万有引力与天体运动.docx

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万有引力与天体运动

合肥一六八中学研究性学习报告课程开题报告

组长：

刘蒙蒙

组员：

王弘毅、陆宇婷

指导老师：

***

康德曾经说过:

能充实心灵的东西，乃是闪烁着星星的苍穹，以及我内心的道德律。

浩渺的宇宙以其深邃与及梦幻般的色彩，吸引我们三人来探讨她，以及她背后的定理：

万有引力由于本学期物理，万有引力是一大重点，这一项活动也实际上也是对课本知识的巩固与提高。

同时，为了做好这份工作，我们还涉猎了许多课本所没有的东西，只为集百家之言，出全新观点。

--刘蒙蒙、王弘毅、陆宇婷

万有引力与天体运动

如今，在距离地球数百公里以外，无数个人造卫星在以不同周期绕地球飞翔；月亮已不再是遥不可及的虚幻；距离地球数忆光年的星系已被哈勃望远镜尽收眼底，但这一切的起源，都要归因于数学、物理的发展，归因于五个世纪前开始的探索。

引力的历史

在哥白尼之前，宇宙的中心一直被认为是地球，是为托勒密的地心说，这只是由于人们的主观观察所得出的结论，直到哥白尼大胆提出日心说，1609年，开普勒揭示了地球和诸行星都在椭圆轨道上绕太阳公转，发展了哥白尼的日心说，同年，伽利略·伽利雷则率先用望远镜观测天空，用大量观测事实证实了日心说的正确性。

虽然后来也被证明是片面的，太阳，以及其所绕行的银河系都是再平凡不过了，但它却为认知的进步起到关键作用。

第谷·布拉赫经过长期的观测，于1627年由其助手开普勒出版《鲁道夫天文表》，其精确度之高是同时代人所无法企及的，是近代天文学的奠基人；开普勒在其基础上，大胆尝试各类宇宙模型，竟无一符合，直至他创造性的提出椭圆轨道，这一尝试吻合第谷的观测，后来又相继提出两个定理，开普勒三大定理，应运而生：

一．轨道定理：

所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上运动。

太阳的位置不在轨道中心，而在轨道的两个焦点之一。

二．面积定律：

在同样的时间里，行星向径在其轨道平面上所扫过的面积相等。

三．周期定理：

行星公转周期的平方与公转轨道的半长轴的立方成正比。

揭示了行星运动的内在关系，开普勒被后世学者尊称为“天空立法者”他的工作也为另一位科学家奠基：

艾萨克·牛顿。

牛顿是一位多产的物理学家，数学家，他在伽利略等前人的基础上提出物体运动的三大定理，以微积分为工具，建立起一个井然有序的世界，被誉为“近代物理学之父”。

循着牛顿的思路，并将之简化为圆周运动，现对万有引力定律进行推导与检验

近似为圆周运动时：

F=mrω²ω=2π/T

F=4π²mr/T²

由开普勒第三定理：

T²=ka³（近似为r）

F∝m/r²

由牛顿第三定理F=-F´

F=GMm/r²（G为常量）

如果重力和星体间的引力是同一性质的力，都与距离的二次方成正比关系，那么月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度就应该是地面重力加速度的1/3600，因为月心到地心的距离是地球半径的60倍。

由万有引力提供向心力：

a=GM/r²=gR²/r²=×10^（-3）m/s²

实际向心力a=4π²r/T²=×10^（-3）m/s²在误差范围之内。

牛顿在实际证明中遵循事实，根据开普勒第三定律、从离心定律演化出的向心力定律及数学上微积分概念，才用几何法证明椭圆轨道上也满足引力平方反比关系。

1843年亚当斯通过计算得出天王星外还有一颗行星的轨迹，后来人们果然在那里找到了第八颗行星，成了物理学史上人们津津乐道的成就。

但是，牛顿的公式中，G值到底是多少一直无法知晓，直到卡文迪许的扭秤实验，精确地得出G=×10^-11N·m^2/kg^2。

卡文迪许，英国物理学家、化学家，他性格孤僻，生前在物理学方面发表论文极少，以致人们不清楚他做该实验的时间。

卡文迪许用一个大质量的铁球和一个质量小的铁球分别放在扭秤的两端。

扭秤中间用一根韧性很好的钢丝系在支架上，钢丝上有个小镜子。

用一道平行光照射镜子，光点反射到一个很远的地方，标记

下此时光点所在位置。

用两个质量一样的铁球同时分别吸引扭秤上的两个铁球。

由于万有引力作用。

扭秤微微偏转。

但光源所反射的远点却移动了较大的距离。

他用此计算出了万有引力公式中的常数G。

此实验巧妙之处在于将微弱的力的作用进行放大，尤其是光的反射，扭秤实验此后被频繁借鉴，开创了弱力测量的新时代。

F=GMm/r²一直被奉为真理，只是水星的近日点每世纪要比牛顿力学多43弧秒，困扰了一代代人们。

的直到20世纪初，一位名叫爱因斯坦的人用他的理论解释了这一现象，也揭示了引力的本质，即时空弯曲。

广义相对论认为，在具有质量的物体周围的空间中，时间变慢，空间是“弯曲”的。

1907年，爱因斯坦提出了其“一生中最幸福的想法”——在自由下落过程中，人感觉不到引力，并以此为基础，于1915~1916年发表了描述时间、空间和万有引力关系的理论——广义相对论。

颠覆了牛顿的经典力学（牛顿的万有引力公式只是宏观物体低速运动时的近似定理）。

尽管现实生活几乎不存在光速级别的运动，但它解释了

近现代物理学许多牛顿力学无法解释的现象也为现代物理学发展铺平了道路（右图为爱因斯坦场方程）。

我们假设在宇宙空间中，有个穿过地球和苹果的二维平面，且该平面由于两者存在质量而发生凹陷。

于是，两者周围的平面变得弯曲，出现了一个斜面，该斜面的倾斜相当于三维空间的弯曲。

由于地球的质量远大于苹果，实际上地球并没有移动，只有苹果向地球移动，才有苹果掉落地面的现象。

限于知识水平，我们只能讨论牛顿的万有引力定律，G=Mm/r²。

推论一.密度均匀的球壳对壳内物体万有引力为0.

如右图，质点在均匀球壳内，取球壳上很小一个圆弧面，

则该圆弧面可视为平面，质量为Δm₁=πr²ρ,引力为F₁=GMπr²ρ/x²（x质点到圆弧面的距离），

则该圆弧面以质点为中心在球的另一侧的投影

Δm₂=πρ[（2R-x）r/x]²,

引力F₂=GMπρ[（2R-x）r/x]²/（2R-x）²=GMπr²ρ/x²=F₁,

方向相反，合力为零

故质点所受球壳引力为零

推论二.在匀质球体内部距离球心ｒ处，质点受到的万有引力等于半径为ｒ的球体的引力

由推论一知，质点所处球壳以外的体积对质点引力为零，即证。

假设地球上有个隧道贯穿地球，在不考虑阻力和地球自转的情况下，抛出一个物体，那么它的运动周期是多少呢事实上

靠近地面的卫星绕行周期；

在引力场强g=kg的均匀引力场中，摆长为地球半径的单摆运动周期；

在实际地球引力场中，摆长为无限长的单摆运动周期；

以上运动周期都是相等的，大约是84分钟，在此不做证明。

宇宙速度

第一宇宙速度：

从地球表面向宇宙空间发射人造地球卫星、行星际和恒星际飞行器所需的最低速度s，物体只有达到这个速度才能不落回地面。

V=squ（Rg）=s

第二宇宙速度：

 航天器脱离地球引力场所需的最低速度s,小于该速度而大于s的物体无法摆脱地球引力的束缚。

推导：

物体在地球引力下移动dxm,则dW=GMm/x²·dx,

两边同时积分，得W=GMm/r

所以距地心为r的物体有引力势能E=-GMm/r,

设航天器在无穷远处动能为0，由机械能守恒，知

mv²/2=GMm/R,即v=squ（2gR）=s.

第三宇宙速度：

克服地球和太阳引力所需最小速度s,推导过程类似于第二宇宙速度推导。

与重力的关系

由于地球自转的存在，重力其实只是万有引力的分力，在赤道上，重力达到最小为s,两极最大，为s。

应用万有引力公式的变形，我们可以得到一些计算公式：

ρ=3πr₁²/4T²r₂²=3g/4πgr₂

（r₁为卫星轨道半径，r₂为中心天体半径）

M=4π²R³/GT²

（R为卫星轨道半径）

结合上文推出的万有引力势能，即可解决简单的万有引力问题。

例如，从地球表面与竖直方向上成α角的方向发射一质量为m的导弹，初速度v=squ（GM/R），M为地球质量，R为地球半径，忽略空气阻力和地球自转的影响，求导弹上升最大高度。

易求得最大高度H=Rcosα,类似的问题不胜枚举。

天体运动

星系1924年美国天文学家埃德温·哈勃根据形态将星系分成4类，被称为“哈勃音叉图”，后来又略有补充。

理论上认为银行系中心有一质量超大的黑洞，质量约为太阳400万倍，银河系的质量相当于1000亿倍太阳的质量，（为×10^41kg），正是由于万有引力的缘故，才使分散的恒星聚在一起。

恒星恒星诞生于以氢为主，并且有氦和微量其他重元素的云气坍缩。

一旦核心有足够的密度，有些氢就可以经由核聚变转换成氦。

恒星内部多余的能量经过辐射和对流组合的携带作用传输出来。

恒星内部的压力则阻止了恒星在自身引力下的崩溃。

一旦在核心的氢燃料耗尽，质量不少于太阳质量的恒星，将膨胀成为红巨星，在某些情况下更重的化学元素会在核心或包围着核心的几层燃烧。

这样的恒星将发展进入简并状态，部分被回收进入星际空间环境的物质，将使下一代恒星诞生时重元素的比例增加。

大部分恒星是成群结队的，组成星团，也有独来独往的，例如太阳就是。

有的恒星结伴而行，称为双星，一般是质量相近的两颗恒星组成的

1844年，德国天文学家贝塞尔根据它的移动路径出现的波浪图形推断天狼星是一颗双星，因为该星在附近空间中沿一条呈波形的轨迹运动。

天狼星及其伴星都在偏心率颇大的轨道上互相绕转，绕转的周期是年，平均距离约为日地距离的20倍。

尽管亮星光芒四射，用大望远镜还是不难看到那颗7等的伴星。

伴星的质量与太阳差不多，它的半径却只有太阳的1/50，密度则比太阳大得多，平均密度为30㎏/立方厘米,是第一颗被发现的白矮星。

通过计算，我们不难得出一些简单的结论（简化为圆周运动）：

双星的轨道半径之比m₂:

m₁

F=Gm₁m₂/L²=m₁w²r₁=m₂w²r₂

所以r₁：

r₂=m₂:

m₁

L是双星距离,所以m₁轨道半径r₁=Lm₂/（m₁+m₂）,r₂=Lm₁/（m₁+m₂）

（2）双星的周期、角速度之比1:

1

两者转速相同

m₁w²r₁=Gm₁m₂/L²

算出w就是双星的角速度

（3）双星的线速度之比

v₁=wr₁

v₂=wr₂

v₁：

v₂=r₁:

r₂

彗星彗星，是进入太阳系内亮度和形状会随日距变化而变化的绕日运动的天体，呈云雾状的独特外貌。

彗星分为彗核、彗发、彗尾三部分。

彗核由冰物质构成，当彗星接近恒星时，彗星物质升华，在冰核周围形成朦胧的彗发和一条稀薄物质流构成的彗尾。

由于太阳风的压力，彗尾总是指向背离太阳的方向形成一条很长的彗尾。

彗尾一般长几千万千米，最长可达几亿千米。

彗星的形状像扫帚，所以俗称扫帚星。

彗星的运行轨道多为抛物线或双曲线，少数为椭圆。

目前人们已发现绕太阳运行的彗星有1600多颗。

最负盛名的彗星是哈雷彗星，由英国天文学家哈雷首先认识到是同一颗彗星的回归，他的再次回归要等到2061年左右。

万有引力的认识与运用，是人类科技的一大进步与发展，它为我们揭示了浩瀚天空背后的奥秘，以及天体运动的规律，也人类更加深入地认识到自己在宇宙中的地位，启发人们去探索更广袤的宇宙空间。

*部分摘自XX百科、《科学世界》杂志、NASA官网等。

总结与反思

万有引力是四种基本力之一，对它的研究方法其实也是我们研究其他物理量，学习物理的方法。

万有引力的曲折历史、万有引力推导与计算、天体运动一节又一节地做出来，我们也得出一些结论

1.物理的发展从来没有坦途，爱因斯坦在学习万有引力定律时绝对没有想到他将亲手推翻它；

2.物理需要创新，纠结于旧的思路，往往不会有什么突破；

3.物理要尊重事实，没有纸上谈兵的物理，如此次研究性学习中的星体观测。

此次研究性学习也有不足，自己的东西并不多，除了物理书上，

网上的东西，剩下的只有少部分是我在竞赛书上自学得来的，知识仍需汲取，能力有待提高。