初升高数学提高练习第七讲 根式及其运算.docx

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初升高数学提高练习第七讲根式及其运算

第七讲根式及其运算

　　二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．下面先复习有关基础知识，然后进行例题分析．

　　二次根式的性质：

　　二次根式的运算法则：

　　设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅

　　当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．

　　例1化简：

法是配方去掉根号，所以

　　因为x-2＜0，1-x＜0，所以

　　原式=2-x+x-1=1．

　　　　　　＝a-b-a+b-a+b=b-a．

　　说明若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简．

　　例2化简：

　　分析两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简．

　　解法1配方法．

　　配方法是要设法找到两个正数x，y（x＞y），使x+y=a，xy=b，则

　　解法2待定系数法．

　　例4化简：

（2）这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简．

　　分析被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以看成

　　解设

　　两边平方得

　　②×③×④得

　　（xyz）2=5×7×35=352．

　　因为x，y，z均非负，所以xyz≥0，所以

xyz=35．⑤

　　⑤÷②，有z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z显然满足①，所以

　　解设原式=x，则

　　解法1利用（a＋b）3＝a3＋b3＋3ab（a＋b）来解．

　　将方程左端因式分解有

　　（x-4）（x2＋4x＋10）＝0．

　　因为

　　x2＋4x＋10＝（x＋2）2＋6＞0，

　　所以x-4＝0，x＝4．所以原式＝4．

　　解法2

　　说明解法2看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本题解法1是一般常用的解法．

　　例8化简：

　　解

（1）

　　本小题也可用换元法来化简．

　　解用换元法．

　　解直接代入较繁，观察x，y的特征有

　　所以

　　3x2-5xy＋3y2＝3x2＋6xy＋3y2-11xy

　　　　　　　＝3（x＋y）2-11xy

　　　　　　　＝3×102-11×1＝289．

　　例11求

　　分析本题的关键在于将根号里的乘积化简，不可一味蛮算．

　　解设根号内的式子为A，注意到1＝（2-1），及平方差公式（a＋b）（a-b）＝a2-b2，所以

　　A＝（2-1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）…（2256＋1）＋1

　　＝（22-1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）…（2256＋1）＋1

　　＝（24-1）（24＋1）（28＋1）（216＋1）…（2256＋1）＋1

　　＝…＝（2256-1）（2256＋1）＋1

　　＝22×256-1＋1＝22×256，

　　的值．

　　分析与解先计算几层，看一看有无规律可循．

　　解用构造方程的方法来解．设原式为x，利用根号的层数是无限的特点，有

　　两边平方得

　　两边再平方得

　　x4-4x2＋4＝2＋x，所以x4-4x2-x＋2＝0．

　　观察发现，当x＝-1，2时，方程成立．因此，方程左端必有因式（x＋1）（x-2），将方程左端因式分解，有

　　（x＋1）（x-2）（x2＋x-1）＝0．

　　解因为

原式=5　

　　练习七

　　1．化简：

　　2．计算：

　　3．计算：