学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5讲义模块复习精要 复习课三不等式 Word版含答案.docx

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学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5讲义模块复习精要复习课三不等式Word版含答案

　　　　复习课（三）　不等式

一元二次不等式

一元二次不等式和一元二次方程、一元二次函数三者构成一个统一的整体．贯穿于高中数学的始终，更是高考的重点内容，在考题中有时单独对某类不等式的解法进行考查，一般以小题形式出现，难度不大，但有时在解答题中与其它知识联系在一起，难度较大．

解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系，其中二次函数的零点是联系这三个“二次”的枢纽．

（1）确定ax2＋bx＋c>0（a>0）或ax2＋bx＋c<0（a>0）在判别式Δ>0时解集的结构是关键．在未确定a的取值情况下，应先分a＝0和a≠0两种情况进行讨论．

（2）若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a的符号和方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，再由根与系数的关系就可知a，b，c之间的关系．

（3）解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：

①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论．

[典例]　

（1）已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1

A.　　　B.

C．{x|－21}

（2）解关于x的不等式ax2－2ax＋a＋3＞0.

[解析]　

（1）由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根．由根与系数的关系得⇒

∴不等式2x2＋bx＋a<0，即2x2＋x－1<0.

解得－1

[答案]　A

（2）解：

当a＝0时，解集为R；

当a＞0时，Δ＝－12a＜0，∴解集为R；

当a＜0时，Δ＝－12a＞0，方程ax2－2ax＋a＋3＝0的两根分别为，，

∴此时不等式的解集为.

综上所述，当a≥0时，不等式的解集为R；a＜0时，不等式的解集为.

[类题通法]

解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．

1．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是（1，m），则m＝________.

解析：

根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax2－6x＋a2＝0的一个根，即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3，当a＝2时，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是（1,2），符合要求；当a＝－3时，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是（－∞，－3）∪（1，＋∞），不符合要求，舍去．故m＝2.

答案：

2

2．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}．

（1）求a，b的值；

（2）解不等式ax2－（ac＋b）x＋bc<0.

解：

（1）因为不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，b>1且a>0.由根与系数的关系，得解得

（2）不等式ax2－（ac＋b）x＋bc<0，

即x2－（2＋c）x＋2c<0，即（x－2）（x－c）<0.

当c>2时，不等式（x－2）（x－c）<0的解集为{x|2

当c<2时，不等式（x－2）（x－c）<0的解集为{x|c

当c＝2时，不等式（x－2）（x－c）<0的解集为∅.

所以，当c>2时，不等式ax2－（ac＋b）x＋bc<0的解集为{x|2

当c<2时，不等式ax2－（ac＋b）x＋bc<0的解集为{x|c

当c＝2时，不等式ax2－（ac＋b）x＋bc<0的解集为∅.

简单的线性规划问题

高考中线性规划主要考查平面区域的表示和图解法的具体应用，命题形式以选择题、填空题为主，命题模式是以线性规划为载体，考查区域的划分、区域的面积，涉及区域的最值问题、决策问题、整点问题、参数的取值范围问题等．

1．确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧

确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．

2．利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是

（1）在平面直角坐标系内作出可行域．

（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．

（3）确定最优解：

在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．

（4）求最值：

将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．

[典例]　

（1）设变量x，y满足约束条件：

则目标函数z＝的最小值为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

（2）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（　　）

A．36万元B．31.2万元

C．30.4万元D．24万元

[解析]　

（1）不等式组所表示的平面区域如图中的△ABC，目标函数的几何意义是区域内的点与点P（0，－1）连线的斜率，显然图中AP的斜率最小．由解得点A的坐标为（2,1），故目标函数z＝的最小值为＝1.

（2）设对项目甲投资x万元，对项目乙投资y万元，

则

目标函数z＝0.4x＋0.6y.作出可行域如图所示，由直线斜率的关系知目标函数在A点取最大值，代入得zmax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2，所以选B.

[答案]　

（1）A　

（2）B

[类题通法]

（1）求目标函数最值的一般步骤为：

一画、二移、三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．

（2）在约束条件是线性的情况下，线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值．在解答选择题或者填空题时也可以根据可行域的顶点直接进行检验．

1．不等式组表示的平面区域的面积为（　　）

A．4B．1

C．5D．无穷大

解析：

选B　不等式组表示的平面区域如图所示（阴影部分），△ABC的面积即为所求．求出点A，B，C的坐标分别为（1,2），（2,2），（3,0），则△ABC的面积为S＝×（2－1）×2＝1.

2．已知实数x，y满足若z＝y－ax取得最大值时的最优解（x，y）有

无数个，则a＝________.

解析：

依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z＝y－ax取得最大值时的最优解（x，y）有无数个，则直线z＝y－ax必平行于直线y－x＋1＝0，于是有a＝1.

答案：

1

3．某公司用两种机器来生产某种产品，第一种机器每台需花3万日元及人民币50元的维护费；第二种机器则需5万日元及人民币20元的维护费．第一种机器的年利润每台有9万日元，第二种机器的年利润每台有6万日元，但政府核准的外汇日元为135万元，并且公司的总维护费不得超过1800元，为了使年利润达到最大值，第一种机器应购买________台，第二种机器应购买________台．

解析：

设第一种机器购买x台，第二种机器购买y台，总的年利润为z万日元，则目标函数为z＝9x＋6y.

不等式组表示的平面区域如图阴影部分中的整点．

当直线z＝9x＋6y经过点M，即到达l1位置时，z取得最大值，但题目要求x，y均为自然数，故进行调整，调整到与M邻近的整数点（33,7），此时z＝9x＋6y取得最大值，即第一种机器购买33台，第二种机器购买7台获得年利润最大．

答案：

33　7

基本不等式

考试中单纯对不等式性质的考查并不多，但是不等式作为工具几乎渗透到各个考点，所以其重要性不言而喻．而利用基本不等式求最值，解决实际问题是考试的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中、低档题．

基本不等式的常用变形

（1）a＋b≥2（a>0，b>0），当且仅当a＝b时，等号成立；

（2）a2＋b2≥2ab，ab≤2（a，b∈R），当且仅当a＝b时，等号成立；

（3）＋≥2（a，b同号且均不为零），当且仅当a＝b时，等号成立；

（4）a＋≥2（a>0），当且仅当a＝1时，等号成立；a＋≤－2（a<0），当且仅当a＝－1时，等号成立．

[典例]　

（1）若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是（　　）

A.B.

C．5D．6

（2）若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是（　　）

A.B.

C．2D.

[解析]　

（1）由x＋3y＝5xy可得＋＝1，

∴3x＋4y＝（3x＋4y）＝＋＋＋≥＋＝5当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立，

∴3x＋4y的最小值是5.

（2）由x>0，y>0，得4x2＋9y2＋3xy≥2×（2x）×（3y）＋3xy（当且仅当2x＝3y时等号成立），∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.

[答案]　

（1）C　

（2）C

[类题通法]

条件最值的求解通常有两种方法：

一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．

1．若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为（　　）

A．3B．4

C．5D．6

解析：

选B　依题意，因为＋＝1，

∴（a－1）（b－1）＝1，

因此＋≥2＝4，

当且仅当＝，

即a＝，b＝3时“＝”成立．

2．设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为________．

解析：

＝5＋＋4x2y2≥5＋2＝9，当且仅当x2y2＝时“＝”成立．

答案：

9

绝对值不等式

绝对值不等式主要考查解法及简单的应用，题目难度中档偏下，着重考查学生的分类讨论思想及应用能力．

1．公式法

|f（x）|>g（x）⇔f（x）>g（x）或f（x）<－g（x）；

|f（x）|

2．平方法

|f（x）|>|g（x）|⇔[f（x）]2>[g（x）]2.

3．零点分段法

含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．

4．对于不等式恒成立求参数范围问题，常用分离参数法、更换主元法、数形结合法解决．

[典例]　已知f（x）＝|ax＋1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．

（1）求a的值；

（2）若≤k恒成立，求k的取值范围．

[解]　

（1）由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2.

又f（x）≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，所以当a≤0时，不合题意．

当a＞0时，－≤x≤，得a＝2.

（2）法一：

记h（x）＝f（x）－2f，

则h（x）＝所以|h（x）|≤1，

因此k的取值范围是[1，＋∞）．

法二：

＝||2x＋1|－2|x＋1||

＝2≤1，

由≤k恒成立，

可知k≥1，

所以k的取值范围是[1，＋∞）．

[类题通法]

解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，化成不含绝对值的不等式，其一是依据绝对值的意义；其二是先令每一个绝对值等于零，找到分界点，通过讨论每一区间内的代数式的符号去掉绝对值．

1．不等式|2x＋1|－2|x－1|＞0的解集为________．

解析：

原不等式即|2x＋1|＞2|x－1|，两端平方后解得12x＞3，即x＞.

答案：

2．设关于x的不等式lg（|x＋3|＋|x－7|）＞a.

（1）当a＝1时，解此不等式；

（2）当a为何值时，此不等式的解集是R.

解：

（1）当a＝1时，lg（|x＋3|＋|x－7|）＞1，

⇔|x＋3|＋|x－7|＞10，

⇔或或

⇔x＞7或x＜－3.

所以不等式的解集为{x|x＜－3或x＞7}．

（2）设f（x）＝|x＋3|＋|x－7|，则有f（x）≥|（x＋3）－（x－7）|＝10，当且仅当（x＋3）（x－7）≤0，

即－3≤x≤7时，f（x）取得最小值10.

∴lg（|x＋3|＋|x－7|）≥1.

要使lg（|x＋3|＋|x－7|）＞a的解集为R，只要a＜1.

1．若＜＜0，则下列不等式不正确的是（　　）

A．a＋b＜ab　　　　　　　B.＋＞0

C．ab＜b2D．a2＞b2

解析：

选D　由＜＜0，可得b＜a＜0，故选D.

2．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b等于（　　）

A．－3B．1

C．－1D．3

解析：

选A　由题意：

A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}．A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根与系数的关系可知：

a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3.

3．函数y＝（x＞1）的最小值是（　　）

A．2＋2B．2－2

C．2D．2

解析：

选A　∵x＞1，

∴x－1＞0.

∴y＝＝

＝

＝

＝x－1＋＋2

≥2＋2（当且仅当x－1＝，即x＝＋1时等号成立）．

4．不等式|x－2|－|x－1|＞0的解集为（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选A　不等式|x－2|－|x－1|＞0即|x－2|＞|x－1|，平方化简可得2x＜3，解得x＜，故选A.

5．已知圆C：

（x－a）2＋（y－b）2＝1，平面区域Ω：

若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为（　　）

A．5B．29

C．37D．49

解析：

选C　由已知得平面区域Ω为△MNP内部及边界．∵圆C与x轴相切，∴b＝1.显然当圆心C位于直线y＝1与x＋y－7＝0的交点（6,1）处时，amax＝6.∴a2＋b2的最大值为62＋12＝37.故选C.

6．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为（　　）

A．0B．1

C.D．3

解析：

选B　由x2－3xy＋4y2－z＝0，得z＝x2－3xy＋4y2，

∴＝＝.

又x，y，z为正实数，∴＋≥4，即≤1，

当且仅当x＝2y时取等号，此时z＝2y2.

∴＋－＝＋－

＝－2＋＝－2＋1，

当＝1，即y＝1时，上式有最大值1.

7．若x，y满足约束条件则的最大值为________．

解析：

画出可行域如图阴影部分所示，

∵表示过点（x，y）与原点（0,0）的直线的斜率，

∴点（x，y）在点A处时最大．

由得

∴A（1,3）．

∴的最大值为3.

答案：

3

8．设正数a，使a2＋a－2>0成立，若t>0，则logat________loga（填“>”“≥”“≤”或“<”）．

解析：

因为a2＋a－2>0，所以a<－2或a>1，

又a>0，所以a>1，

因为t>0，所以≥，

所以loga≥loga＝logat.

答案：

≤

9．若实数x，y满足约束条件已知点（x，y）所表示的平面区域为三角形，则实数k的取值范围为________，又z＝x＋2y有最大值8，则实数k＝________.

解析：

作出一元二次不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．要想点（x，y）所表示的平面区域为三角形，则B（2,2）必须在直线2x－y＝k的右下方，即2×2－2>k，则k<2，则实数k的取值范围为（－∞，2）．

观察图象可知，当直线z＝x＋2y过点A时，z有最大值，联立解得即A，代入z＝x＋2y中，即＋2×＝8，解得k＝－4.

答案：

（－∞，2）　－4

10．已知函数f（x）＝|x－2|.

（1）解不等式：

f（x＋1）＋f（x＋2）＜4；

（2）已知a＞2，求证：

对任意x∈R，f（ax）＋af（x）＞2恒成立．

解：

（1）f（x＋1）＋f（x＋2）＜4，即|x－1|＋|x|＜4，

①当x≤0时，不等式为1－x－x＜4，即x＞－，

∴－＜x≤0是不等式的解；

②当0＜x≤1时，不等式为1－x＋x＜4，即1＜4恒成立，∴0＜x≤1是不等式的解；

③当x＞1时，不等式为x－1＋x＜4，即x＜，

∴1＜x＜是不等式的解．

综上所述，不等式的解集为.　

（2）证明：

∵a＞2，

∴f（ax）＋af（x）＝|ax－2|＋a|x－2|

＝|ax－2|＋|ax－2a|＝|ax－2|＋|2a－ax|≥|ax－2＋2a－ax|＝|2a－2|＞2，

∴对任意x∈R，f（ax）＋af（x）＞2恒成立．

11．某外商到一开发区投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设f（n）表示前n年的纯利润总和．

（注：

f（n）＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额）

（1）从第几年开始获利？

（2）若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：

①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；

②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂；

问哪种方案最合算？

为什么？

解：

由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，∴f（n）＝－2n2＋40n－72.

（1）获利就是要求f（n）>0，所以－2n2＋40n－72>0，解得2

（2）①年平均利润＝＝40－2≤16.

当且仅当n＝6时取等号．

故此方案共获利6×16＋48＝144（万美元），此时n＝6.

②f（n）＝－2（n－10）2＋128.

当n＝10时，f（n）max＝128.

故第②种方案共获利128＋16＝144（万美元），

故比较两种方案，获利都是144万美元．

但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案最合算．

12．已知α，β是方程x2＋ax＋2b＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a，b∈R，求的最大值和最小值．

解：

设f（x）＝x2＋ax＋2b，

由题意f（x）在[0,1]和[1,2]上各有一个零点，

∴即

建立平面直角坐标系aOb，则上述不等式组表示的平面区域如图．

由

解得即C（－3,1）．

令k＝，可以看成动点P（a，b）与定点A（1,3）的连线的斜率．

又B（－1,0），C（－3,1），则kAB＝，kAC＝，

∴≤≤.

故的最大值是，最小值是.