北航数理统计期末考试题.docx
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北航数理统计期末考试题
材料学院研究生会
学术部
2011年12月
2007-2008学年第一学期期末试卷
一、(6分,A班不做)设x1,x2,⋯,xn是来自正态总体N(,2)的样本,令
T2(x1x2)
(x3x4)2(x5x6)2,
试证明T服从t-分布t
(2)
二、(6分,B班不做)统计量F-F(n,m)分布,证明
1的(0<<1)的分位点x是1。
FF1(n,m)。
三、(8分)设总体X的密度函数为
其中1,是位置参数。
x1,x2,⋯,xn是来自总体X的简单样本,
试求参数的矩估计和极大似然估计。
四、(12分)设总体X的密度函数为
1x
p(x;)
exp,x
0,其它
其中,已知,0,是未知参数。
x1,x2,⋯,xn是来自总体X的简单样本。
1)试求参数的一致最小方差无偏估计;
2)是否为的有效估计?
证明你的结论。
五、(6分,A班不做)设x1,x2,⋯,xn是来自正态总体N(1,12)的简单样本,y1,y2,⋯,yn是来自正态总体N(2,22)的简单样本,且两样本相互独立,其中1,12,2,22是未知参数,1222。
为检验假设H0:
12,H1:
12,可令zixiyi,i1,2,...,n,12,
则上述假设检验问题等价于H0:
10,H1:
10,这样双样本检验问题就变为单检验问题。
基于变换后样本z1,z2,⋯,zn,在显著性水平下,试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。
六、(6分,B班不做)设x1,x2,⋯,xn是来自正态总体N(0,2)的简单样本,0已知,2未知,试求假设检验问题
H0:
202,H1:
202的水平为的UMPT。
七、(6分)根据大作业情况,试简述你在应用线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些方面?
八、(6分)设方差分析模型为
总离差平方和
试求E(SA),并根据直观分析给出检验假设H0:
12...P0的拒绝域形式。
九、(8分)某个四因素二水平试验,除考察因子A、B、C、D外,还需考察AB,BC。
今选用表L8(27),表头设计及试验数据如表所示。
试用极差分析指出因子的主次顺序和较优工艺条件。
列号试验号
A
B
C
D
实验数
据
1
2
3
4
5
6
7
1
1
1
1
1
1
1
1
12.8
2
1
1
1
2
2
2
2
28.2
3
1
2
2
1
1
2
2
26.1
4
1
2
2
2
2
1
1
35.3
5
2
1
2
1
2
1
2
30.5
6
2
1
2
2
1
2
1
4.3
7
2
2
1
1
2
2
1
33.3
8
2
2
1
2
1
1
2
4.0
十、(8分)对某中学初中12岁的女生进行体检,测量四个变量,身高x1,体重x2,胸围x3,坐高x4。
现测得58个女生,得样本数据(略),经计算指标X(x1,x2,x3,x4)T的协方差阵V的极大似然估计为且其特征根为150.46,216.65,33.38,41.00。
(1)试根据主成分85%的选择标准,应选取几个主要成分?
(2)试求第一主成分。
2006级硕士研究生《应用数理统计》试题
一、选择题(每小题3分,共12分)
1.统计量T~t(n)分布,则统计量T2的α(0<α<1)分位点xα
(P{T2≤xα}=α)是()22
t1(n)t1(n)t1(n)t1(n)
A.2B.2C.2D2
2.设随机变量X~N(0,1),Y~N(0,1),则()
3.某四因素二水平实验,选择正交表L8(27),已填好A,B,C三个因子,分别在第一,第四,第七列,若要避免“混杂”,应安排因子
D在第()列.A.5B.2C.3D.6
1
67
2
3
4
5
(1)3
2
5
4
7
6
(2)
1
6
7
4
5
(3)
7
6
5
4
(4)
1
2
3
(5)
3
2
(6)
1
(7)
4.假设总体X服从两点分布,分布率为P{X=x}=px(1-p)1-x,其中x=0
或1,p为未知参数,X1,X2,⋯,Xn是来自总体的简单样本,则下面
统计量中不是充分统计量的是()
2.
填空题(每小题3分,共12分)
cXii1
已知,则
n
1(Xk)2
nk1中较优的是
pqr
SE(xijk
i1j1k1
xij.),则SE的自由度为(
1exx0
x0的简
f(x)三,(12分)设X1,X2,⋯,Xn来自指数分布单样本,试求参数的极大似然估计,它是否是无偏估计?
(2)求
样本的Fisher信息量;(3)求的一致最小方差无偏估计;(4)问是否
是的有效估计?
四.(6分,
A班不做)在多元线性回归YX中,参数的最小
二乘估计为
11
(X'X)1X'Y,残差向量为eYY(IX(X'X)1X')Y。
Z令e
1
(X'X)1X'Y
IX(X'X)X'Y,当~N(0,I)时,Z服从多元正态分布。
试证明与e相互独立。
五.(6分,A班不做)
设某切割机切割金属棒的长度X服从正态分布,正常工作时,切割每段金属棒的平均长度为10.5cm。
某日为了检验切割机工作是否正常,随机抽取15段进行测量,得平均样本值x=10.48cm,样本方差s2=0.056cm2。
在显著性水平α=0.05下,试问该切割机工作是否正常?
(z0.951.64,z0.9751.96,t0.95(14)1.7631,t0.975(14)2.1448)
22六.(6分,B班不做)设X~N(,2),2已知,X1,X2,⋯,Xn来自X的样本,并设的先验分布为~N(,2),2已知,则可知均值的Bayes估计为
试通过此例说明Bayes估计的特点。
2
七.(B班不做)设总体X服从正态总体N(0,2),X1,X2,⋯,Xn是来自总体的简单样本,考虑检验问题
在显著水平α=0.05下,求最优检验(MP)的拒绝域。
八.研究小麦品种与施肥的农田实验,考察的因素与水平如下表所示
水平/因素
A小麦品种
B.施肥量
C浇水遍数
D除草遍数
1
甲
16
1
2
2
乙
12
2
3
据经验需考虑交互作用A×B,选用正交表L8(27),数据如表所示
试验号/列号
ABA×BC
实验数据
D
2
3
4
5
6
1
7
1
1
1
1
1
1
1
1
115
2
1
1
1
2
2
2
2
160
3
1
2
2
1
1
2
2
145
4
1
2
2
2
2
1
1
155
5
2
1
2
1
2
1
2
140
6
2
1
2
2
1
2
1
155
7
2
2
1
1
2
2
1
100
8
2
2
1
2
1
1
2
125
用极差分析确定最优方案(以数据大者为好)
九.(6分)设X=(X1,X2,X3,X4)'的协方差阵为
已知V的特征根是1(31),234
(1),其中=0.83,试根据85%的选取标准确定确定主成分个数,并求出主成分。
应用数理统计(2000年)
一、填空
1、设x1,x2,⋯x10来自总体N(0,1)的样本,若y=k1(x1+2x2+3x3)2+k2(x4+x5+⋯+x10)2~x2
(2),则k1=k2=
2、设x1,x2,⋯x2m来自总体N(4,9)的样本,若y=
且Z=,服从t分布,则c=,z~t()
3、设x1,x2,⋯x2m来自总体N(μ,σ2)的样本,已知y=(x2-x1)2+(x3-x4)2+⋯+(x2m-x2m-1)2,且Z=cy为σ2的无偏估计,则c=
4、上题中,Dz=
5、由总体F(x)与G(x)中依次抽得容量为12和11的样本,已计算的游程总个数
U=12,试在水平α=0.05下检验假设H0:
F(x)=G(x),其结论为(U0.05(12,11)=8)
二、设x1,x2,⋯x61来自总体N(0,1)的样本,令y=,
试求P(t0.975(60)=2)
三、设总体x的密度函数为
而(x1,x2,⋯xn)为来自x的样本,试求α的极大似然估计量。
四、设x~N(μ1,σ2),y~N(μ2,σ2),今抽取x的样本x1,x2,⋯x8;y的样本y1,y2,⋯y8;
计算得
1.试在水平α=0.01下检验假设H0:
μ1=μ2,H1:
μ1>μ2
2.试求α=0.02时,μ2-μ1的估计区间(t0.99(14)=2.6245)
五、欲考察因子A,B,C,D及交互作用A×C,且知B也可能与其它因子存在交互作
用,试在L8(27)上完成下列表头设计。
并说明理由。
BADCB
1234567
用L8(27)的交互作用表
六、已知(x1,y1),(x2,y2),⋯,(x9,y9)为一组实验值,
且计算得
试求线性回归方程y?
=a?
+b?
x
七、x1,x2,⋯x100来自总体x~π(λ)的一个样本,试求参数λ的近似(1-α)置信区间,
(Ex=λ,Dx=λ)
八、在一元线性回归中,lyy=Q+U,F=U/S~F(s,t),试给出用F值Q/S
来判定回归显著性的办法。
应用数理统计(2001年)
一、填空(每空3分,共30分)
1.设x1,x2,⋯⋯,x10为来自总体N(0,1)的样本,若y=
k1=,k2=
2.设x1,x2,⋯⋯,x12为来自总体N(0,A)的样本,若y=(x12+x22+x32)÷(x12+x22+⋯⋯+x12)且Z=cy~F分布,则c=__,Z~F()
3.若x1,x2,⋯⋯,x20为来自总体N(μ,σ2)的样本,若y=(x2-x1)2+(x4-x3)2+⋯⋯+(x20-x19)2,且Z=cy为σ2的无偏估计,则c=__,DZ=__
4.若x1,x2,⋯⋯,x100为来自总体N(10,σ2)的样本,若
,则Ey=__,Dy
5.若x1,x2,⋯⋯,x16为来自总体N(μ,0.012)的样本,其样本平均值x---=2.215,则μ的0.20置信区间为(取三位小
数),(已知Ф(1.645)=0.95,Ф(1.282)=0.90)二(10分)设总体X的概率密度函数为
而x1,x2,⋯⋯,xn为来自X的样本,试求α的矩估计量和极大似然估计量。
三(10分)设x1,x2,⋯⋯,x61为来自总体N(0,1)的样本。
令
y=,且P(x61/y≤k)=0.95,试求k。
四(10分)设X~N(μ1,σ2),Y~N(μ2,σ2)令抽取A的样本x1,x2,⋯⋯,x8,Y的样本y1,y2,⋯⋯,y8试推导假设H0:
μ1=μ2;
H1:
μ1>μ2的拒绝域,设若
是否接受H0?
五(10分)设y~N(Ae-Bx,σ2),试由样本(x1,y1)(x2,y2),⋯(xn,yn)估计参数A及B(可利用已有的结论或公式些出相应的结果)。
六(10分)今有正交试验结果列于下表(大者为好)试用级差分析对结果进行分析判断,若A、B、C的水平数皆为实际
向。
1)}=α
试证明:
试求β的极大似然估计量,并由此求一个
β的无偏估计量
应用数理统计(2003年)
1.设X1,X2,⋯,X100为来自正态总体N(0,σ2)的样本,若
Y=,求EY,EY2。
2.设总体X~N(μ,σ2),X1,X2,⋯,Xn为来自X的样本,记
3.已知随机变量X的分布律为:
P{X=k}=qpk-1,k=1,2,⋯,(q=1-
p)
试求X的特征函数?
(t),并由此求EX,DX。
为常数,试用来自X的样本构造的θ矩估计量。
5.设总体X~N(μ,52),其样本为(X1,X2,⋯,Xn),这时μ的置信区间为1-α,的置信区间为
①当n固定时,若要提高置信度,置信区间长度会_
②当置信度固定时,增大n,置信区间长度会_
6.设(X1,X2,⋯,Xn)为来自正态总体N(0,σ2)的样本,若
T=是σ的无偏估计量,求c。
7.设总体X的均值为μ,方差为σ2>0,今有来自X的两组样本(X1,X2,⋯,Xn1),(Y1,Y2,⋯,Yn2),其样本均值依次为X和Y,若T=aX+bY为μ的无偏估计量,且方差D(T)达到了最小,试求a与b。
8.若回归直线y?
=a?
+b?
x中,已知
且Q/(n-2)为的无偏估计,
而~χ(n-2),又知a?
与Q相互独立,试求a的置信区间。
9.今有正交试验结果列于下表(试验结果大者为好),试用极差分析法对结果进行分析,并选出最优工艺条件,又知A,B,C的水平数皆为实际数据由小到大排列,试指出进一步实验的方向。
10.设(X1,X2,⋯,Xn)为来自总体X的简单样本,且X~R[0,θ],试求θ的最大似然估计量,并验证是否具有无偏性,若否,请构造一个无偏估计量。
应用数理统计考试提纲(2004年)
1、正态N(μ,σ2),简单随机样本X1、X2⋯⋯Xn,其中μ已知。
(1)求σ2的一至最小方差无偏估计。
(2)运用信息不等式得到σ2的方差下界。
(3)判断得到的σ2的一致最小方差是否达到信息不等式的下界。
(4)说明有效估计和一致最小方差关系。
2、对于一元线性回归证明b~N(b,σ2/lxx)
3、假设检验。
(比较简单,但要记住公式或自己能推导)
4、对L8(27)正交表进行极差分析和方差分析,判断最优的工艺条件。
5、已知某个、协差矩阵的特征根,求应该选几个主成分和第一主成
分的特征向量。
(第二问都是小数,4×4矩阵,运算量大,要带计算器)整理人:
张斌玉柳青注:
在此复习资料的收集过程中,有一些资料整理者已无法考证,感谢所有曾对此资料做出贡献的人。
22
3.设X1,X2,⋯,Xn是来自总体N(,2)的简单样本,
n
的无偏估计S12n11k1(XkX)2,S22
4.在双因素实验的方差分析中,总方差ST的分解中包含误差平方和