八年级秋季班第17讲垂直平分线角平分线及轨迹教师版1.docx

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八年级秋季班第17讲垂直平分线角平分线及轨迹教师版1

利用线段的垂直平分线和角平分线的性质添加辅助线，解决相关角度与边长之间的关系是几何证明中又一个重点内容，更加完善了证明边角关系的知识体系．

线段的垂直平分线：

（1）线段的垂直平分线的性质定理给我们提供了证明两条线段相等的又一个重要的方法，而且在已知中有线段的垂直平分线时，往往在线段的垂直平分线上选择适当的点添加线段；

（2）线段的垂直平分线性质定理的逆定理，是证明某个点在某条线上的一个重要方法；

（3）利用以上两个定理可以得到：

三角形三边的垂直平分线交于一点，且这点到三角形三个顶点的距离相等．

【例1】

A

B

C

D

E

如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于_______________．

【难度】★

【答案】

．

【解析】

：

，

，

．

【总结】考查线段垂直平分线性质定理的运用．

【例2】已知：

AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，求证：

BE=CE．

【难度】★

【答案】见解析．

【解析】∵AB=AC，DB=DC，∴AD是线段BC的垂直平分线

又∵E是AD上一点∴BE=CE．

【总结】考查线段垂直平分线性质定理及其逆定理的综合运用．

【例3】在△ABC中，AB=AC，BC=12，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N．

（1）求△AEN的周长．

（2）求∠EAN的度数．（3）判断△AEN的形状．

【难度】★

A

B

C

D

E

N

M

【答案】

（1）12；

（2）60°；（3）等边三角形．

【解析】

（1）因为DE垂直平分AB，MN垂直平分AC，

所以AE=BE，AN=CN，所以AE+EN+AN=BE+EN+NC

=BC=12，所以

得周长等于12；

（2）因为AB=AC，BC=12，∠BAC=120°，所以∠B=∠C=30°，又因为AN=CN，

所以∠NAC=30°，所以∠ANE=60°，同理∠AEN=60°，所以∠EAN=60°；

（3）由

（2）知

为等边三角形．

【总结】考查线段垂直平分线性质定理及其逆定理的综合运用．

【例4】如图，D是线段AB、AC的垂直平分线的交点，若∠BAC=50°，求∠BDC的度数．

【难度】★

【答案】100°

【解析】连接

因为

所以∠BDC=150°．

【总结】考查线段垂直平分线性质定理的运用．

【例5】

如图，已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交BC于点D，且DC=AC，求△ABC各角的度数．

【难度】★★

【答案】∠B=∠C=36°，∠BAC=108°．

【解析】因为

，又DC=AC，

所以∠DAC=∠ADC，又因为DE垂直平分AB，

所以∠ABC=∠BAD，∠DAC=2∠B，所以∠BAC=3∠B，

所以∠B+∠BAC+∠C=5∠B=180°，

所以∠B=∠C=180÷5=36°，∠BAC=108°．

【总结】考查线段垂直平分线性质定理的综合运用．

【例6】在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC的底角∠B的大小为___________________．

【难度】★★

【答案】70°或20°．

【解析】

（1）当AB的中垂线MN与AC相交时，

∵∠AMD=90°，∴∠A=90°

50°=40°，

∵AB=AC，∴

（2）当AB的中垂线MN与CA的延长线相交时，

∴∠DAB=90°-50°=40°，∵AB=AC，

∴

．

【总结】考查线段垂直平分线性质定理的运用．

【例7】

如图，在三角形ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB⊥DE，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：

AD是EF的垂直平分线．

【难度】★★

【答案】见解析．

【解析】由题意，可知DE=DF，在△ADE和△ADF中，

∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，DE=DF，

所以

∴A、D在EF的垂直平分线上，

所以AD是EF的垂直平分线．

【总结】考查垂直平分线和角平分线的综合运用．

【例8】

如图，三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的点，BD=BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F，求证：

BE垂直平分CD．

【难度】★★

【答案】见解析．

【解析】在△BCE和△BDE中，

因为∠BCE=∠BDE=90°，BD=BC，BE=BE，

所以△BCE≌△BDE，

所以CE=DE，

所以B、E在C、D的垂直平分线上，

所以BE垂直平分CD．

【总结】考查垂直平分线性质定理及其逆定理的运用．

【例9】

如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D是AB边上的点，AD的垂直平分线EF交AC于点E，垂足为F，ED的延长线与CB的延长线交于点G，求证：

点E在GC的垂直平分线上．

【难度】★★

【答案】见解析．

【解析】∵EF为AD的垂直平分线

∴AF=DF，∠AFE=∠DFE=90°，

∴△AFE≌△DFE，∴∠AEF=∠DEF．

∵∠AFE=∠ABC，∴EF∥CG．

∴∠AEF=∠C，∠DEF=∠G，∴∠C=∠G，

∴△CEG为等腰三角形，

∴点E在GC的垂直平分线上．

【总结】考查垂直平分线性质定理及其逆定理的综合运用．

【例10】

如图，在△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分AB，FM垂直平分AD，GN垂直平分BD，求证：

AF=FG=BG．

【难度】★★★

【答案】见解析．

【解析】连接DF、DG，

∵FM垂直平分AD，GN垂直平分BD

∴AF=DF，DG=BG

又∵∠A=30°，∴∠DFG=∠DGF=60°

即△DFG为等边三角形

∴DF=DG=FG

∴AF=FG=BG

【总结】考查垂直平分线性质定理的运用．

【例11】如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A=40°，

（1）求∠NMB的大小；

（2）如果将

（1）中的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；

（3）若∠A=α，你发现了怎样的规律，并证明之；

（4）将

（1）中的∠A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否要加以修改．

【难度】★★★

【答案】见解析．

【解析】

（1）∵AB=AC，∴∠B=（180°

40°）÷2=70°，

又∵∠MNB=90°，∴∠NMB=180°

90°

70°=20°；

（2）∵∠B=（180°

70°）÷2=55°，

∴∠NMB=180°

90°

55°=35°；

（3）∠NMB的度数等于∠A度数的一半，

证明：

∵AB=AC，∴∠B=（180°

∠A）÷2

∵∠BNM=90°，

∴∠NMB=90°

∠B=90°

（180°

∠A）÷2

=

即∠NMB的度数等于∠A度数的一半；

（4）不需修改．

仍有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长线

相交所成锐角为顶角的一半．

【总结】考查垂直平分线性质定理的运用．

2、角平分线：

（1）角的平分线性质定理给我们提供了证明两条线段相等的又一个重要的方法，而且在已知中有角平分线时，往往在角的平分线上选择适当的点向角的两边作垂线段；

（2）角平分线性质定理的逆定理，是证明两个角相等的一个重要方法；

（3）利用以上两个定理可以得到：

三角形三个角的平分线交于一点，且这点到三角形三条边的距离相等．

【例12】如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，则下列说法：

①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P是

∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点，其中正确的是（）

A

B

C

P

E

D

A．①②③④B．①②③C．④D．②③

【难度】★★

【答案】A

【解析】∵P到AE、AD、BC的距离相等

∴①②③④都对

【总结】考查角平分线性质定理的逆运用．

【例13】

如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC中点，连接AE、DE，DE平分∠ADC，求证：

AE平分∠BAD．

【难度】★★

【答案】略

【解析】过E作EH⊥AB于点H，反向延长EH交DC的延长线

于点G，过E作EF⊥AD于点F

∵AB∥CD，∴EG⊥DC，

∵E为BC中点，∴CE=BE

在△CGE与△BHE中，

∵∠GCE=∠B，CE=BE，∠CEG=∠BEH

∴△CGE≌△BHE，∴GE=EH

∵DE平分∠ADC，∴GE=EF，∴GE=EH

∴EF=EH，又∵EF⊥AD，EH⊥AB，

∴AE是∠DAB的平分线．

【总结】考查角平分线性质定理及其逆定理的综合运用．

【例14】

A

B

C

D

E

如图，已知在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，且∠BAD与∠BCD互补，求证：

AD=CD．

【难度】★★

【答案】略

【解析】在BC上截取BE=AB，连接DE

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，又∵BD=BD

∴△ABD≌△EBD，∴∠BAD=∠BED，AD=DE

∵∠BAD与∠BCD互补，∴∠BED与∠BCD互补

又∵∠BED与∠CED互补，∴∠CED=∠BCD

∴DE=CD，∴AD=CD

【总结】考查角平分线性质定理的运用．

【例15】

已知：

如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA平分线，它们交于P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F，求证：

BP为∠MBN的平分线．

【难度】★★

【答案】见解析

【解析】过P作PE⊥AC于点E

∵AP平分∠MAC，PD⊥BM，PE⊥AC

∴DP=EP，同理PE=PF

∴PD=PF，又∵PD⊥BM，PF⊥BN

∴P在∠MBN的角平分线上

∴BP平分∠MBN

【总结】考查角平分线性质定理及其逆定理的综合运用．

【例16】

（1）如图1△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，则有：

；

（2）如图2：

△ABC中，∠ABC的外角角平分线和∠ACB的外角角平分线相交于点P，

则有：

；

A

B

C

P

图1

A

B

C

P

图2

A

B

C

P

图3

（3）如图3：

△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角角平分线相交于点P，则有：

．

【难度】★★

【答案】略．

【解析】

（1）

；

（2）

（3）∵∠PBC=

∠ABC，∠PCB=∠ACB+∠ACP=∠ACB+

（∠A+∠ABC），

∴∠PBC+∠PCB=∠ACB+∠ABC+

∠A

∴

=

．

【总结】本题主要考查三角形的内角和与外角性质的综合运用，注意对结论的熟记．

【例17】如图，在直角△ABC中，∠C=90°，直角△ABP中，∠BAP=90°，

已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE=OC，

求证：

PE⊥AO．

【难度】★★

【答案】略

【解析】∵∠BPA+∠ABP=∠COB+∠CBO=90°，

又∠CBO=∠ABP

∴∠BPA=∠COB

又∵∠COB=∠POA

∴∠BPA=∠POA，∴AP=AO

过点O作OH⊥AB于H，则OH=OC

∵OC=AE，∴OH=AE

∵∠PAE+∠CAB=∠HOA+∠CAB，

∴∠PAE=∠HOA

∴△APE≌△OAH，

∴PE⊥AO

【总结】考查角平分线性质定理的运用．

【例18】

如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、AB上的点，且BE=DF，BE与DF交于点G，

求证：

GC平分∠BGD．

【难度】★★

【答案】见解析．

【解析】分别过C作CN⊥BE，CH⊥DF，连接CE、CF

∵

，

∴

，

∵BE=DF，∴CN=CH，

又∵CN⊥BE，CH⊥DF，

∴GC平分∠BGD（到角两边的距离相等的点在角的平分线上）

【总结】考查角平分线性质定理逆定理及其等面积法的综合运用．

【例19】

A

B

C

D

E

F

G

H

如图，在直角△ABC中，AD是斜边BC上的高，BF平分∠ABC，交AC于点F、AD于点E，EG∥BC交AC于点G，求证：

AF=CG．

【难度】★★★

【答案】见解析

【解析】过F作FH⊥BC于点H，连接EH，

∵∠ABF+∠AFB=90°，∠BED+∠EBD=90°，∠ABF=∠EBD，

∴∠AFB=∠BED

又∵∠BED=∠AEF，∴∠AFB=∠AEF，∴AE=AF．

∵BF平分∠ABC，AF⊥BA，FH⊥BC∴AF=FH

又∵AE∥FH，∴四边形AEHF为菱形，

∴AF=EH，EH∥CG

又∵EG∥HC，∴EHCG为平行四边形

∴EH=CG，∴AF=CG．

【总结】考查角平分线性质定理、菱形及平行四边形的判定及性质．

【例20】

如图，以△ABC两边AB、AC为边，向外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD交于F点，CD交AB于点G，BE交AC于点H，求证：

AF平分∠DFE．

【难度】★★★

【答案】见解析．

【解析】∵AD=AB，AC=AE，∠DAC=∠BAE

∴△ACD≌△AEB

∴BE=CD

过点A作AM⊥DC，AN⊥BE，

则

∴AM=AN

∵AM⊥DC，AN⊥BE，

所以AF平分∠DFE．

【总结】考查角平分线性质定理逆定理及其等面积法的综合运用．

【例21】如图，在△ABC中，∠CAB和∠ABC的平分线AD、BE交于点P，连接CP．

（1）求证：

CP平分∠ACB；

（2）如图1，当△ABC为等边三角形时，求证：

EP=DP；

（3）

A

B

C

D

E

图1

P

图2

A

B

C

D

E

P

如图2，当△ABC不是等边三角形，但∠ACB=60°，

（2）中的结论是否还成立?

若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

【难度】★★★

【答案】见解析．

【解析】

（1）过点P分别作PM⊥AB于点M，PN⊥AC

于点N，PH⊥BC于点H

∵AD、BE分别为∠CAB与∠ABC的角平分线

∴PM=MN，PM=PH，∴PN=PH，

∴CP平分∠ACB

（2）∵ABC为等边三角形∴PD⊥BC，PE⊥AC，

∴△CPE≌△CPD，

∴EP=DP

（3）成立．假设∠CAB<∠CBA

作PH⊥AC于H，PM⊥CB于M，PQ⊥AB于Q，

则点H在线段CE上，点M在线段BD上

∵∠CAB和∠ACB的平分线AD、BE交于点P,

∴PH=PQ=PM

∵∠ACB+∠CAB+ABC=180°，∠ACB=60°

∴∠CAB+∠ABC=120°

∵AD、BE分别平分∠CAB、∠ABC

∴∠PAB+∠PBA=60°

∵∠CEP=∠CAP+∠PAB+∠PBA=∠CAP+60°

∠ADB=∠CAP+∠ACD=∠CAP+60°

∴∠CEP=∠ADB

在△PHE和△PMD中，

∵∠HEP=∠MDP，∠EHP=∠DMP=90°，PH=PM

∴△PHE≌△PMD

∴PE=PD

【总结】考查角平分线性质定理及其逆定理的综合运用．

模块三：

综合

【例22】

已知，如图AP、BP分别平分∠DAB、∠CBA，PE、PF分别垂直AD、BC，垂足为E、F．求证：

点P在EF的垂直平分线上．

【难度】★★

【答案】见解析．

【解析】过P作PH⊥AB于点H，

则PE=PH，PH=PF

∴PE=PF

∵PE⊥AD，PF⊥BC

∴点P在EF的垂直平分线上

【总结】考查垂直平分线性质定理及其逆定理的综合运用．

【例23】

A

B

C

D

E

H

M

F

已知：

如图，△ABC中，∠BAC=64°，∠B=38°，AD平分∠BAC，M是BC延长线上的一点，过点M作MF⊥AD，垂足为点H，交AB、AC于点F、E．求∠M的度数．

【难度】★★

【答案】20°．

【解析】∵∠BAD=

∠BAC=32°，

∴∠ADM=∠BAD+∠B=32°+38°=70°，

∵MH⊥AD，∴∠MHD=90°

∴∠M=180°

90°

70°=20°

【总结】考查垂直平分线及角平分线性质定理的综合运用．

【例24】已知：

如图，D是△ABC的边AC上的一点，过D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足为E、F，再过点D作DG∥AB，交BC于点G，且DE=DF．

求证：

（1）DG=BG；

（2）BD垂直平分EF．

【难度】★★

【答案】见解析．

【解析】

（1）连接BD

∵DE⊥AB，DF⊥BC且DE=DF

∴∠ABD=∠DBC

又∵DG∥AB，∴∠ABD=∠BDG

∴∠BDG=∠DBC，∴DG=BG

（2）由

（1）∠ABD=∠DBC，可知∠EDB=∠FDB．

在△BDE与△BDF中，

∵∠ABD=∠DBC，BD=BD，∠EDB=∠FDB

∴△BDE≌△BDF

∴BE=BF，DE=DF

∴BD垂直平分EF．

【总结】考查垂直平分线及角平分线性质定理的综合运用．

【例25】如图，在△ABC中，OE、OF分别是边AB、AC的垂直平分线，∠OBC、

∠OCB的平分线相交于点G，判断OG与BC的位置关系，并证明你的判断．

F

A

B

C

G

O

E

【难度】★★★

【答案】见解析

【解析】连接OA

∵OE垂直平分AB，∴OA=OB

同理OA=OC，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB

∵BG平分∠OBC，CG平分∠OCB

∴∠GBC=

∠OBC，∠GCB=

∠OCB

∴∠GBC=∠GCB，∴BG=CG

又∵OG=OG，∴△BOG≌△COG

∴∠BOG=∠COG，∴OG⊥BC

【总结】考查角平分线与垂直平分线性质定理的运用．

【例26】已知，AC⊥BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，判断下面四个结论中哪些成立，

A

B

C

D

E

（1）AD平分∠CDE；

（2）∠BAC=∠BDE；（3）DE平分∠ADB；（4）BD+AC>AB哪些不成立，成立的说明理由，不成立的在原有条件的基础上，添加条件使之成立，并证明．

【难度】★★★

【答案】见解析．

【解析】

（1）∵∠EAD=∠CAD，∠AED=∠C，AD=AD

∴△ADE≌△ADC，∴成立；

（2）∵∠B+∠BAC=90°，∠B+∠BDE=90°，

∴∠BAC=∠BDE，∴成立；

（3）不成立．添加∠B=30°

∵∠B=30°，∴∠BAC=60°，∴∠BAD=30°∴△ABD为等腰三角形

又∵DE⊥AB，∴DE平分∠ADB，

（4）AB=AE+EB，由

（1）知AE=AC，又∵BD>BE（斜边大于直角边）

∴BD+AC>AB，∴成立．

【总结】考查角平分线性质定理的运用．

【例27】如图，AD是等腰△ABC底边上的高，E、F为AD上两点，且∠ABE=∠EBF=

∠FBC，联结CF并延长交AB于点G．

求证：

（1）△GBF为等腰三角形；

（2）GE∥BF．

A

B

C

D

E

F

G

P

R

Q

【难度】★★★

【答案】见解析．

【解析】

（1）

∵∠ABE=∠EBF=∠FBC，

∴△GBF为等腰三角形；

（2）如图，过点E作EP⊥GF于点P、EQ⊥BF于点Q、ER⊥AB于点R．

∵FB=FC，FD⊥BC，∴

∵

，

，∴

∴

∵BE平分

，EQ⊥BF，ER⊥AB，

∴

，∴

，∴

∵

∴

∴

．

【总结】考查角平分线性质定理的运用及等腰三角形的性质．

模块四：

轨迹

点的轨迹：

符合某些条件的所有的点的集合．

三个基本轨迹：

（1）和一条线段的两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；

（2）在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边的距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

（3）到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆．

【例28】

（1）经过点A、B的圆的圆心的轨迹是_____________；

（2）到直线m距离等于a的点的轨迹是_____________________；

（3）以线段AB为腰，点B为底角顶点的等腰三角形另一顶点的轨迹

是___________________．

【难度】★★

【答案】略．

【解析】

（1）线段AB的垂直平分线；

（2）平行于直线m且到直线m的距离为a的两条直线；

（3）以B为圆心，AB长为半径的圆，去除AB所在直线与圆的交点．

【总结】本题主要考查最常见的三种轨迹．

【例29】以下说法中错误的是（）

A．到定点距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆

B．如果P是∠AOB内一点，点M、N分别在OA、OB上，PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，且PM=PN，那么射线OP是∠AOB的平分线

C．底边为定长的等腰三角形的顶点的轨迹是底边的垂直平分线

D．经过P、Q两点的圆的圆心的轨迹是PQ的垂直平分线

【难度】★★

【答案】C

【解析】底边的中点除外．

【总结】考查点的轨迹的运用．

【例30】

A

B

C

在△ABC内找一点P，使它到△ABC的三个顶点的距离都相等．

【难度】★★

【答案】略．

【解析】作任意两条边的垂直平分线，这两条直线的交点即为点P．

【总结】考查垂直平分线性质定理的运用．

【例31】作图：

（1）已知线段a、b，求做直角△ABC，使得∠C=90°，AB=b，BC=a；

（2）已知∠AOB，点P及线段a，求作点Q，使得点Q到OA、OB的距离相等，且PQ=a．

【难度】★★★

【答案】略．

A

B

O

（2）

【解析】

（1）

（2）点Q到角两边的距离相等，则点Q在角平分线上，PQ=a，则以P为圆心，a为半径画圆，与角平分线的交点即为点Q．

【总结】本题主要考查尺规作图的运用．

【习题1】以下说法错误的是（）．

A．如果PA=PB，那么点P在线段AB的垂直平分线上

B．如果点P在线段AB的垂直平分线上，那么点P到线段AB两端距离相等

C．如果点P在∠AOB的内部且到OA、OB距离相等，那么射线OP是∠AOB的角平分线

D．如果OP是∠AOB的平分线，那么点P到OA、OB上两点M、N的距离相等，即PM=PN

【难度】★

【答案】D

【解析】PM、PN必须垂直∠AOB的两条边．

【总结】考查垂直平分线性质定理的运用．

【习题2】

A

B

C

D

如图在△ABC中，∠B=115°，AC的垂直平分线与AB交于点D，且∠ACD︰∠