任意角的三角函数公开课教案精选.docx
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任意角的三角函数公开课教案精选
任意角的三角函数（第一课时）
教学目标
1．掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义（包括定义域、正负符号判断）；了解任意角的余切、正割、余割函数的定义.
2．经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程，体验三角函数概念的产生、发展过程.领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验.
3．培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点，渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观.
4．培养学生求真务实、实事求是的科学态度.
一、重点、难点、关键
重点：
任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、（正负）符号判断法.
难点：
把三角函数理解为以实数为自变量的函数.
关键：
如何想到建立直角坐标系；六个比值的确定性（α确定，比值也随之确定）与依赖性（比值随着α的变化而变化）.
二、教学过程
[执教线索：
回想再认：
函数的概念、锐角三角函数定义（锐角三角形边角关系）——问题情境：
能推广到任意角吗？
——它山之石：
建立直角坐标系（为何？
）——优化认知：
用直角坐标系研究锐角三角函数——探索发展：
对任意角研究六个比值（与角之间的关系：
确定性、依赖性，满足函数定义吗？
）——自主定义：
任意角三角函数定义——登高望远：
三角函数的要素分析（对应法则、定义域、值域与正负符号判定）——例题与练习——回顾小结——布置作业]
（一）复习引入、回想再认
开门见山，面对全体学生提问：
在初中我们初步学习了锐角三角函数，前几节课，我们把锐角推广到了任意角，学习了角度制和弧度制，这节课该研究什么呢？
探索任意角的三角函数（板书课题），请同学们回想，再明确一下：
（情景1）什么叫函数？
或者说函数是怎样定义的？
让学生回想后再点名回答，投影显示规范的定义，教师根据回答情况进行修正、强调：
传统定义：
设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量，自变量x的取值范围叫做函数的定义域.
现代定义：
设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称映射ƒ：
A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：
f（x），x∈A，其中x叫自变量,自变量x的取值范围A叫做函数的定义域.
（情景2）我们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数.请回想：
这三个三角函数分别是怎样规定的？
对
边
邻边
斜边
α
α=，α=，α=
（图1）
引伸铺垫、创设情景
（情景3）我们已经把锐角推广到了任意角，锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗？
试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！
留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导.
能推广吗？
怎样推广？
针对刚才的问题点名让学生回答.用角的对边、临边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了，由于前面已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生一般会想到（否则教师进行提示）继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数.
教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：
请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！
把锐角α安装（如何安装？
角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合）在直角坐标系中，在角α终边上任取一点P，作⊥x轴于M，构造一个Δ，则∠α（锐角），设P（）（x＞0、y＞0），α的临边、对边，斜边长∣.
根据锐角三角函数定义用x、y、r列出锐角α的正弦、余弦、正切三个比值，并补充对应列出三个倒数比值：
x
O
·
M
P（）
y
α，α，α
（图2）
（情景4）各个比值与角之间有怎样的关系？
比值是角的函数吗？
追问：
锐角α大小发生变化时，比值会改变吗？
先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：
保持r不变，让P绕原点O旋转即α在锐角范围内变化，六个比值随之变化的直观形象。
结论是：
比值随α的变化而变化.
x
O
·
M
P
y
（图3）
P′
M′
α
引导学生观察图3，联系相似三角形知识，
探索发现：
对于锐角α的每一个确定值，六个比值都是
确定的，不会随P在终边上的移动而变化.
得出结论（强调）：
当α为锐角时，六个比值随α的变化而变化；但对于锐角α的每一个确定值，六个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化.所以，六个比值分别是以角α为自变量、以比值为函数值的函数.
（三）分析归纳、自主定义
（情境5）能将锐角的比值情形推广到任意角α吗?
水到渠成，师生共同进行探索和推广：
对于一个任意角α，它的终边所在位置包括下列两类共八种情形（投影展示并作分析）：
终边分别在四个象限的情形：
终边分别在四个半轴上的情形：
P（）
y
x
O
y
x
P（）
O
角α终边
P（）
y
x
O
P（）
y
x
O
（图4）
P（）
y
x
O
·
P（）
y
x
O
·
P（）
y
x
O
·
P（）
y
x
O
·
（图5）
；
（指出：
不画出角的方向，表明角具有任意性）
怎样刻画任意角的三角函数呢？
研究它的六个比值：
（板书）设α是一个任意角，在α终边上除原点外任意取一点P（x，y），P与原点O之间的距离记作r（
＞0），列出六个比值：
απ+π/2时，0，比值、无意义；
α=kπ时，0，比值x、r无意义.
追问：
α大小发生变化时，比值会改变吗？
先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：
使r保持不变，P绕原点O逆时针、顺时针旋转即角α变化，六个比值随之改变的直观形象。
结论是：
各比值随α的变化而变化.
再引导学生利用相似三角形知识，探索发现：
对于任意角α的每一个确定值，六个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化.
综上得到（强调）：
当角α变化时，六个比值随之变化；对于确定的角α，六个比值（如果存在的话）都不会随P在角α终边上的改变而改变，六个比值是确定的（对应的多值性即诱导公式一留到下节课分析）.
因此，六个比值分别是以角α为自变量、以比值为函数值的函数.
根据历史上的规定，对比值进行命名，指出英文记法和读法，记作（承前作复合板书）：
α（正弦）
α（余弦）
α（正切）
α（余割）
（正弦）
α（余切）
教师强调：
α表示与α的乘积吗？
不是，α是函数记号，是一个整体,相当于函数记号f（x）.其它几个三角函数也如此
投影显示图六，指导学生分析其对应关系，进一步体会其函数内涵：
α
·
·
·
α
·
·
·
y
—
r
正弦
α
·
·
·
α
·
·
·
x
—
r
余弦
α
·
·
·
α
·
·
·
y
—
x
正切
α
·
·
·
α
·
·
·
r
—
y
余割
α
·
·
·
α
·
·
·
r
—
x
正割
α
·
·
·
α
·
·
·
x
—
y
余切
（图六）
指导学生识记六个比值及函数名称.
教师指出：
正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六个函数统称为三角函数，三角函数有非常丰富的知识和思想方法，我们以后主要学习正弦、余弦、正切三个函数的相关知识和方法，对于余切、正割、余割，只要同学们了解它们的定义就够了（遵循大纲要求）.
引导学生进一步分析理解：
已知角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，对于每一个确定的实数，把它看成一个弧度数，就对应着唯一的一个角，从而分别对应着六个唯一的三角函数值.因此，（板书）三角函数可以看成是以实数为自变量的函数，这将为以后的应用带来很多方便.
（四）探索定义域
（情景6）
（1）函数概念的三要素是什么？
函数三要素：
对应法则、定义域、值域.
正弦函数α的对应法则是什么？
正弦函数α的对应法则，实质上就是α的定义：
对α的每一个确定的值，有唯一确定的比值与之对应，即α→α.
（2）布置任务情景：
什么是三角函数的定义域？
请求出六个三角函数的定义域，填写下表：
三角函数
α
α
α
α
α
α
定义域
引导学生自主探索：
如果没有特别说明，那么使解析式有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义域，三角函数的定义域自然是指：
使比值有意义的角α的取值范围.
关于α、α，对于任意角α（弧度数），r＞0，、恒有意义，定义域都是实数集R.
对于α，α=kπ+π/2时0，无意义，α的定义域是：
{α|α∈R，且α≠kπ+π/2}.………
教师指出:
α、α、α的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基础上记熟，α、α、α的定义域不要求记忆.
（关于值域，到后面再学习）.
（五）符号判断、形象识记
（情景7）能判断三角函数值的正、负吗？
试试看！
引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，r＞0,三角函数值的符号决定于x、y值的正负，根据终边所在位置总结出形象的识记口诀：
＋
y
－
－
＋
x
－
y
＋
－
＋
x
－
y
－
＋
＋
x
（同好得正、异号得负）
α=：
上正下负横为0α：
左负右正纵为0α：
交叉正负
练习巩固、理解记忆
1、自学例1：
已知角α的终边经过点P（2，-3），求α的六个三角函数值.
要求：
读完题目，思考：
计算什么?
需要准备什么?
闭目心算，对照解答，模仿书面表达格式，巩固定义.
课堂练习：
p19题1：
已知角α的终边经过点P（-3，-1），求α的六个三角函数值.
要求心算，并提问中下学生检验，
点评：
角α终边上有无穷多个点，根据三角函数的定义，只要知道α终边上任意一个点的坐标，就可以计算这个角的三角函数值（或判断其无意义）.
补充例题：
已知角α的终边经过点P（x，-3），α=4/5，求α的其它五个三角函数值.
师生探索：
已知3，要求其它五个三角函数值，须知？
，？
.根据定义得
=
（方程思想），x＞0，解得4，从而.解答略.
2、自学例2：
求下列各角的六个三角函数值：
（1）0；
（2）π/2；（3）3π/2.
提问，据反馈信息作点评、修正.
师生探索：
紧扣三角函数定义求解，首先要在终边上取定一点。
终边在哪儿呢？
取定哪一点呢？
任意点、还是特殊点？
要灵活，只要能够算出三角函数值，都可以。
取特殊点能使计算更简明。
课堂练习：
p19题2.（改编）填表：
角α（角度）
0°
90°
180°
270°
360°
角α（弧度）
α
α
α
处理：
要求取点用定义求解，针对计算过程提问、点评，理解巩固定义.
强调：
终边在坐标轴上的角叫轴线角，如0、π/2、π、3π/2等，今后经常用到轴线角的三角函数值，要结合三角函数定义记熟这些值.
（六）回顾小结、建构网络
要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记，提问检查并强调：
1．你是怎样把锐角三角函数定义推广到任意角的？
或者说任意角三角函数具体是怎样定义的？
（建立直角坐标系，使角的顶点与坐标原点重合，，在终边上任意取定一点P，）
2．你如何判断和记忆正弦、余弦、正切函数的定义域？
（根据定义，）
3．你如何记忆正弦、余弦、正切函数值的符号？
（根据定义，想象坐标位置，）
（七）布置课外作业
1．书面作业：
习题4.3第3、4、5题.
2．认真阅读p22“阅读材料：
三角函数与欧拉”，了解欧拉的生平和贡献，
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