第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式.docx

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第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式

第二节

同角三角函数的基本关系与诱导公式

一、基础知识批注——理解深一点

1．同角三角函数的基本关系

（1）平方关系：

sin2α＋cos2α＝1；

（2）商数关系：

tanα＝.

平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋（k∈Z）．

2．诱导公式

一

二

三

四

五

六

2kπ＋

α（k∈Z）

π＋α

－α

π－α

－α

＋α

sinα

－sinα

－sinα

sinα

cosα

cos_α

cosα

－cosα

cosα

－cos_α

sinα

－sinα

tanα

tanα

－tanα

－tan_α

诱导公式可简记为：

奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·＋α（k∈Z）”中的k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k·＋α（k∈Z）”中，将α看成锐角时，“k·＋α（k∈Z）”的终边所在的象限.

二、常用结论汇总——规律多一点

同角三角函数的基本关系式的几种变形

（1）sin2α＝1－cos2α＝（1＋cosα）（1－cosα）；

cos2α＝1－sin2α＝（1＋sinα）（1－sinα）；

（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα.

（2）sinα＝tanαcosα.

三、基础小题强化——功底牢一点

（1）若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.（　　）

（2）若α∈R，则tanα＝恒成立．（　　）

（3）sin（π＋α）＝－sinα成立的条件是α为锐角．（　　）

答案：

（1）×　

（2）×　（3）×

（二）选一选

1．已知sinα＝，则tanα＝（　　）

A．－2　B．2

C.D．－

解析：

选D　因为≤α≤π，所以cosα＝－

＝－＝－，所以tanα＝＝－.

2．若角α的终边过点A（2,1），则sin＝（　　）

A．－B．－

C.D.

解析：

选A　由题意知cosα＝＝，

所以sin＝－cosα＝－.

3．已知tanθ＝2，则＋sin2θ的值为（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选C　原式＝＋sin2θ＝＋＝＋，将tanθ＝2代入上式，则原式＝.

（三）填一填

4．若sinθcosθ＝，则tanθ＋＝________.

解析：

tanθ＋＝＋＝＝2.

答案：

2

5．sin2490°＝________；cos＝________.

解析：

sin2490°＝sin（7×360°－30°）＝－sin30°＝－.

cos＝cos＝cos

＝cos＝－cos＝－.

答案：

－　－

[典例]　

（1）已知f（α）＝，则f的值为________．

（2）已知cos＝，则sin＝________.

[解析]　

（1）因为f（α）＝

＝＝cosα，

所以f＝cos＝cos＝.

（2）sin＝－sin＝－sin＝－sin＝－sin＝－cos＝－.

[答案]　

（1）　

（2）－

[解题技法]

1．学会巧妙过渡，熟知将角合理转化的流程

也就是：

“负化正，大化小，化到锐角就好了．”

2．明确三角函数式化简的原则和方向

（1）切化弦，统一名．

（2）用诱导公式，统一角．

（3）用因式分解将式子变形，化为最简．

也就是：

“统一名，统一角，同角名少为终了．”

诱导公式就是好，负化正后大化小；

π的一半整数倍，奇数变化偶不变；

函数符号问象限，两个函数看左边．

[题组训练]

1.已知tanα＝，且α∈，则cos＝________.

解析：

法一：

cos＝sinα，由α∈知α为第三象限角，

联立解得5sin2α＝1，故sinα＝－.

法二：

cos＝sinα，由α∈知α为第三象限角，由tanα＝，可知点（－2，－1）为α终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sinα＝－.

答案：

－

2.sin（－1200°）·cos1290°＋cos（－1020°）·sin（－1050°）＋tan945°＝________.

解析：

原式＝sin（－3×360°－120°）cos（3×360°＋180°＋30°）＋cos（－3×360°＋60°）sin（－3×360°＋30°）＋tan（2×360°＋180°＋45°）＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan45°＝＋＋1＝2.

答案：

2

3.已知tan＝，则tan＝________.

解析：

tan＝tan＝tan＝－tan＝－.

答案：

－

考点二　同角三角函数的基本关系及应用

[典例]　

（1）若tanα＝2，则＋cos2α＝（　　）

A.　　　　　　　　B．－

C.D．－

（2）已知sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值为（　　）

A.B．±

C．－D．－

[解析]　

（1）＋cos2α

＝＋

＝＋，

将tanα＝2代入上式，则原式＝.

（2）因为sinαcosα＝，所以（cosα－sinα）2＝cos2α－2sinαcosα＋sin2α＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，因为<α<，所以cosα

所以cosα－sinα＝－.

[答案]　

（1）A　

（2）D

[解题技法]

同角三角函数基本关系的3个应用技巧

弦切互化

利用公式tanα＝实现角α的弦切互化

和（差）积转换

利用（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα进行变形、转化

巧用“1”的变换

1＝sin2α＋cos2α＝cos2α（tan2α＋1）＝sin2α

[题组训练]

1．（2018·甘肃诊断）已知tanφ＝，且角φ的终边落在第三象限，则cosφ＝（　　）

A.B．－

C.D．－

解析：

选D　因为角φ的终边落在第三象限，所以cosφ<0，因为tanφ＝，

所以解得cosφ＝－.

2．已知tanθ＝3，则sin2θ＋sinθcosθ＝________.

解析：

sin2θ＋sinθcosθ＝＝＝＝.

答案：

3．已知＝5，则sin2α－sinαcosα＝________.

解析：

由已知可得sinα＋3cosα＝5（3cosα－sinα），

即sinα＝2cosα，所以tanα＝＝2，

从而sin2α－sinαcosα＝＝＝＝.

答案：

4．已知－π<α<0，sin（π＋α）－cosα＝－，则cosα－sinα的值为________．

解析：

由已知，得sinα＋cosα＝，

sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝，

整理得2sinαcosα＝－.

因为（cosα－sinα）2＝1－2sinαcosα＝，

且－π<α<0，所以sinα<0，cosα>0，

所以cosα－sinα>0，故cosα－sinα＝.

答案：

A级——保大分专练

1．已知x∈，cosx＝，则tanx的值为（　　）

A.　　　　　　　　　　B．－

C.D．－

解析：

选B　因为x∈，所以sinx＝－＝－，所以tanx＝＝－.

2．（2019·淮南十校联考）已知sin＝，则cos的值为（　　）

A．－B.

C.D．－

解析：

选A　∵sin＝，∴cos＝cos＝－sin＝－.

3．计算：

sin＋cos的值为（　　）

A．－1B．1

C．0D.－

解析：

选A　原式＝sin＋cos

＝－sin－cos＝－－＝－1.

4．若＝，则tanθ的值为（　　）

A．1B．－1

C．3D．－3

解析：

选D　因为＝＝，

所以2（sinθ＋cosθ）＝sinθ－cosθ，

所以sinθ＝－3cosθ，所以tanθ＝－3.

5．（2018·大庆四地六校调研）若α是三角形的一个内角，且sin＋cos＝，则tanα的值为（　　）

A．－B．－

C．－或－D．不存在

解析：

选A　由sin＋cos＝，

得cosα＋sinα＝，∴2sinαcosα＝－<0.

∵α∈（0，π），∴sinα>0，cosα<0，

∴sinα－cosα＝＝，

∴sinα＝，cosα＝－，

∴tanα＝－.

6．在△ABC中，sin＝3sin（π－A），且cosA＝－cos（π－B），则△ABC为（　　）

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等腰直角三角形D．等边三角形

解析：

选B　将sin＝3sin（π－A）化为cosA＝3sinA，则tanA＝，则A＝，将cosA＝－cos（π－B）化为cos＝cosB，则cosB＝，则B＝，故△ABC为直角三角形．

7．化简：

＝________.

解析：

＝＝sin2θ.

答案：

sin2θ

8．化简：

·sin（α－π）·cos（2π－α）＝________.

解析：

原式＝·（－sinα）·cosα

＝·（－sinα）·cosα

＝·（－sinα）·cosα＝－sin2α.

答案：

－sin2α

9．sin·cos·tan的值为________．

解析：

原式＝sin·cos·tan

＝··

＝××（－）＝－.

答案：

－

10．（2019·武昌调研）若tanα＝cosα，则＋cos4α＝________.

解析：

tanα＝cosα⇒＝cosα⇒sinα＝cos2α，故＋cos4α＝＋cos4α＝sinα＋＋cos4α＝sinα＋＋sin2α＝sin2α＋sinα＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝1＋1＝2.

答案：

2

11．已知α为第三象限角，

f（α）＝.

（1）化简f（α）；

（2）若cos＝，求f（α）的值．

解：

（1）f（α）＝

＝＝－cosα.

（2）∵cos＝，

∴－sinα＝，从而sinα＝－.

又∵α为第三象限角，

∴cosα＝－＝－，

∴f（α）＝－cosα＝.

12．已知sinα＝，求tan（α＋π）＋的值．

解：

因为sinα＝>0，

所以α为第一或第二象限角．

tan（α＋π）＋

＝tanα＋＝＋

＝.

①当α为第一象限角时，cosα＝＝，

原式＝＝.

②当α为第二象限角时，cosα＝－＝－，

原式＝＝－.

综合①②知，原式＝或－.

B级——创高分自选

1．已知sinα＋cosα＝，α∈（0，π），则＝（　　）

A．－B.

C.D．－

解析：

选A　因为sinα＋cosα＝，

所以（sinα＋cosα）2＝1＋2sinαcosα＝，

所以sinαcosα＝－，又因为α∈（0，π），

所以sinα>0，cosα<0，所以cosα－sinα<0，

因为（cosα－sinα）2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，

所以cosα－sinα＝－，

所以＝＝＝＝－.

2．已知θ是第一象限角，若sinθ－2cosθ＝－，则sinθ＋cosθ＝________.

解析：

∵sinθ－2cosθ＝－，

∴sinθ＝2cosθ－，

∴2＋cos2θ＝1，

∴5cos2θ－cosθ－＝0，

即＝0.

又∵θ为第一象限角，∴cosθ＝，

∴sinθ＝，∴sinθ＋cosθ＝.

答案：

3．已知关于x的方程2x2－（＋1）x＋m＝0的两根分别是sinθ和cosθ，θ∈（0,2π），求：

（1）＋的值；

（2）m的值；

（3）方程的两根及此时θ的值．

解：

（1）原式＝＋

＝＋

＝＝sinθ＋cosθ.

由条件知sinθ＋cosθ＝，

故＋＝.

（2）由已知，得sinθ＋cosθ＝，sinθcosθ＝，

因为1＋2sinθcosθ＝（sinθ＋cosθ）2，

所以1＋2×＝2，解得m＝.

（3）由

得或

又θ∈（0,2π），故θ＝或θ＝.

故当sinθ＝，cosθ＝时，θ＝；

当sinθ＝，cosθ＝时，θ＝.