任意角的三角函数公开课教案精选.docx
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任意角的三角函数公开课教案精选
任意角的三角函数(第一课时)
教学目标
1.掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义(包括定义域、正负符号判断);了解任意角的余切、正割、余割函数的定义.
2.经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概念的产生、发展过程.领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验.
3.培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观.
4.培养学生求真务实、实事求是的科学态度.
一、重点、难点、关键
重点:
任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、(正负)符号判断法.
难点:
把三角函数理解为以实数为自变量的函数.
关键:
如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性(α确定,比值也随之确定)与依赖性(比值随着α的变化而变化).
二、教学过程
[执教线索:
回想再认:
函数的概念、锐角三角函数定义(锐角三角形边角关系)——问题情境:
能推广到任意角吗?
——它山之石:
建立直角坐标系(为何?
)——优化认知:
用直角坐标系研究锐角三角函数——探索发展:
对任意角研究六个比值(与角之间的关系:
确定性、依赖性,满足函数定义吗?
)——自主定义:
任意角三角函数定义——登高望远:
三角函数的要素分析(对应法则、定义域、值域与正负符号判定)——例题与练习——回顾小结——布置作业]
(一)复习引入、回想再认
开门见山,面对全体学生提问:
在初中我们初步学习了锐角三角函数,前几节课,我们把锐角推广到了任意角,学习了角度制和弧度制,这节课该研究什么呢?
探索任意角的三角函数(板书课题),请同学们回想,再明确一下:
(情景1)什么叫函数?
或者说函数是怎样定义的?
让学生回想后再点名回答,投影显示规范的定义,教师根据回答情况进行修正、强调:
传统定义:
设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,自变量x的取值范围叫做函数的定义域.
现代定义:
设A、B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称映射ƒ:
A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:
f(x),x∈A,其中x叫自变量,自变量x的取值范围A叫做函数的定义域.
(情景2)我们在初中通过锐角三角形的边角关系,学习了锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数.请回想:
这三个三角函数分别是怎样规定的?
对
边
邻边
斜边
α
α=,α=,α=
(图1)
引伸铺垫、创设情景
(情景3)我们已经把锐角推广到了任意角,锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗?
试试看,可以独立思考和探索,也可以互相讨论!
留时间让学生独立思考或自由讨论,教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导.
能推广吗?
怎样推广?
针对刚才的问题点名让学生回答.用角的对边、临边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了,由于前面已经以直角坐标系为工具来研究任意角了,学生一般会想到(否则教师进行提示)继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数.
教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景:
请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义!
把锐角α安装(如何安装?
角的顶点与原点重合,角的始边与x轴非负半轴重合)在直角坐标系中,在角α终边上任取一点P,作⊥x轴于M,构造一个Δ,则∠α(锐角),设P()(x>0、y>0),α的临边、对边,斜边长∣.
根据锐角三角函数定义用x、y、r列出锐角α的正弦、余弦、正切三个比值,并补充对应列出三个倒数比值:
x
O
·
M
P()
y
α,α,α
(图2)
(情景4)各个比值与角之间有怎样的关系?
比值是角的函数吗?
追问:
锐角α大小发生变化时,比值会改变吗?
先让学生想象思考,作出主观判断,再用几何画板动画演示,同时作好解释说明:
保持r不变,让P绕原点O旋转即α在锐角范围内变化,六个比值随之变化的直观形象。
结论是:
比值随α的变化而变化.
x
O
·
M
P
y
(图3)
P′
M′
α
引导学生观察图3,联系相似三角形知识,
探索发现:
对于锐角α的每一个确定值,六个比值都是
确定的,不会随P在终边上的移动而变化.
得出结论(强调):
当α为锐角时,六个比值随α的变化而变化;但对于锐角α的每一个确定值,六个比值都是确定的,不会随P在终边上的移动而变化.所以,六个比值分别是以角α为自变量、以比值为函数值的函数.
(三)分析归纳、自主定义
(情境5)能将锐角的比值情形推广到任意角α吗?
水到渠成,师生共同进行探索和推广:
对于一个任意角α,它的终边所在位置包括下列两类共八种情形(投影展示并作分析):
终边分别在四个象限的情形:
终边分别在四个半轴上的情形:
P()
y
x
O
y
x
P()
O
角α终边
P()
y
x
O
P()
y
x
O
(图4)
P()
y
x
O
·
P()
y
x
O
·
P()
y
x
O
·
P()
y
x
O
·
(图5)
;
(指出:
不画出角的方向,表明角具有任意性)
怎样刻画任意角的三角函数呢?
研究它的六个比值:
(板书)设α是一个任意角,在α终边上除原点外任意取一点P(x,y),P与原点O之间的距离记作r(
>0),列出六个比值:
απ+π/2时,0,比值、无意义;
α=kπ时,0,比值x、r无意义.
追问:
α大小发生变化时,比值会改变吗?
先让学生想象思考,作出主观判断,再用几何画板动画演示,同时作好解释说明:
使r保持不变,P绕原点O逆时针、顺时针旋转即角α变化,六个比值随之改变的直观形象。
结论是:
各比值随α的变化而变化.
再引导学生利用相似三角形知识,探索发现:
对于任意角α的每一个确定值,六个比值都是确定的,不会随P在终边上的移动而变化.
综上得到(强调):
当角α变化时,六个比值随之变化;对于确定的角α,六个比值(如果存在的话)都不会随P在角α终边上的改变而改变,六个比值是确定的(对应的多值性即诱导公式一留到下节课分析).
因此,六个比值分别是以角α为自变量、以比值为函数值的函数.
根据历史上的规定,对比值进行命名,指出英文记法和读法,记作(承前作复合板书):
α(正弦)
α(余弦)
α(正切)
α(余割)
(正弦)
α(余切)
教师强调:
α表示与α的乘积吗?
不是,α是函数记号,是一个整体,相当于函数记号f(x).其它几个三角函数也如此
投影显示图六,指导学生分析其对应关系,进一步体会其函数内涵:
α
·
·
·
α
·
·
·
y
—
r
正弦
α
·
·
·
α
·
·
·
x
—
r
余弦
α
·
·
·
α
·
·
·
y
—
x
正切
α
·
·
·
α
·
·
·
r
—
y
余割
α
·
·
·
α
·
·
·
r
—
x
正割
α
·
·
·
α
·
·
·
x
—
y
余切
(图六)
指导学生识记六个比值及函数名称.
教师指出:
正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六个函数统称为三角函数,三角函数有非常丰富的知识和思想方法,我们以后主要学习正弦、余弦、正切三个函数的相关知识和方法,对于余切、正割、余割,只要同学们了解它们的定义就够了(遵循大纲要求).
引导学生进一步分析理解:
已知角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,对于每一个确定的实数,把它看成一个弧度数,就对应着唯一的一个角,从而分别对应着六个唯一的三角函数值.因此,(板书)三角函数可以看成是以实数为自变量的函数,这将为以后的应用带来很多方便.
(四)探索定义域
(情景6)
(1)函数概念的三要素是什么?
函数三要素:
对应法则、定义域、值域.
正弦函数α的对应法则是什么?
正弦函数α的对应法则,实质上就是α的定义:
对α的每一个确定的值,有唯一确定的比值与之对应,即α→α.
(2)布置任务情景:
什么是三角函数的定义域?
请求出六个三角函数的定义域,填写下表:
三角函数
α
α
α
α
α
α
定义域
引导学生自主探索:
如果没有特别说明,那么使解析式有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义域,三角函数的定义域自然是指:
使比值有意义的角α的取值范围.
关于α、α,对于任意角α(弧度数),r>0,、恒有意义,定义域都是实数集R.
对于α,α=kπ+π/2时0,无意义,α的定义域是:
{α|α∈R,且α≠kπ+π/2}.………
教师指出:
α、α、α的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基础上记熟,α、α、α的定义域不要求记忆.
(关于值域,到后面再学习).
(五)符号判断、形象识记
(情景7)能判断三角函数值的正、负吗?
试试看!
引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析,r>0,三角函数值的符号决定于x、y值的正负,根据终边所在位置总结出形象的识记口诀:
+
y
-
-
+
x
-
y
+
-
+
x
-
y
-
+
+
x
(同好得正、异号得负)
α=:
上正下负横为0α:
左负右正纵为0α:
交叉正负
练习巩固、理解记忆
1、自学例1:
已知角α的终边经过点P(2,-3),求α的六个三角函数值.
要求:
读完题目,思考:
计算什么?
需要准备什么?
闭目心算,对照解答,模仿书面表达格式,巩固定义.
课堂练习:
p19题1:
已知角α的终边经过点P(-3,-1),求α的六个三角函数值.
要求心算,并提问中下学生检验,
点评:
角α终边上有无穷多个点,根据三角函数的定义,只要知道α终边上任意一个点的坐标,就可以计算这个角的三角函数值(或判断其无意义).
补充例题:
已知角α的终边经过点P(x,-3),α=4/5,求α的其它五个三角函数值.
师生探索:
已知3,要求其它五个三角函数值,须知?
,?
.根据定义得
=
(方程思想),x>0,解得4,从而.解答略.
2、自学例2:
求下列各角的六个三角函数值:
(1)0;
(2)π/2;(3)3π/2.
提问,据反馈信息作点评、修正.
师生探索:
紧扣三角函数定义求解,首先要在终边上取定一点。
终边在哪儿呢?
取定哪一点呢?
任意点、还是特殊点?
要灵活,只要能够算出三角函数值,都可以。
取特殊点能使计算更简明。
课堂练习:
p19题2.(改编)填表:
角α(角度)
0°
90°
180°
270°
360°
角α(弧度)
α
α
α
处理:
要求取点用定义求解,针对计算过程提问、点评,理解巩固定义.
强调:
终边在坐标轴上的角叫轴线角,如0、π/2、π、3π/2等,今后经常用到轴线角的三角函数值,要结合三角函数定义记熟这些值.
(六)回顾小结、建构网络
要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记,提问检查并强调:
1.你是怎样把锐角三角函数定义推广到任意角的?
或者说任意角三角函数具体是怎样定义的?
(建立直角坐标系,使角的顶点与坐标原点重合,,在终边上任意取定一点P,)
2.你如何判断和记忆正弦、余弦、正切函数的定义域?
(根据定义,)
3.你如何记忆正弦、余弦、正切函数值的符号?
(根据定义,想象坐标位置,)
(七)布置课外作业
1.书面作业:
习题4.3第3、4、5题.
2.认真阅读p22“阅读材料:
三角函数与欧拉”,了解欧拉的生平和贡献,
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