数学建模队员的选拔.docx
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数学建模队员的选拔
数学建模队员的选拔
一、摘要
本文是一个如何选拔数学建模队员和组建最优团队问题的数学模型。
在此模型中主要采用层次分析法，通过综合考虑每个队员的选拔原则和整队的技术水平，最终从15名学生中选出9名建模队员参赛，对9名队员进行科学分组，提出了最佳的组合方案，达到更大的获奖几率，此外，还给出了一些建模队员选拔的建议。
问题二：
选拔队员是一个多目标决策的优化问题，采用了层次分析法全面考察了15名学生的八项指标，并按照其对目标层的权重的大小进行了排序，挑选出了排名较前的9名学生参赛，他们依次是：
s1，s6，s2，s14，s8，s9，s4，s10，s15。
为了能够科学地组队，利用数学软件lingo得到了最优方案，组合如下表：
分组
队员一
队员二
队员三
该组水平
第一组
S1
S6
S8
15.7050
第二组
S2
S14
S10
14.4677
第三组
S4
S9
S15
13.9966
问题三：
倘若直接录用一个计算机编程高手，不考虑其他方面的情况，我们以机试成绩为计算机编程高手的主要素质，可以在15名学生中挑选出几名能力相似的同学，他们分别为s11和s13，在问题二的结果中，我们可以发现计算机能力强的学生中，没有一名综合能力排名能进入前9名，可见，如果只考虑计算机能力这一点，会影响队伍的整体水平，所以该做法是不可取的。
关键词：
层次分析法多目标决策最优组合
二、问题重述
一年一度的全国大学生数学建模竞赛是全国所有高等院校的重要赛事，如何选拔最优秀的队员和科学合理组队问题是是一个重要的数学模型问题。
现在需要解决以下几个问题：
1．根据你们所了解的数学建模知识，选拔数学建模队员要考察学生的哪些情况？
哪些素质是数学建模的关键素质，如何进行考察？
2．根据上表中信息，建立建模队员选拔的数学模型，从中选出9位同学，并组成3个队，使得这三个队具有良好的知识机构。
3．有的指导老师在对学生机试的时候发现一个计算机编程高手，然后直接录用，不再考察其它情况，这种做法是否可取。
4．为数学建模教练组写1份1000－1500字的报告，提出建模队员选拔机制建议，帮助教练组提高建模队员选拔的效率和质量。
三、问题分析
（1）问题2分析：
问题2是在15名学生中选拔出9名建模队员，需排除掉6名相对较弱的学生，这是一个多目标决策问题，主要利用了层次分析法，分别算出学生的各个指标对建模队员的选拔的权重，每个学生对各个指标的权重，再综合考虑每个学生对建模队员的选拔的权重，进行排名，最后选出9名入选学生，并通过计算，做出最佳组合方案。
（2）问题3分析：
在问题2结果的基础上，我们对问题3进行假设，假设机试成绩是队员选拔的主要因素，在15名学生中找出几名机试成绩高的学生，再与问题2的综合排名进行对比，从而得出直接录取计算机编程高手而不考虑其他方面的做法是否可取。
四、模型假设
1.假设在选拔中教练组能够做到公平选拔。
2.假设竞赛水平的发挥只与表中所给的各项条件有关。
3.假设在比赛过程中各个队员都能正常发挥自己的水平。
4.假设组队后各队的发挥是相对独立的，不受其他组影响。
五、符号说明
准则层对目标层的权重 W1
方案层对准则层的权重 W2
方案层对目标层的组合权重 W
一次性指标 CI（Consistent Index）
相应的平均随机一致性指标 RI（Random Index）
一致性比率 CR（Consistent Ratio）
15员队员的编号 s1，s2……s15
准则层对目标层的比较矩阵 A
六、模型的建立与求解
问题一求解：
1. 根据我们所了解的数学建模知识，在选拔数学建模队员时应考察学生的：
（1） 数学基础知识（微积分、线性代数、概率论与数理统计）
（2） 计算机编程能力（基础知识）
（3） 文字写作能力（语言表达）
（4） 知识应用能力（实际操作）
（5） 思维能力（分析、归纳、连续多次推理能力）
（6） 团队精神（协调）
（7） 对数学建模的悟性以及兴趣
（8） 对数学建模知识的了解（数学建模软件的使用掌握）
（9） 要有不怕苦不怕累的精神
2. 数学建模对员所需要具备的关键素质：
（1） 分析、归纳、解答、总结的能力
（2） 计算机编程能力和对数学建模软件的使用掌握
（3） 语言表达以及文字写作能力
（4） 对数学建模知识的了解
3. 对数学建模队员需要能力的考察可以通过以下几种方式：
（1） 平时上课时的数学成绩，考察数学方面的能力
（2） 计算机系的同学可以参赛过编程成绩找出编程较好的同学
（3） 可以在全校进行一次数学建模论文竞赛，让大家谈谈对数学建模的认
识，由此可以看出大家的数学建模知识还有写作能力
（4） 可以组织数学建模的模似答辩，以此来考察大家的语言表达能力
（5） 组建数学建模协会，来发掘一些有兴趣的同学
（6） 组织一次开放性的数学建模比赛，以此来选拔比较全面，或者在某一
方面有特长的同学。
问题二求解：
1.建立层次结构
将问题分为3个层次：
目标层（数学建模队员的选拔）；准则层（选拔队员的8个指标）；方案层（15名学生）。
2.确定各个权重
根据题目给的8项指标，首先将各指标量化，为了区分各项条件的档次差异，确定量化原则如下：
专业按10分计分为：
数学8分，计算机8分，电子信息7分，机械6分，化工与材料5分；数学建模笔试成绩按10分计；班级排名按1-15名平均分为5部分，1-3名为10分，4-6名为9分，7-9名为8分，10-12名为7分，13-15名为6分，没给出班级排名的按5分计；听课次数按每听一次加1分；其他的以1分为底线，考过程序员和计算机过三级的加2分，学过MATLAB和上过数学建模选修课的加1分；思维敏捷，机试和知识面的ABCD等级分别按4分，3分，2分，1分计算。
15名学生的量化分数表如下：
学生
专业
笔试
班级排名
听课次数
思维敏捷
机试
知识面
其他情况
S1
8
9.6
10
2
4
3
4
1
S2
7
9.3
5
6
4
3
3
3
S3
6
9.2
5
4
2
1
2
1
S4
6
8.2
7
4
3
3
4
2
S5
8
8.2
5
3
3
2
3
1
S6
7
8.2
10
6
4
3
1
1
S7
5
8.0
8
5
2
3
3
1
S8
8
7.9
5
4
4
3
4
3
S9
7
7.8
7
4
4
2
2
2
S10
7
7.7
5
5
4
3
3
2
S11
5
7.6
5
6
2
4
3
1
S12
5
7.4
5
2
4
2
4
1
S13
8
7.8
5
2
3
4
1
1
S14
8
7.6
5
5
4
3
4
1
S15
8
6.6
5
6
2
3
3
1
运用层次分析法如下：
假设其他对目标的比重为1，其他项目从右到左依次加1，得到如下比较矩阵：
A=[12345678
1/21234567
1/31/2123456
1/41/31/212345
1/51/41/31/21234
1/61/51/41/31/2123
1/71/61/51/41/31/212
1/81/71/61/51/41/31/21]
利用MATLAB求得最大特征值
=8.2883（代码见附录一），相应的特征向量做归一化得
一次性指标
平均随机一次性指标
矩阵阶数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
RI
0
0
0.58
0.96
1.12
1.24
1.32
1.41
1.45
1.49
1.52
1.54
一次性比率
计算：
一次性比率小于0.1，即矩阵A的一致性是可以接受的。
列出方案层对准则层的的关系：
w2=[89.61024341;79.3564333;69.2542121;68.2743342;88.2533231;78.21064311;58.0852331;87.9544343;77.8744222;77.7554332;57.6562431;57.4524241;87.8523411;87.6554341;86.6562331]
，组合权重w可作为目标决策的依据，根据权重，15人的排序结果如下表（代码见附录二）：
组合权重
16.5883
16.1142
15.1045
14.4450
14.4124
队员
S1
S6
S2
S14
S8
组合权重
14.0630
13.9422
13.8536
13.5927
13.5587
队员
S9
S4
S10
S15
S5
组合权重
13.5423
13.1208
12.7136
12.6263
11.4883
队员
S7
S13
S3
S11
S12
根据要求，在15名学生中选出9名建模队员，即选取权重排名前9名的学生，根据上表，他们依次是s1，s6，s2，s14，s8，s9，s4，s10，s15。
3．最佳组队方案的确定：
第二小问是确定最佳的组队，使竞赛水平最高，显然要考虑队员之间各项指标的互补性，找到三人让其组合权重达到最大值。
组队原则：
三名队员的技术水平可以互补，技术水平最高则为该对的水平指标。
任取3名队员，求出相应的技术水平指标之和的最大值。
已知选出9名参赛队员为s1，s6，s2，s14，s8，s9，s4，s10，s15，分别记为队员i=1，2，3……9;组队时我们只考虑笔试成绩、思维敏捷和机试成绩，记这三项能力为j=1，2，3。
记队员i的第j种能力最好为
，即得列出下表：
学生
笔试
思维敏捷
机试
S1
96
4
3
S2
93
4
3
S4
82
3
3
S6
82
4
3
S8
79
4
3
S9
78
4
2
S10
77
4
3
S14
76
4
3
S15
66
2
3
引入变量
，若队员i拥有j种能力，记
=1，否则记为
=0.根据代表队的要求，
应该满足两个约束条件：
第一、每个人最多只能入选三种能力之一，即对于i=a,b,c,……,i,应有
第二、每种能力必须有3人而且只能有3人入选，即对于j=1，2，3，应有
当队员i入选时，
表示他（她）的成绩，否则
.于是代表队的成绩可表示为
这就是该问题的目标函数。
综上，这个问题的模型可写作
Max
i=1,2,……9
j=1,2,3
将题目所给数据代入模型中，并用lingo求得：
=1（代码见附录三），其他变量为0，即学生s1，s2，s4以能力1入选；学生s6，s9，s14以能力2入选；学生s8，s10，s15以能力3入选。
结果如下表：
j=1
j=2
j=3
S1
S6
S8
S2
S9
S10
S4
S14
s15
经计算比较后得到最佳组合方案，如下表：
分组
队员一
队员二
队员三
该组水平
第一组
S1
S6
S8
15.7050
第二组
S2
S14
S10
14.4677
第三组
S4
S9
S15
13.9966
所以，最终分组情况为：
第一组s1，s6，s8；第二组s2，s10，s14；第三组s4，s14，s15
问题三解答：
直接录取编程高手而不考虑其他情况，这种做法是不可取的。
根据上述模型可知，建模队员应根据学生综合情况来选取，而不是只考虑某一项，如果只考虑计算机能力这一点，可得s11和s13的计算机能力最强，但他们的综合能力排名都没有进前9名，没有被录取，从而得出如果直接录取编程高手会影响整队的成绩，且对其他学生不公平。
由此说明，直接录取计算机编程高手而不再考察其他情况这种方式是不可取的。
问题四解答：
《关于建模队员选拔的建议》
一年一度的全国大学生数学建模竞赛是大学生四大竞赛之一。
各个参赛院校每年都要为此选拔优秀的学生参加，那么合理选拔参赛队员便是是否能取得好成绩的重要因素。
通过分析数学建模需要的素质结合数据，我利用层次分析法建立了一般的用于选拔参赛队员的数学模型。
我认为此模型的一般性是合理的。
因此，在此提出一些建议：
（1）.学校可以参考本题所建立的一般模型，尽可能地将报名参赛的同学信息统计完整以便于更好地选取队员，对本题题目所统计的学生信息，我认为应该稍加点改进，有些指标对队员选举的影响较弱的我们可以不进行统计，比如说班级排名情况，鉴于班级不同，排名情况出入大，而且建模不单单是专业知识学得好就是好，应该从多方面进行考察，这么做，可以有效提高统计的效率;
（2）.学校在选拔过程中要多关注学生的综合能力，比如学生要具有如下一些能力：
较强的分析问题、解决问题的能力，较强的语言表达能力和写作能力，良好的团队合作精神，一定的数学基础和必要的数学建模知识、良好的编程能力和熟练使用数学软件的能力、同时还要思维敏捷，对建立数学模型有较好的悟性;
（3）.开设讲座：
在选拔前开设几个有意义的讲座，增强学生对数学建模的学习兴趣，激发学生对数学以及其他方面的学习热情，拓宽他们的学术视野;
（4）.交流会：
招集历届参赛队员做交流会、发表意义、讲述他们的经验，这会使学生更愿意与自己同龄的经验者进行交流，他们之间更容易产生共鸣，进一步加深了同学们对数学建模的了解，也激发了与会同学的参与热情;
（5）.前期培训：
在选拔前期，要有一次比较正式的前期培训，这样使学生对数学建模更加了解，也明白自已合不合适参加这次的建模，更多的学习建模的方法，熟练操作各种软件，前期培训的同时，往往考虑学生的一些数学建模的基本能力还不够，建模期间是很枯燥，很辛苦的，所以需要关注一些学生在平时培训中的表现，例如学生在培训过程中是否专心认真地学习，听讲，学生培训期间的出勤率如何，学生对建模的态度是否积极，这些因素对建模队员来说也是必须的，不可缺少的；
（6）.考试：
在选拔过程要尽量多设几次考试，仅仅一次考试是不能选出好学生的，因为有些人可能在第一次时还没进入状态，所以多设几次考试，取平均数，让学生的能力可以得到更好的发挥。
（7）.学校方面：
学校要反思整个竞赛的组织、培训等全过程，比较兄弟院校的组织与管理工作，要进一步加大投入的力度，包括师资投入、资金投入。
还要在全校动员，使得组建的队伍具有学科互补性，方能适应现实需要。
所以，一方面学校要开设好校选课，扩大选拔范围。
另一方面最好建立一个数学建模网站，成立一个数学建模协会，以形成一个有效的长效机制。
学校还应在非数学专业开设数学建模选修课,建模选修课分为理论课和实验课。
理论课以拓宽学生对数学知识的综合了解,实验课以提高学生分析问题、解决问题、设计算法、实现算法的能力为目标。
七、模型的评价与推广
1.模型的优点
运用了层次分析法，对各队员的选拔具有了较高的公平性。
在考虑组队的思想上还是加入了权重，建立了刻画各队竞赛技术水平的指标函数，形象地说明了各队的优劣状况。
2.模型的缺点
本论文中各元素间的权重是根据自己意愿假设出来的，虽然最终得出了最优结果，但和实际还存在一点偏差。
3.模型的改进
在解决上述问题中，
（1）.可利用宣传对学生的素质进行调查，减少枚举范围;
（2）.调查往届参赛选手所具备的关键素质，作为参考。
4.模型的推广
在日常生活中经常会遇到各式各样的选拔，比如蓝球队员的选拔，比赛选手的选拔等等，都可以用本模型。
类似还可以应用到经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。
八、参考文献
《数学建模教程》林军，陈翰林科学出版社
《网络优化》谢金星，邢文训清华大学出版社
附录：
下表为题目给出的15名学生的部分信息：
学生
专业
笔试
班级排名
听课次数
其它情况
思维敏捷
机试
知识面
S1
数学
96
2
2
A
B
A
S2
电子信息
93
6
过计算机三级
A
B
B
S3
机械
92
4
C
D
C
S4
机械
82
10
4
上过建模选修课
B
B
A
S5
数学
82
3
B
C
B
S6
电子信息
82
3
6
A
B
D
S7
化工与材料
80
7
5
C
B
B
S8
数学
79
4
考过程序员
A
B
A
S9
电子信息
78
12
4
学过MATLAB
A
C
C
S10
电子信息
77
5
学过MATLAB
A
B
B
S11
化工与材料
76
6
C
A
B
S12
化工与材料
74
2
A
C
A
S13
计算机
78
2
B
A
D
S14
计算机
76
5
A
B
A
S15
计算机
66
6
C
B
B
附录一：
>>A=[12345678;1/21234567;1/31/2123456;1/41/31/212345;1/51/41/31/21234;1/61/51/41/31/2123;1/71/61/51/41/31/212;1/81/71/61/51/41/31/21]
A=
1.00002.00003.00004.00005.00006.00007.00008.0000
0.50001.00002.00003.00004.00005.00006.00007.0000
0.33330.50001.00002.00003.00004.00005.00006.0000
0.25000.33330.50001.00002.00003.00004.00005.0000
0.20000.25000.33330.50001.00002.00003.00004.0000
0.16670.20000.25000.33330.50001.00002.00003.0000
0.14290.16670.20000.25000.33330.50001.00002.0000
0.12500.14290.16670.20000.25000.33330.50001.0000
>>[V,D]=eig（A）
附录二：
>>w2=[89.61024341;79.3564333;69.2542121;68.2743342;88.2533231;78.21064311;58.0852331;87.9544343;77.8744222;77.7554332;57.6562431;57.4524241;87.8523411;87.6554341;86.6562331]
w2=
8.00009.600010.00002.00004.00003.00004.00001.0000
7.00009.30005.00006.00004.00003.00003.00003.0000
6.00009.20005.00004.00002.00001.00002.00001.0000
6.00008.20007.00004.00003.00003.00004.00002.0000
8.00008.20005.00003.00003.00002.00003.00001.0000
7.00008.200010.00006.00004.00003.00001.00001.0000
5.00008.00008.00005.00002.00003.00003.00001.0000
8.00007.90005.00004.00004.00003.00004.00003.0000
7.00007.80007.00004.00004.00002.00002.00002.0000
7.00007.70005.00005.00004.00003.00003.00002.0000
5.00007.60005.00006.00002.00004.00003.00001.0000
5.00007.40005.00002.00004.00002.00004.00001.0000
8.00007.80005.00002.00003.00004.00001.00001.0000
8.00007.60005.00005.00004.00003.00004.00001.0000
8.00006.60005.00006.00002.00003.00003.00001.0000
>>w1=[0.5668;0.5438;0.4026;0.3191;0.2434;0.1902;0.1408;0.0618]
w1=
0.5668
0.5438
0.4026
0.3191
0.2434
0.1902
0.1408
0.0618
>>w=w2*w1
附录三：
max=96*x11+4*x12+3*x13+93*x21+4*x22+3*x23+82*x31+3*x32+3*x33+82*x41+4*x42+3*x43+79*x51+4*x52+3*x53+78*x61+4*x62+2*x63+77*x71+4*x72+3*x73+76*x8
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