直线平行，内错角相等）
又∵AB=AC
∴∠ACB＝∠3（等边对等角）
∴∠3＝∠2
又∵AB=AC，E为AB中点，
∴BE=
，
在ΔCEB与ΔCFB中，
∴ΔCEB≌ΔCFB（SAS）
∴CE=CF=
CD（全等三角形对应边相等）
即CD=2CE
方法二：
延长CE到F，使EF=CE，连BF.
在ΔAEC与ΔBEF中，
∴ΔAEC≌ΔBEF（SAS）
∴AC=BF，∠4＝∠3（全等三角形对应边、对应角相等）
∴BF∥AC（内错角相等，两直线平行）
∵∠ACB+∠CBF=180o，
∠ABC+∠CBD=180o，
又AB=AC∴∠ACB=∠ABC
∴∠CBF=∠CBD（等角的补角相等）
又∵AC=AB=BD，
∴BF＝BD。
在ΔCFB与ΔCDB中，
∴ΔCFB≌ΔCDB（SAS）
∴CF=CD
即CD=2CE
解题后的思考：
关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。
上面这道例题也可这样处理，取AC中点F，连BF（B为AD中点是利用这个办法的重要前提），然后证CE=BF.
例7.如图，已知：
△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°。
AB边上的垂直平分线交BC于D，求证：
DC＝2BD
思路分析：
1）题意分析：
本例的证明也是利用线段的倍半关系，但由于已知中给出角度和中垂线条件，所以解题时就不能盲目套用上例思路。
2）解题思路：
由于DC，BD在同一直线上欲证DC＝2BD，表面看似不易，但题中给出AB的中垂线，则可以利用中垂线的性质，去转移等量线段。
故连结AD，这样BD＝AD，再证明DC＝2AD即可，而DC，AD在同一三角形中，且已知∠A＝120°，可求∠B＝∠C＝30°。
将此问题转化成含30°角的直角三角形性质。
解答过程：
连结AD
∵D在AB的垂直平分线上
∴BD＝AD
∴∠B＝∠1
∵∠BAC＝120°，AB＝AC
∴∠B＝∠C＝30°
∴∠DAC＝90°
在Rt△DAC中，∠C=30°，则DC=2AD
∴DC=2BD
解题后的思考：
证明一条线段等于另一条线段的2倍，除了可用折半法和加倍法外，还可用含有30°角的Rt△性质；三角形中位线，直角三角形斜边中线等方法，见到线段的垂直平分线，应想到利用它转移等量线段。
小结：
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。
翻折
如图
（1），BOC≌EOD，BOC可以看成是由EOD沿直线AO翻折180得到的；
（1）
旋转
如图
（2），COD≌BOA，COD可以看成是由BOA绕着点O旋转180得到的；
（2）
平移
如图（3），DEF≌ACB，DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移动而得到的。
（3）
下一讲我们将一起研究三角形中的常用辅助线。
人说几何很困难，难点就在辅助线。
辅助线，如何添？
把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
三角形
图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角形。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
（答题时间：
90分钟）
一、选择题：
1.根据下列已知条件，能惟一画出三角形ABC的是（ ）
A.AB＝3，BC＝4，AC＝8；B.AB＝4，BC＝3，∠A＝30°；
C.∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4；D.∠C＝90°，AB＝6
2.在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠B=∠B′，补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A′B′C′，则补充的这个条件是（）
A.BC=B′C′B.∠A=∠A′C.AC=A′C′D.∠C=∠C′
二、填空题
1.如图，已知：
△ABC≌△DBE，∠A=50°，∠E=30°，则∠ADB=度，∠DBC=度。
2.如图，已知：
△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于E，垂足为D，如果∠A=40˚，那么∠BEC=。
三、解答题
1.如图，已知∠MON的边OM上有两点A、B，边ON上有两点C、D，且AB＝CD，P为∠MON的平分线上一点。
问：
（1）△ABP与△PCD是否全等？
请说明理由。
（2）△ABP与△PCD的面积是否相等？
请说明理由。
2.如图，在锐角△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠ABC的平分线与AD垂直，垂足为D，求证：
AC＝2BD。
3.如图，已知：
△ABC中，BC=2AB，D、E分别是BC、BD的中点。
求证：
AC=2AE
4.如图，已知：
△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于D，DE∥BC交AB于E，交AC于F。
求证：
BE=EF+CF
一、1.C2.C
二、1.50，202.80˚
三、1.解
（1）不一定全等，因△ABP与△PCD中，只有AB＝CD，而其他角和边都有可能不相等，故两三角形不一定全等。
（2）面积相等，因为OP为∠MON角平分线上一点，故P到边AB、CD上的距离相等，即△ABP中AB边上的高与△PCD中CD边上的高相等，又根据AB＝CD（即底边也相等），从而△ABP与△PCD的面积相等。
2.提示：
延长AD交BC于点M，证明AD=DM，然后过D点作AC的平行线，由中位线定理和等角对等边得到结论。
3.证明：
延长AE到F，使AE=EF，连结DF，在△ABE和△FDE中，
BE=DE，∠AEB=∠FEDAE=EF∴△ABE≌△FDE（SAS）
∴∠B=∠FDE，DF=AB
∵D为BC中点，且BC=2AB
∴DF=AB=
BC=DC
而：
BD=
BC=AB，∴∠BAD=∠BDA
∠ADC=∠BAD+∠B，∠ADF=∠BDA+∠FDE
∴∠ADC=∠ADF
DF=DC（已证）∴△ADF≌△ADC（SAS）
又∠ADF=∠ADC（已证）
AD=AD（公共边）
∴AF=AC∴AC=2AE
4.证明：
∵DE∥BC
DB平分∠ABC，CD平分∠ACM
∴∠EBD=∠DBC=∠BDE，
∠ACD=∠DCM=∠FDC
∴BE=DE，CF=DF
而：
BE=EF+DF
∴BE=EF+CF
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