学年高中物理第十一章机械振动第2节简谐运动的描述教学案新人教版.docx

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学年高中物理第十一章机械振动第2节简谐运动的描述教学案新人教版

第2节简谐运动的描述

1.振幅A表示振动物体离开平衡位置的最大距离，表示振动的强弱，是标量。

2．振子完成一次全振动的时间总是相等的，一次全振动中通过的总路程为4A。

3．相位是描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。

4．简谐运动的表达式为：

x＝Asin（ωt＋φ）。

位移随时间变化的关系满足x＝Asin（ωt＋φ）的运动是简谐运动。

一、描述简谐运动的物理量

1．振幅

（1）定义：

振动物体离开平衡位置的最大距离，用A表示。

（2）物理意义：

表示振动的强弱，是标量。

2．全振动

图1121

类似于O→B→O→C→O的一个完整振动过程。

3．周期（T）和频率（f）

周期

频率

定义

做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫做振动的周期

单位时间内完成全振动的次数，叫做振动的频率

单位

秒（s）

赫兹（Hz）

物理含义

表示物体振动快慢的物理量

关系式

T＝

4.相位

描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。

二、简谐运动的表达式

简谐运动的一般表达式为x＝Asin（ωt＋φ）

1．x表示振动物体相对于平衡位置的位移。

2．A表示简谐运动的振幅。

3．ω是一个与频率成正比的量，表示简谐运动的快慢，ω＝

＝2πf。

4．ωt＋φ代表简谐运动的相位，φ表示t＝0时的相位，叫做初相。

1．自主思考——判一判

（1）振幅就是指振子的位移。

（×）

（2）振幅就是指振子的路程。

（×）

（3）振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程。

（×）

（4）振子完成一次全振动的路程等于振幅的4倍。

（√）

（5）简谐运动表达式x＝Asin（ωt＋φ）中，ω表示振动的快慢，ω越大，振动的周期越小。

（√）

2．合作探究——议一议

（1）两个简谐运动有相位差Δφ，说明了什么？

甲、乙两个简谐运动的相位差为

π，意味着什么？

提示：

两个简谐运动有相位差，说明其步调不相同。

甲、乙两个简谐运动的相位差为

π，意味着乙（甲）总比甲（乙）滞后

个周期或

次全振动。

（2）简谐运动的表达式一般表示为x＝Asin（ωt＋φ），那么简谐运动的函数表达式能否用余弦函数表示？

提示：

简谐运动的位移和时间的关系既可以用正弦函数表示，也可以用余弦函数表示，只是对应的初相位不同。

描述简谐运动的物理量及其关系的理解

1．对全振动的理解

（1）全振动的定义：

振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫作一次全振动。

（2）全振动的四个特征：

①物理量特征：

位移（x）、加速度（a）、速度（v）三者第一次同时与初始状态相同。

②时间特征：

历时一个周期。

③路程特征：

振幅的4倍。

④相位特征：

增加2π。

2．简谐运动中振幅和几个物理量的关系

（1）振幅和振动系统的能量：

对一个确定的振动系统来说，系统能量仅由振幅决定。

振幅越大，振动系统的能量越大。

（2）振幅与位移：

振动中的位移是矢量，振幅是标量。

在数值上，振幅与振动物体的最大位移相等，但在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化。

（3）振幅与路程：

振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。

其中常用的定量关系是：

一个周期内的路程为4倍振幅，半个周期内的路程为2倍振幅。

（4）振幅与周期：

在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期（或频率）是固定的，与振幅无关。

[典例]　弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动，BC相距20cm，某时刻振子处于B点，经过0.5s，振子首次到达C点，求：

（1）振子的振幅；

（2）振子的周期和频率；

（3）振子在5s内通过的路程及位移大小。

[解析]　

（1）振幅设为A，则有2A＝BC＝20cm，所以A＝10cm。

（2）从B首次到C的时间为周期的一半，因此T＝2t＝1s；

再根据周期和频率的关系可得f＝

＝1Hz。

（3）振子一个周期通过的路程为4A＝40cm，即一个周期运动的路程为40cm，

s＝

4A＝5×40cm＝200cm

5s的时间为5个周期，又回到原始点B，位移大小为10cm。

[答案]　

（1）10cm　

（2）1s　1Hz　（3）200cm　10cm

振动物体路程的计算方法

（1）求振动物体在一段时间内通过路程的依据：

①振动物体在一个周期内通过的路程一定为四个振幅，则在n个周期内通过的路程必为n·4A。

②振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅。

③振动物体在

内通过的路程可能等于一倍振幅，还可能大于或小于一倍振幅，只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，

内通过的路程才等于振幅。

（2）计算路程的方法是：

先判断所求时间内有几个周期，再依据上述规律求路程。

1．如图1122所示，弹簧振子在BC间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5cm，若振子从B到C的运动时间为1s，则下列说法正确的是（　　）

图1122

A．振子从B经O到C完成一次全振动

B．振动周期是1s，振幅是10cm

C．经过两次全振动，振子通过的路程是20cm

D．从B开始经过3s，振子通过的路程是30cm

解析：

选D　振子从B→O→C仅完成了半次全振动，所以周期T＝2×1s＝2s，振幅A＝BO＝5cm，A、B错误；振子在一次全振动中通过的路程为4A＝20cm，所以两次全振动振子通过的路程为40cm，C错误；3s的时间为1.5T，所以振子通过的路程为30cm，D正确。

2．质点沿x轴做简谐运动，平衡位置为坐标原点O。

质点经过a点（xa＝－5cm）和b点（xb＝5cm）时速度相同，时间tab＝0.2s；此时质点再由b点回到a点所用的最短时间tba＝0.4s；则该质点做简谐运动的频率为（　　）

A．1Hz　　　　　　　B．1.25Hz

C．2HzD．2.5Hz

解析：

选B　由题意可知，a、b两点关于平衡位置O对称，质点经a点和b点时速度相同，则质点由b点回到a点所用的最短时间tba＝0.4s为质点振动周期的

，故T＝2tba＝0.8s，质点做简谐运动的频率为f＝

＝1.25Hz，B正确。

3．一个质点做简谐运动，振幅是4cm，频率为2.5Hz，该质点从平衡位置起向正方向运动，经2.5s，质点的位移和路程分别是（　　）

A．4cm、24cm　　　　　　　B．－4cm、100cm

C．0、100cmD．4cm、100cm

解析：

选D　由f＝

得T＝

＝0.4s，Δt＝2.5s＝6

T。

每个周期质点通过的路程为4×4cm＝16cm，故质点的总路程s＝6

×16cm＝100cm，质点0时刻从平衡位置向正向位移运动，经过

周期运动到正向最大位移处，即位移x＝4cm，故D项正确。

对简谐运动表达式的理解

做简谐运动的物体位移x随时间t变化的表达式：

x＝Asin（ωt＋φ）

（1）x：

表示振动质点相对于平衡位置的位移。

（2）A：

表示振幅，描述简谐运动振动的强弱。

（3）ω：

圆频率，它与周期、频率的关系为ω＝

＝2πf。

可见ω、T、f相当于一个量，描述的都是振动的快慢。

（4）ωt＋φ：

表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量。

它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。

（5）φ：

表示t＝0时振动质点所处的状态，称为初相位或初相。

（6）相位差：

即某一时刻的相位之差。

两个具有相同ω的简谐运动，设其初相分别为φ1和φ2，其相位差Δφ＝（ωt＋φ2）－（ωt＋φ1）＝φ2－φ1。

[典例]　物体A做简谐运动的振动位移为xA＝3cos

m，物体B做简谐运动的振动位移为xB＝5cos

m。

比较A、B的运动（　　）

A．振幅是矢量，A的振幅是6m，B的振幅是10m

B．周期是标量，A、B周期相等为100s

C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB

D．A振动的频率fA大于B振动的频率fB

[思路点拨]　

（1）物体的振幅、角速度可以直接由简谐运动表达式得出。

（2）角速度与周期、频率的关系：

ω＝

＝2πf。

[解析]　振幅是标量，A、B的振动范围分别是6m、10m，但振幅分别是3m、5m，选项A错误。

周期是标量，A、B的周期T＝

＝

s＝6.28×10－2s，选项B错误。

因为ωA＝ωB，故fA＝fB，选项C正确，选项D错误。

[答案]　C

用简谐运动表达式解答振动问题的方法

应用简谐运动的表达式x＝Asin（ωt＋φ）解答简谐运动问题时，首先要明确表达式中各物理量的意义，找到各物理量对应的数值，根据ω＝

＝2πf确定三个描述振动快慢的物理量间的关系，有时还需要通过画出其振动图像来解决有关问题。

1．某振子做简谐运动的表达式为x＝2sin

cm，则该振子振动的振幅和周期为（　　）

A．2cm　1s　　　　　　　B．2cm　2πs

C．1cm　

sD．以上全错

解析：

选A　由x＝Asin（ωt＋φ）与x＝2sin

对照可得：

A＝2cm，ω＝2π＝

，所以T＝1s，A选项正确。

2．有一弹簧振子，振幅为0.8cm，周期为0.5s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是（　　）

A．x＝8×10－3sin

m

B．x＝8×10－3sin

m

C．x＝8×10－1sin

m

D．x＝8×10－1sin

m

解析：

选A　由题意知，A＝0.8cm＝8×10－3m，T＝0.5s，ω＝

＝4π，t＝0时，弹簧振子具有负方向的最大加速度，即t＝0时，x＝A＝8×10－3m，故A选项正确。

3．（多选）某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asin

t，则质点（　　）

A．第1s末与第3s末的位移相同

B．第1s末与第3s末的速度相同

C．第3s末与第5s末的位移相同

D．第3s末与第5s末的速度相同

解析：

选AD　根据x＝Asin

t可求得该质点振动周期为T＝8s，则该质点振动图像如图所示，图像的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1s末和第3s末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项A正确，B错误；第3s末和第5s末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项C错误，D正确。

1．周期为2s的简谐运动，在半分钟内通过的路程是60cm，则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为（　　）

A．15次，2cm　　　　　　B．30次，1cm

C．15次，1cmD．60次，2cm

解析：

选B　在半分钟内振子完成15次全振动，经过平衡位置的次数为30次，通过的路程s＝4A×15＝60A＝60cm，故振幅A＝1cm，B项正确。

2.物体做简谐运动，其图像如图1所示，在t1和t2两时刻，物体的（　　）

图1

A．相位相同

B．位移相同

C．速度相同

D．加速度相同

解析：

选C　由图可知物体做简谐运动的振动方程为x＝Asinωt，其相位为ωt，故t1与t2的相位不同，A错；t1时刻位移大于零，t2时刻位移小于零，B、D错；由振动图像知t1、t2时刻物体所处位置关于平衡位置对称，速率相同，且均向下振动，方向相同，C对。

3．如图2甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期T＝2s，从最低点位置向上运动时开始计时，在一个周期内的振动图像如图乙所示，关于这个图像，下列哪些说法正确（　　）

甲　　　　　　　　　　　　乙　　　　　　

　　　图2　　　　

A．t＝1.25s时，振子的加速度为正，速度也为正

B．t＝1.7s时，振子的加速度为负，速度也为负

C．t＝1.0s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值

D．t＝1.5s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值

解析：

选C　由xt图像可知，t＝1.25s时，振子的加速度和速度均沿－x方向，A错误；t＝1.7s时，振子的加速度沿＋x方向，B错误；t＝1.0s时，振子在最大位移处，加速度为负向最大，速度为零，C正确；t＝1.5s时，振子在平衡位置，速度最大，加速度为零，D错误。

4．（多选）一个弹簧振子的振幅是A，若在Δt的时间内物体运动的路程是s，则下列关系中可能正确的是（包括一定正确的）（　　）

A．Δt＝2T，s＝8AB．Δt＝

，s＝2A

C．Δt＝

，s＝2AD．Δt＝

，s>A

解析：

选ABD　因每个全振动所通过的路程为4A，故A、B正确，C错误；又因振幅为振子的最大位移，而s为

时的路程，故s有可能大于A，故D正确。

5．有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为（　　）

A．1∶1　1∶1B．1∶1　1∶2

C．1∶4　1∶4D．1∶2　1∶2

解析：

选B　弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶2，而对同一振动系统，其周期与振幅无关，则周期之比为1∶1。

振动周期由振动系统的性质决定，与振幅无关。

6.（多选）如图3所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。

以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin（2.5πt）m。

t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6s时，小球恰好与物块处于同一高度。

取重力加速度的大小g＝10m/s2。

以下判断正确的是（　　）

图3

A．h＝1.7m

B．简谐运动的周期是0.8s

C．0.6s内物块运动的路程为0.2m

D．t＝0.4s时，物块与小球运动方向相反

解析：

选AB　由物块简谐运动的表达式y＝0.1sin（2.5πt）m知，ω＝2.5π，T＝

＝

s＝0.8s，选项B正确；t＝0.6s时，y＝－0.1m，对小球：

h＋|y|＝

gt2，解得h＝1.7m，选项A正确；物块0.6s内路程为0.3m，t＝0.4s时，物块经过平衡位置向下运动，与小球运动方向相同。

故选项C、D错误。

7．一物体沿x轴做简谐运动，振幅为12cm，周期为2s。

当t＝0时，位移为6cm，且向x轴正方向运动，求：

（1）初相位；

（2）t＝0.5s时物体的位置。

解析：

（1）设简谐运动的表达式为x＝Asin（ωt＋φ），A＝12cm，T＝2s，ω＝

，t＝0时，x＝6cm。

代入上式得，6＝12sin（0＋φ）

解得sinφ＝

，φ＝

或

π。

因这时物体向x轴正方向运动，

故应取φ＝

，即其初相为

。

（2）由上述结果可得：

x＝Asin（ωt＋φ）＝12sin

cm，

所以x＝12sin

cm＝12sin

πcm＝6

cm。

答案：

（1）

（2）6

cm处

8．

（1）（多选）有两个简谐运动，其表达式分别是x1＝4sin

cm，x2＝5sin

cm，下列说法正确的是（　　）

A．它们的振幅相同B．它们的周期相同

C．它们的相位差恒定D．它们的振动步调一致

E．它们的圆频率相同

（2）一竖直悬挂的弹簧振子，下端装有一记录笔，在竖直面内放置有一记录纸。

当振子上下振动时，以速率v水平向左匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下如图4所示的图像，y1、y2、x0、2x0为纸上印迹的位置坐标。

由此图求振动的周期和振幅。

图4

解析：

（1）它们的振幅分别是4cm、5cm，故不同，选项A错误；ω都是100πrad/s，所以周期

都是

s，选项B、E正确；由Δφ＝

－

＝

得相位差

恒定，选项C正确；Δφ≠0，即振动步调不一致，选项D错误。

（2）设振动的周期为T，由题意可得：

在振子振动的一个周期内，纸带发生的位移大小为2x0，故T＝

。

设振动的振幅为A，则有：

2A＝y1－y2，故A＝

。

答案：

（1）BCE　

（2）