高层办公楼电梯问题.docx
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高层办公楼电梯问题
高层办公楼电梯问题
摘要
伴随着经济的发展，在高楼大厦内电梯成为我们不可缺少的工具，然而，如何在一栋高楼中合理的调度电梯群仍然是一个待解决的问题，本题对此实际问题建立模型，进行求解验证。
针对第一问，我们需要合理安排电梯群，使电梯在一定时间内将所有的乘客运输到目的地，并使乘客们的等待时间最短，尽量避免出现扎堆儿情况。
我们首先运用牛顿第二定律求出了路程与速度的函数关系式，考虑到电梯正常运行的过程中可能达不到最大速度就减速停止，我们分别给出了电梯运行过程中达到最大速度和未达到最大速度的函数关系式。
然后我们结合实践确定使用分组服务的理论。
由题意确定优化模型的目标函数，再重点分析电梯在服务层数中间运行情况，求出时间的表达式，求出乘客的消耗在等待电梯过程中的等待时间，列出约束方程。
期间我们对随机变量S与H（或者L）进行了概率求解与均值求解，这样便可代入牛顿第二定律下的时间与路程的函数方程进行时间求解。
最后列出一系列的方程，但由于此模型建立的方程为整数非线性方程，我们未能运用数学软件进行求解，故通过Excle表格中的统计分析的数据先进行主观的分组，再代入约束方程进行调整，直到找出满足题意的方案。
最后找出了在不同角度下的较优方案：
从乘客角度考虑，两台电梯负责2至13楼，两台负责14到22楼，两台负责23至30楼；若从电梯的利用率方面来看，两台负责2至13楼，四台负责14至30楼。
第二问我们利用动态规划建立了基本的动态规划模型，将基本的动态规划模型运用运筹学的解题步骤进行求解。
关键词：
分组优化枚举法VisualC++6.0动态规划
一、问题重述
问题背景：
商用写字楼在上班时段内人数较多，导致底楼等待电梯的地方人山人海，常常碰到快要迟到但等了好长时间电梯还没来的情况，这使得候梯人员万分焦急，故需要设计一个合理调动电梯的有效方案。
问题条件：
（1）上班时段为早上八点二十到九点；
（2）第一层的高度为7．62m，从第二层起相邻楼层之间的高度均为3．9lm；
（3）电梯由速度0线性增加到全速，其加速度为1.22m／s2；
（4）电梯的容量为19人．每个乘客上、下电梯的平均时间分别为0.8s和0.5s，开关电梯门的平均时间为3s，其它损失时间（如果考虑的话）为上面3部分时间总和的10％；
（5）底楼最大允许等侯时间最好不超过1分钟；
（6）第一问电梯的最大运行速度是304.8m／min，第二问可设选用电梯的最大速度分别是243.8m／min，304.8m／min，365.8m／min。
提出问题：
第一问：
假如现有6部电梯，请你设计一下电梯调运方案，使得在这段时间内电梯能尽可能地把各层楼的人流快速送到，减少候梯时间。
第二问：
在第一问的基础上重新安装改造电梯，并且考虑电梯的安装成本，比如用较少的电梯比更多的电梯花费少，一个速度慢的电梯比一个速度快的电梯花费少，能选用电梯分别有快速，中速，慢速三种，请给管理者写一个方案，提出一些合理的建议来实现。
二、模型假设
1、由于在上班高峰期，每次电梯都满载（最后一趟例外）；
2、只考虑从一楼运送至各个确定的楼层，不考虑从其他层进入电梯的人数；
3、人流高峰期间，电梯每次运送完成以后，立即返回一楼，并且电梯下行过程中不作停留；
4、电梯时刻可以保持正常工作，在此期间不会出现故障；
5、人流量服从均匀分布；
6、N个快速电梯比N+1个慢速电梯花费少；
3、符号说明
1、f——从二楼以上两层之间的距离，即f=3.91单位：
m；
2、f1——一楼至二楼的高度，即f1=7.62单位：
m；
3、T——电梯运行一个来回的周期单位：
s；
4、N——每组电梯服务的层数；单位：
层；
5、n——分配给每组的电梯的个数；单位：
个；
6、H——每组电梯到达的最高层；单位：
层；
7、L——每组电梯服务的最低层；单位：
层；
8、M——需要运送的总人数，即M=5948单位：
个；
9、m——电梯运载容量，即m=19单位:
个；
10、S——电梯在每次运送过程中实际停留的站数单位:
个；
11、a——电梯匀变速过程中的加速度单位：
m/
；
12、v——电梯的运行速度单位：
m/s；
13、s——电梯运行的路程单位：
m；
14、E（S）——每组电梯运送过程中实际停留站数的期望值单位：
个；
15、E（H）——每组电梯实际到达最高层数的期望值单位：
层；
16、Ni——第i组电梯所服务的楼层数单位：
层；
17、ci——第i类电梯的成本单位：
元；
18、
——建筑物从2楼开始分为a段的分隔点单位：
个；
4、问题分析
第一问：
本题需要解决怎样合理安排调度电梯群在一定时间内运送各个人至目的地，此问中已知给出的电梯各个参数均完全相同，电梯的运载能力也相同，我们通过举例计算发现将30层的大楼分组，将电梯分组，使不同组的电梯分别控制不同分组的楼层的这种方法比较优越，充分地利用了资源，不会过多的出现空梯运行的情况，而且通过举例计算发现电梯群负责的楼层最好是相邻连续的楼层，而非控制间断阶跃的楼层，在解答过程中也可发现此问题。
我们主要集中求解各组电梯组运行的周期，保证在题目中给出的时间段内完成任务，并且使得人的等待时间最少来进行分组和安排电梯的数目。
此后我们沿着这条思路：
即需解决哪几台电梯负责哪几层楼层使得在固定时间内完成任务而且人的平均等待时间又达到最小的问题，首先我们运用牛顿第二定律求出时间和电梯运行路程的分段函数关系式，求出临界路程s0=21.15m，即只有当s>s0时，电梯才能加速达到最大速度，此时Nmin=5层，其时间和路程的函数关系式如下：
其中：
v表示电梯运行的最大速度5.08m/s；
我们以第i组的运行情况为例考虑分析，其分析过程如下：
第i组中共有ni台电梯服务Ni层楼层，其负责服务的最底层楼层为第L层，最高层楼层为第H层，电梯每次上行运载过程中在这N层楼层中间停留的实际站数为S个，我们可以知道，电梯在开始运送至完成任务的时间内总共跑了M/m趟，若其不为整数，则共跑了[M/m]+1趟（[]代表取整）。
我们设定的人流源是均匀分布的，即我们只考虑每个人的等待时间仅仅消耗在犹豫电梯运送上一拨人的时间上，而不考虑其人流的排队等待时间情况，可是对于第i组电梯来说，每次进入电梯的人并不是均匀分布的，即来自不同层数的人的数量也不是均匀分布的，而是随机的，所以对于没有人下的楼层，电梯可以没有必要再停下，所以对负责第i组楼层的电梯组每一趟运载所停留的实际站数可能有偏差，而对于时间路程函数关系式来说里边的变量必须是一个过程的均值情况，故我们需要求出第i组电梯所负责的楼层的最高（最低）楼层数的期望均值E（H）（E（L））和实际停留站数的期望均值E（S）。
第二问：
在第一问的基础上融入了对电梯成本的考虑。
在本问中我们假设X个快速电梯比X+1个慢速电梯成本低。
由于电梯分组问题可以看做从下到上逐步进行分组的一个过程，并且可以将电梯的分组过程作为一个动态过程看待，为此我们将建筑物从2楼开始分为a段，分割点为
，且第i组电梯的个数、类型和服务楼层分别为
、
和第
到
所有的人员。
另一方面电梯的分组问题事实上是对于整个楼层进行分段，从而可以初步定义状态变量
应该包含第k组电梯服务范围
而对应的决策变量
，即决策过程就是确定下一组满足约束条件的电梯数量即电梯类型。
由于决策
的费用与第k组电梯的类型
有关，从而该过程具有明显的后效性。
为了消除后效性，一般采用将引起后效性的因素作为状态变量的新分量。
这样可得电梯问题的动态规划模型。
五、模型的建立与求解
第一问中：
（1）为了研究在一楼上所有电梯的运行情况必须了解电梯的停靠次数S及位置，由于乘客随机分布在电梯服务范围内的任意楼层，从而电梯运行中的停靠次数及停靠位置也是随机变量。
由此可得电梯完成运送乘客且返回一楼所需要的时间由以下几个部分组成：
第一部分：
电梯上下乘客的时间、开关门的时间以及其他损耗时间
第二部分：
电梯从一楼到达所服务的第一站所用的时间
第三部分：
电梯从服务的第一站到服务的最后一站所用的时间
第四部分：
电梯从服务的最后一站直接下到一楼所用的时间
综合以上四部分可得电梯的运行周期：
然而考虑到乘客在任一层楼下的概率是相同的均为
，对于满载的电梯而言至少有一个在第i层下的概率为
由于此问题属于离散型分布问题故可得其期望值为
。
另一方面，电梯所到达服务的最高层数H也是随机变量，因此需要求出其期望值。
首先我们令任意乘客在第j站之前下电梯的概率为
故可得所有乘客在第j站之前下电梯的概率为
随机变量H也属于离散分布由此可推出
由以上分析可知电梯的运行周期为
（2）由于乘客所等待的时间最好不超过一分钟并且在人流量均匀分布的情况下乘客等待的时间等价于每组电梯运行的时间间隔
。
考虑到要求等待时间最短，同一组中各个电梯必须均匀分布在他们所服务的楼层。
设第i组有
个电梯组成，则间隔时间为：
（3）第i组电梯所服务的区域内的最高楼层层号为Hi、最低层层号为Li，则
（4）由于第i组所含的电梯数为
并且总共有六部电梯，所以
（5）目标函数的建立，题中要求设计的电梯运行方案应尽可能地减少侯梯时间，由此可知目标函数应使乘客的等待时间最短即电梯运行的时间间隔最短，故建立目标函数：
由以上分析可建立模型如下：
sit
第一问模型求解：
由于模型为整数非线性规划问题直接求解难度比较大，所以我们根据各层人数分布运用列举的方法进行求解。
首先我们对i进行赋值，大致将整个楼层分为2或者3或者4部分让电梯进行分组运行。
在每组中我们可以安排偶数或者奇数个电梯，但根据实践表明在安排电梯的时候应尽量在每组中安排奇数部电梯（通过我们的列举得出的结果与此相符），所以我们尽量在每组中安排奇数部电梯。
实际中我们要兼顾高层乘客和低层乘客，时他们的等待时间不致相差太大，这时，有两种方法可以解决此问题：
高楼层多分派电梯；或者随着楼层高度的增加，楼数减少，同时我们要考虑同一组中不同楼层总人数间差别不大，以便提高电梯的利用率。
楼层
人数
概率
最少电梯数
取整
1
—
—
—
—
2
208
0.03497
10.94736842
11
3
177
0.029758
9.315789474
10
4
222
0.037323
11.68421053
12
5
130
0.021856
6.842105263
7
6
181
0.03043
9.526315789
10
7
191
0.032112
10.05263158
11
8
236
0.039677
12.42105263
13
9
236
0.039677
12.42105263
13
10
139
0.023369
7.315789474
8
11
272
0.04573
14.31578947
15
12
272
0.04573
14.31578947
15
13
272
0.04573
14.31578947
15
14
270
0.045393
14.21052632
15
15
300
0.050437
15.78947368
16
16
264
0.044385
13.89473684
14
17
200
0.033625
10.52631579
11
18
200
0.033625
10.52631579
11
19
200
0.033625
10.52631579
11
20
200
0.033625
10.52631579
11
2l
207
0.034802
10.89473684
11
22
207
0.034802
10.89473684
11
23
207
0.034802
10.89473684
11
24
207
0.034802
10.89473684
11
25
205
0.034465
10.78947368
11
26
205
0.034465
10.78947368
11
27
140
0.023537
7.368421053
8
28
136
0.022865
7.157894737
8
29
132
0.022192
6.947368421
7
30
132
0.022192
6.947368421
7
SUM
5948
在列举的过程中我们本着将人数相当且相邻的楼层数分在一组，计算每一部分电梯运行的中期并由此求出电梯运行的时间间隔看是否满足乘客等待的最大时间。
我们根据表中的各项数据进行主观的分析并对楼层进行初步的划分。
计算其周期进而计算人的最大时间然后进行微调。
（一）当i=4的时候，即将楼层分为四组进行服务，由表中可知此种情况最佳的分配方案应该将6部电梯做以下安排：
n1=1，n2=2，n3=2，n4=1。
从后四层可以看出，他们人数相当且和倒数第五层差距较大，故我们们分为一组，计算出的T4=101.14s间隔时间T间=T4/1=101.14>>60;所以此方案不行。
（二）当i=3的时候，即将楼层分为三组进行服务，即n1=n2=n3=2.。
（1）L1=2，H1=10；T1=105.63s<2*60=120s由于105.63<<120，为保证服务高层的电梯能够完成任务，所以可以将第一组再加一层，即H11=11，T11=107.88s<120s，所以可继续进行加层，即H12=12，T12=115.53s<120s,所以可以将第一组再加一层，即H13=13,T13=118.84,所以可以将第一组再加一层，即H14=14,T14>120s,即等待时间超过60s，所以不合理,H1=13较合适。
（2）L2=14，H2=22；得出T2=119.36s<120s，所以可在第二组上再加一层，即H22=23，此时T22=127.01s>120s不合适，所以H2=22；
（3）L3=23，H3=30；得出T3=127.06s，由于第三阶段两台电梯未能满足乘客等待时间小于60s，所以此种方案不可行。
但可以知道此时此种方案为i=2中的最优方案。
（三）当i=2的时候，即将楼层分为两组进行服务调运，且每组的电梯数为偶数，n1=2，n2=4。
（1）由i=3时可以看出当n1=2时，最多可负责到13楼，即H1=13,T1=118.84s<120s；
（2）L2=14，H2=30，T2=156.41s<240s，所以满足等待时间约束，此种情况符合要求。
通过计算周期我们可以看出此种分配虽然达到了满足等待条件的约束，但对于第一组中时间用的比较紧张，乘客们等待的时间也相应的稍微长了平均等待时间T等待=118.84/2=59.42s，接近于极限等待时间，但对于第二组来说四部电梯工作，其乘客的平均等待时间为156.41/4=39.1s，显然对于两组的分配不太合理，两组应该平均等待时间相差不大才可，也缩短了两组完成任务的时间差。
故我们继续进行改进。
即让第一组的周期减小，以下我们又试验了几组，当L1=2,H1=12;L2=13,H2=30时，T1=115.53s,但T2=156.76s；当L1=2,H1=11;L2=12,H2=30时，T1=107.88s，但T2=156.92s，我们的目的是为了缩短期间的距离，尽量让两者同步完成任务。
通过列举可以看出当H1=13时为i=2时的最优方案。
经分析满足等待时间约束的为i=2，n1=2，n2=4时的情况，下面我们验证运载能力的约束，即四十分钟内这样的安排能否将M人运送至目的地：
利用Excle表格求出两组的总人数分别为：
R1=2536个，R2=3412个，计算可得：
第一组中的两台电梯一台运送66趟，另一台运送67趟才可完成任务，所需最大总时间为53*T1=7932s>2400s；第二组中的四台电梯两台运送44趟，两台运送45趟，所需最大总时间T2=7021s>2400s，故此种方案不能作为电梯的安排方案，不合题意。
下面对i=3时最合适方案的运载能力的检验：
R1=2536个，R2=2048个，R3=1364个，第一组中的两台电梯一台运送66趟，另一台运送67趟，所需最大总时间为T1=7931.01；第二组中的电梯一台运送53趟，另一台运送54趟,所需最大总时间为T2=6432.88s；第三组中的一台运送35趟，另一台运送36趟，所需总时间为T3=4500.6s。
综上两种方案均不可能满足题目中的要求：
乘客的等待时间最短，而且保证在2400s内将M个人运送至目的地。
所以我们择优选取，对于i=3，三组的平均等待时间相差不大，但完成任务的需要的时间相差很大，第三组比第一组电梯群先完成任务近50分钟，不是合适的选择；对于i=2，两边乘客的平均等待时间相差比较大，但两组近乎同时完成任务。
二者各有优缺点，从乘客角度考虑，其希望等待时间相差不大而且较短，故此时选择i=3时的情况，即L1=2,H1=13;L2=14,H2=22;L3=23,H3=30.若从电梯的利用率方面来看，我们希望所有的电梯都能在高峰期充分的得到利用，故此时选择i=2时的安排方案。
即L1=2,H2=13;L2=14,H2=30。
但这两种方案均满足不了题中的要求，在侧重点不同的情况下对他们进行择优选择。
第二问中我们令状态变量
，决策变量
且费用函数为：
上述给定的动态规划模型基本符合动态规划由后向前进行递推求解的要求，其中唯一的差别在于电梯分的组数恰好为对应动态规划的阶段数，即阶段数a并非确定。
由于a<=29为有限值，从而可以独立的求解a=1,2,3……，z这z个不同动态规划问题，最后再从中选择最优解。
根据以上分析，构造电梯问题动态规划模型求解算法如下：
（1）、定义费用函数F（k、L、j）表示从L楼开始分为k组电梯且最下面一组电梯类型为j时得到的最优费用，显然当k=0或L=n+1时，F（k、L、j）=0，故最后状态可表示为
令k=0。
（2）、对任意2<=L（3）令k=k+1，如果k<29，则继续第二步，否则继续求解。
（4）计算ck=min｛F（k，2，j）｝1<=j<=S，k=1，……29和c=min｛ck｝。
注明：
在（4）中ck为恰好将电梯分为k组时，电梯的最优费用，而c为最优目标，将每次达到最小的过程逆推，即可得到楼层分组，电梯数量及类型的最优解。
六、模型的评价
和大多数模型一样本模型是在合理的假设基础之上建立的具有一定的不足。
例如：
1、模型中忽略了人群到达一楼进行排队的情况，也就是人群等待的情况，因为在实际情况中人流到达不可能完全服从均匀分布，针对这种情况我们在研究电梯的调度的时候应将排队的思想加入其中，研究出一种基于排队论的电梯调度模型，这样更贴近实际情况。
2、本题中所建立的模型是针对上班高峰期时候的，模型中我们假设电梯在运送完成以后在下行的过程中不出现停留，但是电梯在下行的过程出现停留的情况还是有的。
正是由于此原因所以本模型只适用于上班或者下班高峰期时候的电梯调度，若要将此模型运用于平常时期的电梯调度则要进行双向考虑，即上行下行同时考虑运送人数的多少以及所要达到的目的楼层，此时电梯在上行下行期间都是要考虑他的停止的。
3、在第二问中由于快速电梯与慢速电梯的成本并没有详细的给出，我们在没有进行实地调查的基础上假设X部快速电梯的成本要比X+1部慢速电梯的成不低4、本模型的最大不足之处就是求解过程过于主观，采用枚举法说服力不足，第一问中若是精通C语言本模型可完全使用C语言程序进行仿真模拟来求解最优解，先画出求解流程图然后使用C语言进行实现。
第二问中所建立的动态规划模型也可以使用maple数学软件进行求解，这样改进求解方式会是本模型更加严密。
虽然具有不足点但是本模型扩展运用的空间还是很广阔的，在加以改进的基础上可将此模型运用到各种交通工具的调度中，譬如：
公交车；轮渡……再者电梯的加速度应是一个可控变量，这样既能调节电梯运行的时间也能使电梯里的乘客感觉更加的舒适。
在解决本问题的过程中我们遇到了一下难题：
1）列举过程中对每组电梯组时间周期的求解
在求解过程中我们发现E（S）的值与N的值十分逼近，这也是我们设定E（S）的表达式所决定的，E（S）与N的趋近使得出现电梯停止两站间距离>s0的概率很小，可以认为在确定电梯组负责的楼层处电梯是近似逐层停止，防止电梯出现空梯上行情况，所以我们通过查阅资料并举例验证得到电梯在不定运行情况下的时间求法。
虽然我们设定人流量均匀分布，但电梯在每一层楼停止的概率也需说明，下面的建立模型过程中会给出。
2）每组电梯在各自服务的楼层中间实际停留站数的概率与每层楼人数的关系
开始我们仅仅考虑到电梯在服务的每层楼中停留的概率与服务层数N有关，但后来又考虑到受服务的每层楼上的人数不同，故需要将这两种因素同时考虑才比较准确，后来发现不需这样考虑，由于电梯控制层数时相邻连续的，而且底楼人流的均匀分布，故每层下的概率相等均与N有关，每楼层上的总人数仅仅影响了每次满载时在此楼层上下去的乘客的数量，而非在此楼停得概率。
3）于电梯是运送工具所以它可能会在不同的楼层停留，而这个停留楼层是不确定的，但是如果电梯在运送过程当中的停留楼层不知道我们也就无法算出电梯最高所达到的高度、电梯停留损耗的时间以及电梯处于运动的时间，由此这一系列的未知量都无法算出，所以电梯运行周期就无法求出，模型就无法建立。
考虑到电梯停留的层数是一个随机变量所以我们引入数学中的概率的思想来进行求解：
求出乘客在每一层下的概率，进而求出m（19）人中至少有一人在某一层下的概率，由此概率并结合电梯的分组情况我们就可以求出电梯运送过程中停留站数的数学期望E（S）。
电梯实际所达到的最高层也是一个随机变量，所以我们采用概率论进行求解。
4）的求解过程对我们来说是一个最大的挑战，由于此模型是整数非线性模型，在几次使用C语言编程不成功的情况下我们选择了枚举法进行求解。
在使用枚举法的开始阶段我们无从下手，但后来发现问题该问题属于典型的分组优化问题，在此基础上我们运用实际论证即：
每组内的电梯数目为偶数的情况要优于奇数的情况，这样就将列举的范围大大地缩小了。
七、参考文献
1、谢金星，姜启源《数学模型》，高等教育出版社，2005年；
2、胡运权《运筹学》，清华大学出版社，2003年；
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