北航数理统计期末考试题.docx
《北航数理统计期末考试题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北航数理统计期末考试题.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
北航数理统计期末考试题
材料学院研究生会
学术部
2011年12月
2007-2008学年第一学期期末试卷
一、（6分，A班不做）设x1，x2，⋯，xn是来自正态总体N（,2）的样本，令
T2（x1x2）
（x3x4）2（x5x6）2，
试证明T服从t-分布t
（2）
二、（6分，B班不做）统计量F-F（n,m）分布，证明
1的（0<<1）的分位点x是1。
FF1（n,m）。
三、（8分）设总体X的密度函数为
其中1，是位置参数。
x1，x2，⋯，xn是来自总体X的简单样本，
试求参数的矩估计和极大似然估计。
四、（12分）设总体X的密度函数为
1x
p（x;）
exp，x
0,其它
其中,已知，0,是未知参数。
x1，x2，⋯，xn是来自总体X的简单样本。
1）试求参数的一致最小方差无偏估计；
2）是否为的有效估计？
证明你的结论。
五、（6分，A班不做）设x1，x2，⋯，xn是来自正态总体N（1,12）的简单样本，y1，y2，⋯，yn是来自正态总体N（2,22）的简单样本，且两样本相互独立，其中1,12,2,22是未知参数，1222。
为检验假设H0:
12,H1:
12,可令zixiyi,i1,2,...,n,12,
则上述假设检验问题等价于H0:
10,H1:
10,这样双样本检验问题就变为单检验问题。
基于变换后样本z1，z2，⋯，zn，在显著性水平下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。
六、（6分，B班不做）设x1，x2，⋯，xn是来自正态总体N（0,2）的简单样本，0已知，2未知，试求假设检验问题
H0:
202,H1:
202的水平为的UMPT。
七、（6分）根据大作业情况，试简述你在应用线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些方面？
八、（6分）设方差分析模型为
总离差平方和
试求E（SA），并根据直观分析给出检验假设H0:
12...P0的拒绝域形式。
九、（8分）某个四因素二水平试验，除考察因子A、B、C、D外，还需考察AB，BC。
今选用表L8（27），表头设计及试验数据如表所示。
试用极差分析指出因子的主次顺序和较优工艺条件。
列号试验号
A
B
C
D
实验数
据
1
2
3
4
5
6
7
1
1
1
1
1
1
1
1
12.8
2
1
1
1
2
2
2
2
28.2
3
1
2
2
1
1
2
2
26.1
4
1
2
2
2
2
1
1
35.3
5
2
1
2
1
2
1
2
30.5
6
2
1
2
2
1
2
1
4.3
7
2
2
1
1
2
2
1
33.3
8
2
2
1
2
1
1
2
4.0
十、（8分）对某中学初中12岁的女生进行体检，测量四个变量，身高x1，体重x2，胸围x3，坐高x4。
现测得58个女生，得样本数据（略），经计算指标X（x1,x2,x3,x4）T的协方差阵V的极大似然估计为且其特征根为150.46，216.65，33.38，41.00。
（1）试根据主成分85%的选择标准，应选取几个主要成分？
（2）试求第一主成分。
2006级硕士研究生《应用数理统计》试题
一、选择题（每小题3分，共12分）
1.统计量T~t（n）分布，则统计量T2的α（0<α<1）分位点xα
（P{T2≤xα}=α）是（）22
t1（n）t1（n）t1（n）t1（n）
A.2B.2C.2D2
2.设随机变量X～N（0，1），Y～N（0，1），则（）
3.某四因素二水平实验，选择正交表L8（27），已填好A，B，C三个因子，分别在第一，第四，第七列，若要避免“混杂”，应安排因子
D在第（）列.A.5B.2C.3D.6
1
67
2
3
4
5
（1）3
2
5
4
7
6
（2）
1
6
7
4
5
（3）
7
6
5
4
（4）
1
2
3
（5）
3
2
（6）
1
（7）
4.假设总体X服从两点分布，分布率为P{X=x}=px（1-p）1-x，其中x=0
或1，p为未知参数，X1,X2,⋯，Xn是来自总体的简单样本，则下面
统计量中不是充分统计量的是（）
2.
填空题（每小题3分,共12分）
cXii1
已知，则
n
1（Xk）2
nk1中较优的是
pqr
SE（xijk
i1j1k1
xij.），则SE的自由度为（
1exx0
x0的简
f（x）三，（12分）设X1,X2,⋯，Xn来自指数分布单样本，试求参数的极大似然估计，它是否是无偏估计？
（2）求
样本的Fisher信息量；（3）求的一致最小方差无偏估计;（4）问是否
是的有效估计？
四．（6分，
A班不做）在多元线性回归YX中，参数的最小
二乘估计为
11
（X'X）1X'Y，残差向量为eYY（IX（X'X）1X'）Y。
Z令e
1
（X'X）1X'Y
IX（X'X）X'Y,当~N（0,I）时，Z服从多元正态分布。
试证明与e相互独立。
五．（6分，A班不做）
设某切割机切割金属棒的长度X服从正态分布，正常工作时，切割每段金属棒的平均长度为10.5cm。
某日为了检验切割机工作是否正常，随机抽取15段进行测量，得平均样本值x=10.48cm，样本方差s2=0.056cm2。
在显著性水平α=0.05下，试问该切割机工作是否正常？
（z0.951.64,z0.9751.96,t0.95（14）1.7631,t0.975（14）2.1448）
22六．（6分，B班不做）设X～N（，2）,2已知，X1,X2,⋯，Xn来自X的样本，并设的先验分布为～N（,2）,2已知，则可知均值的Bayes估计为
试通过此例说明Bayes估计的特点。
2
七．（B班不做）设总体X服从正态总体N（0，2），X1,X2,⋯，Xn是来自总体的简单样本，考虑检验问题
在显著水平α=0.05下，求最优检验（MP）的拒绝域。
八．研究小麦品种与施肥的农田实验，考察的因素与水平如下表所示
水平/因素
A小麦品种
B.施肥量
C浇水遍数
D除草遍数
1
甲
16
1
2
2
乙
12
2
3
据经验需考虑交互作用A×B，选用正交表L8（27），数据如表所示
试验号/列号
ABA×BC
实验数据
D
2
3
4
5
6
1
7
1
1
1
1
1
1
1
1
115
2
1
1
1
2
2
2
2
160
3
1
2
2
1
1
2
2
145
4
1
2
2
2
2
1
1
155
5
2
1
2
1
2
1
2
140
6
2
1
2
2
1
2
1
155
7
2
2
1
1
2
2
1
100
8
2
2
1
2
1
1
2
125
用极差分析确定最优方案（以数据大者为好）
九．（6分）设X=（X1,X2,X3,X4）'的协方差阵为
已知V的特征根是1（31），234
（1），其中=0.83，试根据85%的选取标准确定确定主成分个数，并求出主成分。
应用数理统计（2000年）
一、填空
1、设x1,x2,⋯x10来自总体N（0,1）的样本，若y=k1（x1+2x2+3x3）2+k2（x4+x5+⋯+x10）2~x2
（2），则k1=k2=
2、设x1,x2,⋯x2m来自总体N（4,9）的样本，若y=
且Z=，服从t分布，则c=,z~t（）
3、设x1,x2,⋯x2m来自总体N（μ,σ2）的样本，已知y=（x2-x1）2+（x3-x4）2+⋯+（x2m-x2m-1）2，且Z=cy为σ2的无偏估计，则c=
4、上题中，Dz=
5、由总体F（x）与G（x）中依次抽得容量为12和11的样本，已计算的游程总个数
U=12，试在水平α=0.05下检验假设H0：
F（x）=G（x），其结论为（U0.05（12，11）=8）
二、设x1,x2,⋯x61来自总体N（0,1）的样本，令y=，
试求P（t0.975（60）=2）
三、设总体x的密度函数为
而（x1,x2,⋯xn）为来自x的样本，试求α的极大似然估计量。
四、设x~N（μ1,σ2），y~N（μ2,σ2）,今抽取x的样本x1,x2,⋯x8；y的样本y1,y2,⋯y8；
计算得
1．试在水平α=0.01下检验假设H0：
μ1=μ2，H1：
μ1>μ2
2．试求α=0.02时，μ2-μ1的估计区间（t0.99（14）=2.6245）
五、欲考察因子A,B,C,D及交互作用A×C，且知B也可能与其它因子存在交互作
用，试在L8（27）上完成下列表头设计。
并说明理由。
BADCB
1234567
用L8（27）的交互作用表
六、已知（x1,y1）,（x2,y2）,⋯,（x9,y9）为一组实验值，
且计算得
试求线性回归方程y?
=a?
+b?
x
七、x1,x2,⋯x100来自总体x~π（λ）的一个样本，试求参数λ的近似（1-α）置信区间，
（Ex=λ,Dx=λ）
八、在一元线性回归中，lyy=Q+U,F=U/S~F（s,t）,试给出用F值Q/S
来判定回归显著性的办法。
应用数理统计（2001年）
一、填空（每空3分，共30分）
1．设x1,x2,⋯⋯，x10为来自总体N（0，1）的样本，若y＝
k1=,k2=
2．设x1,x2,⋯⋯，x12为来自总体N（0，A）的样本，若y=（x12+x22+x32）÷（x12+x22+⋯⋯＋x12）且Z＝cy~F分布，则c=__,Z~F（）
3．若x1,x2,⋯⋯，x20为来自总体N（μ，σ2）的样本,若y=（x2-x1）2+（x4-x3）2+⋯⋯＋（x20-x19）2，且Z=cy为σ2的无偏估计，则c=__,DZ=__
4．若x1,x2,⋯⋯，x100为来自总体N（10，σ2）的样本，若
，则Ey=__,Dy
5．若x1,x2,⋯⋯，x16为来自总体N（μ，0.012）的样本,其样本平均值x---=2.215,则μ的0.20置信区间为（取三位小
数），（已知Ф（1.645）＝0.95，Ф（1.282）＝0.90）二（10分）设总体X的概率密度函数为
而x1,x2,⋯⋯，xn为来自X的样本，试求α的矩估计量和极大似然估计量。
三（10分）设x1,x2,⋯⋯，x61为来自总体N（0，1）的样本。
令
y=,且P（x61/y≤k）＝0.95，试求k。
四（10分）设X~N（μ1，σ2）,Y~N（μ2，σ2）令抽取A的样本x1,x2,⋯⋯，x8，Y的样本y1,y2,⋯⋯，y8试推导假设H0：
μ1＝μ2；
H1：
μ1>μ2的拒绝域，设若
是否接受H0？
五（10分）设y～N（Ae-Bx，σ2）,试由样本（x1,y1）（x2,y2）,⋯（xn,yn）估计参数A及B（可利用已有的结论或公式些出相应的结果）。
六（10分）今有正交试验结果列于下表（大者为好）试用级差分析对结果进行分析判断，若A、B、C的水平数皆为实际
向。
1）}=α
试证明：
试求β的极大似然估计量，并由此求一个
β的无偏估计量
应用数理统计（2003年）
1.设X1,X2,⋯,X100为来自正态总体N（0,σ2）的样本，若
Y=，求EY，EY2。
2.设总体X~N（μ,σ2），X1，X2，⋯，Xn为来自X的样本，记
3.已知随机变量X的分布律为：
P{X=k}=qpk-1，k=1，2，⋯，（q=1-
p）
试求X的特征函数?
（t），并由此求EX，DX。
为常数，试用来自X的样本构造的θ矩估计量。
5.设总体X~N（μ,52），其样本为（X1，X2，⋯，Xn），这时μ的置信区间为1-α，的置信区间为
①当n固定时，若要提高置信度，置信区间长度会＿
②当置信度固定时，增大n，置信区间长度会＿
6.设（X1，X2，⋯，Xn）为来自正态总体N（0,σ2）的样本，若
T=是σ的无偏估计量，求c。
7.设总体X的均值为μ，方差为σ2>0，今有来自X的两组样本（X1，X2，⋯，Xn1），（Y1，Y2，⋯，Yn2），其样本均值依次为X和Y，若T=aX+bY为μ的无偏估计量，且方差D（T）达到了最小，试求a与b。
8.若回归直线y?
=a?
+b?
x中，已知
且Q/（n-2）为的无偏估计，
而~χ（n-2），又知a?
与Q相互独立，试求a的置信区间。
9.今有正交试验结果列于下表（试验结果大者为好），试用极差分析法对结果进行分析，并选出最优工艺条件，又知A，B，C的水平数皆为实际数据由小到大排列，试指出进一步实验的方向。
10.设（X1，X2，⋯，Xn）为来自总体X的简单样本，且X~R[0，θ]，试求θ的最大似然估计量，并验证是否具有无偏性，若否，请构造一个无偏估计量。
应用数理统计考试提纲（2004年）
1、正态N（μ,σ2）,简单随机样本X1、X2⋯⋯Xn,其中μ已知。
（1）求σ2的一至最小方差无偏估计。
（2）运用信息不等式得到σ2的方差下界。
（3）判断得到的σ2的一致最小方差是否达到信息不等式的下界。
（4）说明有效估计和一致最小方差关系。
2、对于一元线性回归证明b～N（b,σ2/lxx）
3、假设检验。
（比较简单，但要记住公式或自己能推导）
4、对L8（27）正交表进行极差分析和方差分析，判断最优的工艺条件。
5、已知某个、协差矩阵的特征根，求应该选几个主成分和第一主成
分的特征向量。
（第二问都是小数，4×4矩阵，运算量大，要带计算器）整理人：
张斌玉柳青注：
在此复习资料的收集过程中，有一些资料整理者已无法考证，感谢所有曾对此资料做出贡献的人。
22
3.设X1,X2,⋯，Xn是来自总体N（，2）的简单样本,
n
的无偏估计S12n11k1（XkX）2，S22
4．在双因素实验的方差分析中，总方差ST的分解中包含误差平方和
升级会员 