小学奥数791 概率教师版.docx
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小学奥数791概率教师版
7-9-1.概率
教学目标
“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象 兼有应用性和趣味性，其内容及延
伸贯穿于初等数学到高等数学，因此成为小学数学中新增内容．
1.能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题．
2.运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题．
3.理解和运用概率性质进行概率的运算．
知识要点
一、概率的古典定义
如果一个试验满足两条：
⑴试验只有有限个基本结果；
⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的．
这样的试验，称为古典试验．对于古典试验中的事件 A ，它的概率定义为：
P （A） = m ， n 表示该试验中
n
所有可能出现的基本结果的总数目， m 表示事件 A 包含的试验基本结果数．小学奥数中所涉及的概率都属于
古典概率．其中的 m 和 n 需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出．
二、对立事件
对立事件的含义：
两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么这两个事件叫作对立事件
如果事件 A 和 B 为对立事件（互斥事件），那么 A 或 B 中之一发生的概率等于事件 A 发生的概率与事件 B
发生的概率之和，为 1，即：
P （A） + P （B ） = 1．
三、相互独立事件
事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．
如果事件 A 和 B 为独立事件，那么 A 和 B 都发生的概率等于事件 A 发生的概率与事件 B 发生的概率之
积，即：
P （A ⋅ B ） = P （A）⋅ P （B ） ．
例题精讲
模块一、概率的意义
【例 1】 气象台预报“本市明天降雨概率是 80%”．对此信息，下列说法中正确的是________．
①本市明天将有 80%的地区降水． ②本市明天将有 80%的时间降水．
③明天肯定下雨．④明天降水的可能性比较大．
【考点】概率的意义【难度】1 星【题型】填空
【关键词】希望杯，决赛
7-9-1.概率.题库教师版page 1 of 10
【解析】降水概率指的是可能性的大小，并不是降水覆盖的地区或者降水的时间． 80%的概率也不是指肯定
下雨，100%的概率才是肯定下雨．80%的概率是说明有比较大的可能性下雨．
【答案】④
【例 2】 约翰与汤姆掷硬币，约翰掷两次，汤姆掷两次，约翰掷两次，……，这样轮流掷下去．若约翰连续
两次掷得的结果相同，则记 1 分，否则记 0 分．若汤姆连续两次掷得的结果中至少有 1 次硬币的
正面向上，则记 1 分，否则记 0 分．谁先记满 10 分谁就赢．赢的可能性较大（请填汤
姆或约翰）．
【考点】概率的意义【难度】2 星【题型】填空
【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第 7 题
【解析】连续扔两次硬币可能出现的情况有（正，正）；（正，反）；（反，正）；（反，反）共四种情况。
约翰
扔的话，两种情况记 1 分，两种情况记 0 分；汤姆扔的话三种情况记 1 分，一种情况记 0 分。
所以
汤姆赢得的可能性大。
【答案】汤姆
【例 3】 在某个池塘中随机捕捞 100 条鱼，并给鱼作上标记后放回池塘中，过一段时间后又再次随机捕捞
200 尾，发现其中有 25 条鱼是被作过标记的，如果两次捕捞之间鱼的数量没有增加或减少，那么
请你估计这个池塘中一共有鱼多少尾？
【考点】概率的意义【难度】2 星【题型】解答
【解析】 200 尾鱼中有 25 条鱼被标记过，没所以池塘中鱼被标记的概率的实验得出值为25 ÷ 200 = 0.125 ，
所以池塘中的鱼被标记的概率可以看作是 0.125 ，池塘中鱼的数量约为100 ÷ 0.125 = 800 尾．
【答案】 800
【例 4】 一个小方木块的六个面上分别写有数字 2 、 3 、 5 、 6 、 7 、 9 ，小光、小亮两人随意往桌面上扔放
这个木块．规定：
当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数，得1 分．当小亮扔时，如果朝上的一
面写的是奇数，得1 分．每人扔100 次，______得分高的可能性比较大．
【考点】概率的意义【难度】2 星【题型】填空
【解析】因为 2 、 3 、 5 、 6 、 7 、 9 中奇数有 4 个，偶数只有 2 个，所以木块向上一面写着奇数的可能性较
大，即小亮得分高的可能性较大．
【答案】小亮得分高的可能性较大
【例 5】 一个骰子六个面上的数字分别为 0 ，1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ，现在来掷这个骰子，把每次掷出的点数依
次求和，当总点数超过12 时就停止不再掷了，这种掷法最有可能出现的总点数是＿＿＿＿.
【考点】概率的意义【难度】4 星【题型】填空
【解析】掷的总点数在 8 至 12 之间时，再掷一次，总点数才有可能超过 12 （至多是 17 ）．当总点数是 8 时，
再掷一次，总点数是13 的可能性比总点数超过13 的可能性大．当总点数在 9 至12 之间时，再掷一次，
总点数是13 的可能性不比总点数是14 ，15 ， 16 ，17 的可能性小．
例如，总点数是11时，再掷一次，出现05 的可能性相同，所以总点数是11 16 的可能性相同，即
总数是13 的可能性不比总数点数分别是14 ， 15 ，16 的可能性小，综上所述，总点数是13 的可能性
最大．
【答案】总点数是13 的可能性最大．
【例 6】 从小红家门口的车站到学校，有1 路、 9 路两种公共汽车可乘，它们都是每隔10 分中开来一辆．小
1
红到车站后，只要看见1 路或 9 路，马上就上车，据有人观察发现：
总有 路车过去以后 3 分钟就来
9 路车，而 9 路车过去以后 7 分钟才来1 路车．小红乘坐______路车的可能性较大．
【考点】概率的意义【难度】4 星【题型】填空
【解析】首先某一时刻开来1 路车，从此时起，分析乘坐汽车如下表所示：
分钟12345678910111213141516171819
车号1999111111199911111
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显然由上表可知每10 分钟乘坐1 路车的几率均为 7 ，乘坐 9 路车的几率均为 3 ，因此小红乘坐1 路
1010
车的可能性较大．
【答案】1 路车的可能性较大
模块二、计数求概率
【例 7】如图所示，将球放在顶部，让它们从顶部沿轨道落下，球落到底部的从左至右的概率依次是_______．
【考点】计数求概率【难度】3 星【题型】填空
【解析】每到一个岔口，球落入两边的机会是均等的，因此，故从左至右落到底部的概率依次为 1 、 1 、 3 、
1648
1 、 1 ．
416
【答案】左至右落到底部的概率依次为 1 、 1 、 3 、 1 、 1 ．
1648416
【例 8】 一辆肇事车辆撞人后逃离现场，警察到现场调查取证，目击者只能记得车牌是由2 、3 、5 、7 、9
五个数字组成，却把它们的排列顺序忘记了，警察在调查过程中，如果在电脑上输入一个由这五个
数字构成的车牌号，那么输入的车牌号正好是肇事车辆车牌号的可能性是______．
【考点】计数求概率【难度】3 星【题型】填空
【解析】警察在调查过程中，在电脑上输入第一个数字可能是2 、 3 、 5 、 7 、 9 中的任何一个，有5 种可能，
第二位数字有 4 种可能，……，第五位数字有 1 种可能，所以一共有 5 ⨯ 4 ⨯ 3 ⨯ 2 ⨯1 = 120 种可能，则
输入正确车牌号的可能性是 1 ．
120
【答案】 1
120
【例 9】分别先后掷 2 次骰子，点数之和为 6 的概率为多少?
点数之积为 6 的概率为多少?
【考点】计数求概率【难度】3 星【题型】解答
【解析】根据乘法原理，先后两次掷骰子出现的两个点数一共有6 ⨯ 6 = 36 ．
将点数为 6 的情况全部枚举出来有：
（1,5） （2,4 ） （3,3） （4,2 ） （5,1）
点数之积为 6 的情况为：
（1,6 ）（2,3 ）（3,2 ）（6,1）
两个数相加和为 6 的有 5 组，一共是 36 组，所以点数之和为 6 的概率是 5 ；
36
点数之积为 6 的概率为 4 = 1 ．
369
【答案】
（1） 5 ，
（2） 1
36
9
【例 10】 甲、乙两个学生各从 09 这 10 个数字中随机挑选了两个数字（可能相同），求：
⑴这两个数字的
差不超过 2 的概率，⑵两个数字的差不超过 6 的概率．
【考点】计数求概率【难度】3 星【题型】解答
【解析】⑴两个数相同（差为 0）的情况有10 种，
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两个数差为1 有 2 ⨯ 9 = 18 种，
两个数的差为 2 的情况有 2 ⨯ 8 = 16 种，
所以两个数的差不超过 2 的概率有 10 + 18 + 16 = 11 ．
10 ⨯1025
⑵两个数的差为 7 的情况有 2 ⨯ 3 种．
两个数的差为 8 的情况有 2 ⨯ 2 = 4 种．
两个数的差为 9 的情况有 2 种．
所以两个数字的差超过 6 的概率有 6 + 4 + 2 = 3 .
10 ⨯1025
两个数字的差不超过 6 的概率有1 - 3 = 22 .
2525
【答案】
（1） 11 ，
（2） 22
2525
【例 11】 工厂质量检测部门对某一批次的10 件产品进行抽样检测，如果这10 件产品中有两件产品是次品，
那么质检人员随机抽取 2 件产品，这两件产品恰好都是次品的概率为多少？
这两件产品中有一件是
次品的概率为多少？
这两件产品中没有次品的概率为多少？
【考点】计数求概率【难度】3 星【题型】解答
【解析】从 10 件产品中选择 2 件一共有 C 2 = 45 种情况.
10
所以这两件产品恰好都是次品的概率为 1 ．
45
两件产品中有一件次品的情况有 C1 ⨯ C1 = 16 种情况，所以两件产品中有一件次品的概率为 16 .
28
两件产品中都不是次品的概率有 C 2 = 28 种情况，所以两件产品都不是次品的概率为 28 .
8
【答案】
（1） 1 ，
（2） 16 ，（3） 28
454545
【例 12】 一个班有女生 25 人,男生 27 人,任意抽选两名同学,恰好都是女生的概率是几分之几?
【考点】计数求概率【难度】3 星【题型】解答
25 ⨯ 24
2
从全体学生中任意抽出两个人有 52 ⨯ 51 = 1326 种不同的方法．计算概率：
300 = 50 ．
21326221
【答案】 50
221
【例 13】 从 6 名学生中选 4 人参加知识竞赛，其中甲被选中的概率为多少？
【考点】计数求概率【难度】3 星【题型】解答
6 ⨯ 5 ⨯ 4 ⨯ 3
4 ⨯ 3 ⨯ 2 ⨯1
其中， 4 人中包括甲的不同组合相当于在 5 名学生中选 3 人所以一共有 5 ⨯ 4 ⨯ 3 = 10 种．
3 ⨯ 2 ⨯1
所以甲被选择上的概率为 10 = 2 ．
153
法二：
显然这 6 个人入选的概率是均等的．
即每个人作为一号选手入选的概率为 1 ，作为二号入选的概率为 1 ，作为三号入选的概率为 1 ，
666
作为四号入选的概率为 1 ，对于单个人“甲”来说，他以头号、二号、三号、四号入选的情况是
6
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互斥事件，所以他被入选的概率为 1 + 1 + 1 + 1 = 2 ．
66663
【答案】 2
3
【例 14】 一块电子手表，显示时与分，使用12 小时计时制，例如中午12 点和半夜12 点都显示为12:
00 ．如
果在一天（24 小时）中的随机一个时刻看手表，至少看到一个数字“1”的概率是______．
【考点】计数求概率【难度】3 星【题型】填空
【关键词】学而思杯，6 年级，1 试，第 8 题
【解析】一天当中，手表上显示的时刻一共有12 ⨯ 60 = 720 种．
其中冒号之前不出现1 的情况有 2、3、4、5、6、7、8、9 八种，
冒号之后不出现1 的情况有 （6 - 1）⨯ （10 - 1） = 45 种，
所以不出现1 的情况有 45 ⨯ 8 = 360 种．
所以至少看到一个数字“1”的情况有720 - 360 = 360 种，
所以至少看到一个数字“1”的概率为 360 = 1 种．
7202
【答案】 1
2
【例 15】 从立方体的八个顶点中选 3 个顶点，你能算出：
⑴它们能构成多少个三角形？
⑵这些三角形中有多少个直角三角形？
⑶随机取三个顶点，这三个点构成直角三角形的可能性有多少？
【考点】计数求概率【难度】3 星【题型】解答
【解析】从 8 个顶点中任取 3 个顶点都能构成三角形，所以应该有8 ⨯ 7 ⨯ 6 ÷ （3 ⨯ 2 ⨯ 1） = 56 个．
如果三角形的三个顶点中任两个都不在正方体的一条棱上，则该三角形不是直角三角形，共有 8 个
不是直角三角形．
所以直角三角形共有 56 - 8 = 48 个．
构成直角三角形的可能性有 48 = 6 ．
567
【答案】
（1） 56 ，
（2） 48 ，（3） 6
7
【例 16】 一个标准的五角星（如图）由 10 个点连接而成，从这 10 个点随机选取 3 个点，则这三个点在同一
条直线上的概率为多少，这三个点能构成三角形的概率为多少？
如果选取 4 个点，则这四个点恰好
构成平行四边形的概率为多少？
【考点】计数求概率【难度】4 星【题型】解答
10 ⨯ 9 ⨯ 8
3 ⨯ 2 ⨯1
其中涉及到 5 条直线，每条直线上各有 4 个点，其中任意3 点都共线，所以取这 3 点不能够成三
3
120666
7-9-1.概率.题库教师版page 5 of 10
10 个点中取 4 个点的情形为 C 4 = 10 ⨯ 9 ⨯ 8 ⨯ 7 = 210 种， 10 个点中平行四边形有 10 个，所以构
10
成平行四边形的概率为 10 = 1 ．
21021
【答案】
（1） 1 ，
（2） 5 ，（3） 1
6621
【例 17】 如图 9 个点分布成边长为 2 厘米的方阵（相邻点与点之间的距离为1 厘米），在这 9 个点中任取
1
2
率为多少？
构成面积为 1 平方厘米的三角形的概率为多少？
构成面积为 3 平方厘米的概率为
2
多少？
构成面积为 2 平方厘米的三角形的概率为多少？
【考点】计数求概率【难度】4 星【题型】解答
9 ⨯ 8 ⨯ 7
9
三个点共线一共有 3 + 3 + 2 = 8 种情况．
所以三个点能够成三角形的概率为1 - 8 = 19 ．
8421
9 个点中能构成面积为 1 的三角形一共有 4 ⨯ 4 + 4 ⨯ 4 = 32 种情况．
2
所以三个点能够成面积为 1 平方厘米的三角形的概率为 32 = 8 ．
28421
9 个点中能够成面积为1 平方厘米的三角形的情况有 4 ⨯ 6 + 8 = 32 种情况．
所以三个点能够成面积为1 平方厘米的三角形的概率为 32 = 8 ．
8421
9 个点中能够成面积为 3 平方厘米的三角形的情况有 4 种情况．
2
所以三个点能够成面积为 3 平方厘米的三角形的概率为 4 = 1 ．
28421
9 个点中能够成面积为 2 平方厘米的三角形的情况有 8 种情况．
所以三个点能够成面积为 2 平方厘米的三角形的概率为 8 = 2 ．
8421
【答案】
（1） 19 ，
（2） 8 ，（3） 8 ，（4） 1 ，（6） 2
2121212121
【例 18】 甲、乙、丙、丁四人互相传球，由甲开始第一次传球，每个人接到球后，都随机从其他人中选
择一个人将球传出，那么第四次传球恰好传回甲手里的概率是多少？
【考点】计数求概率【难度】4 星【题型】解答
【解析】对每一个接到球的人来说，下一次传球的方向有3 种可能，
所以四次传球的总路线有 34 = 81 种可能，每一种之间都是互斥的等概率事件.
而恰好传回到甲的情况，以第一步为甲 → 乙 为例有如下 7 种情况：
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甲 → 乙 ⎨
⎧⎧→ 乙 → 甲
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪→ 丙 ⎧→ 乙 → 甲
⎪
⎪⎧→ 乙 → 甲
⎪ → 丁 ⎨
⎩
⎪⎩→ 丙 → 甲
所以第 4 次传回甲的概率为 3 ⨯ 7 = 7 ．
8127
【答案】 7
27
模块三、对立事件与相互独立事件
【例 19】 一张圆桌旁有四个座位， A 、 B 、 C 、 D 四人随机坐到四个座位上，求 A 与 B 不相邻而坐的概率．
【考点】对立事件与相互独立事件【难度】3 星【题型】解答
【解析】四人入座的不同情况有 4 ⨯ 3 ⨯ 2 ⨯1 = 24 种．
A 、 B 相邻的不同情况，首先固定 A 的座位，有 4 种，安排 B 的座位有 2 种，安排 C 、 D 的座位有 2
种，一共有 4 ⨯ 2 ⨯ 2 = 16 种，所以 A 、 B 相邻而座的概率为16 ÷ 24 = 2 ，那么 A 、 B 不相邻而座的概
3
率为1 - 2 = 1 ．
33
【答案】 1
3
【例 20】 某小学六年级有 6 个班，每个班各有40 名学生，现要在六年级的6 个班中随机抽取 2 个班，参加电
视台的现场娱乐活动，活动中有1 次抽奖活动，将抽取 4 名幸运观众，那么六年级学生小宝成为幸
运观众的概率为多少？
【考点】对立事件与相互独立事件【难度】3 星【题型】解答
C151
5 ==，如果小宝参加了娱乐活动，那么小宝成为
C 2
幸运观众的概率为41 .
40 ⨯ 22032060
【答案】 1
60
【例 21】 从装有 3 个白球，2 个黑球的口袋中任意摸出两球，全是白球的概率．
【考点】对立事件与相互独立事件【难度】3 星【题型】解答
5 ⨯ 4
5
两个球都是白球有 C 2 = 3 ⨯ 2 = 3 种情况，全是白球的概率为 3 ．
3
法二：
将摸出两个球视作两次行为，摸出第一个球是白球的概率为 3 ，再摸出一个白球的概率为
5
3 - 11 ，所以两次摸出两个白球的概率为 3 ⨯3 ．（建议讲完独立事件再讲这一方法）
5 - 125210
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【答案】 3
10
【例 22】 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 六人抽签推选代表，公证人一共制作了六枚外表一模一样的签，其中只
有一枚刻着“中”，六人按照字母顺序先后抽取签，抽完不放回，谁抽到“中”字，即被推选为代
表，那么这六人被抽中的概率分别为多少？
【考点】对立事件与相互独立事件【难度】3 星【题型】解答
【解析】 A 抽中的概率为
1 ，没抽到的概率为 5 ，如果 A 没抽中，那么 B 有 1 的概率抽中，如果 A 抽中，那
6 6 5
么 B 抽中的概率为 0 ，所以 B 抽中的概率为 5 ⨯ 1 = 1 .
656
同理， C 抽中的概率为 5 ⨯ 4 ⨯ 1 = 1 ， D 抽中的概率为 5 ⨯ 4 ⨯ 3 ⨯ 1 = 1 ，
654665436
543211543211
E 抽中的概率为⨯⨯⨯⨯=， F 抽中的概率为⨯⨯⨯⨯⨯1 =.
654326654326
由此可见六人抽中的概率相等，与抽签的先后顺序无关.
【答案】六个人抽中的概率相同为 1
6
【巩固】如果例题中每个人抽完都放回，任意一个人如果抽中，则后边的人不再抽取，那么每个人抽中的概
率为多少？
【考点】对立事件与相互独立事件【难度】3 星【题型】解答
151511511151111511111
666666666666666666666
在这种情况下先抽者，抽中的概率大．
【答案】抽中的概率依次为：
1 、 5 ⨯ 1 、 5 ⨯ 1 ⨯ 1 、 5 ⨯ 1 ⨯ 1 ⨯ 1 、 5 ⨯ 1 ⨯ 1 ⨯ 1 ⨯ 1 、 5 ⨯ 1 ⨯ 1 ⨯ 1 ⨯ 1 ⨯ 1 ，
666666666666666666666
在这种情况下先抽者，抽中的概率大．
【例 23】 在某次的考试中，甲、乙、丙三人优秀（互不影响）的概率为 0.5，0.4，0.2，考试结束后，最容
易出现几个人优秀？
【考点】对立事件与相互独立事件【难度】3 星【题型】解答
【解析】注意他们的优秀率是互不影响的．
三人都优秀的概率是 0.5 ⨯ 0.4 ⨯ 0.2 = 0.04 ，
只有甲乙两人优秀的概率为 0.5 ⨯ 0.4 ⨯ （1 - 0.2 ） = 0.16 ，（或 0.5 ⨯ 0.4 - 0.04 = 0.16 ）．
只有甲丙二人优秀的概率 0.5 ⨯ （1 - 0.4 ）⨯ 0.2 = 0.06 ，
只有乙丙二人优秀的概率 （1 - 0.5）⨯ 0.4 ⨯ 0.2 = 0.04 ，
所以有两人优秀的概率为 0.16 + 0.06 + 0.04 = 0.26 ，
甲一人优秀的概率 0.5 ⨯ （1 - 0.4 ）⨯ （1 - 0.2 ） = 0.24 ，
乙一人优秀的概率 （1 - 0.5）⨯ 0.4 ⨯ （1 - 0.2 ） = 0.16 ，
丙一人优秀的概率 （1 - 0.5）⨯ （1 - 0.4 ）⨯ 0.2 = 0.06 ，
所以只有一人优秀的概率为 0.24 + 0.16 + 0.06 = 0.46
全都不优秀的概率为 （1 - 0.5）（1 - 0.4 ）（1 - 0.2 ） = 0.24 ，
最容易出现只有一人优秀的情况．
【答案】1 个人优秀
【巩固】在某次的考试中，甲、乙两人优秀（互不影响）的概率为 0.5，0.4，考试结束后，只有乙优秀的概
率为多少？
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【考点】对立事件与相互独立事件【难度】3 星【题型】解答
【解析】只有乙优秀的概率为 0.4 ⨯ （1
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