届高考数学必考题型过关练专题一+集合与常用逻辑用语 解析版.docx

届高考数学必考题型过关练专题一+集合与常用逻辑用语 解析版.docx

《届高考数学必考题型过关练专题一+集合与常用逻辑用语 解析版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《届高考数学必考题型过关练专题一+集合与常用逻辑用语 解析版.docx（26页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

届高考数学必考题型过关练专题一+集合与常用逻辑用语解析版

第1练　小集合，大功能

题型一　单独命题独立考查

例1　已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为（　　）

A．3B．6C．8D．10

破题切入点　弄清“集合的代表元素”是解决集合问题的关键．

答案　D

解析　∵B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，

∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.

∴B＝{（2,1），（3,1），（3,2），（4,1），（4,2），（4,3），（5,1），（5,2），（5,3），（5,4）}，

∴B中所含元素的个数为10.

题型二　与函数定义域、值域综合考查

例2　设函数f（x）＝lg（1－x2），集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}，则图中阴影部分表示的集合为（　　）

A．[－1,0]B．（－1,0）

C．（－∞，－1）∪[0,1）D．（－∞，－1]∪（0,1）

破题切入点　弄清“集合”代表的是函数的定义域还是值域，如何求其定义域或值域．

答案　D

解析　因为A＝{x|y＝f（x）}＝{x|1－x2>0}＝{x|－1

∁RA＝（－∞，－1]∪[1，＋∞）．

则u＝1－x2∈（0,1]，

所以B＝{y|y＝f（x）}＝{y|y≤0}，∁RB＝（0，＋∞），

所以题图阴影部分表示的集合为

（A∩∁RB）∪（B∩∁RA）

＝（0,1）∪（－∞，－1]．故选D.

题型三　与不等式综合考查

例3　若集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－2

A．a>－2B．a≤－2

C．a>－1D．a≥－1

破题切入点　弄清“集合”代表不等式的解集，“A∩B≠∅”说明两个集合有公共元素．

答案　C

解析　A＝{x|－1

如图所示：

∵A∩B≠∅，∴a>－1.

总结提高　

（1）集合是一个基本内容，它可以与很多内容综合考查，题型丰富．

（2）对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．

（3）对于给出已知集合，进行交集、并集与补集运算时，可以直接根据它们的定义求解，也可以借助数轴、Venn图等图形工具，运用分类讨论、数形结合等思想方法，直观求解．

1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B等于（　　）

A．（0,1）B．（0,2]

C．（1,2）D．（1,2]

答案　D

解析　A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，

∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．

2．已知集合A＝{x|x2＋x－2＝0}，B＝{x|ax＝1}，若A∩B＝B，则a等于（　　）

A．－

或1B．2或－1

C．－2或1或0D．－

或1或0

答案　D

解析　依题意可得A∩B＝B⇔B⊆A.

因为集合A＝{x|x2＋x－2＝0}＝{－2,1}，

当x＝－2时，－2a＝1，解得a＝－

；

当x＝1时，a＝1；

又因为B是空集时也符合题意，这时a＝0，故选D.

3．已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－

}，则（　　）

A．A∩B＝∅B．A∪B＝R

C．B⊆AD．A⊆B

答案　B

解析　易求A＝{x|x<0或x>2}，显然A∪B＝R.

4．（2014·浙江）设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁UA等于（　　）

A．∅B．{2}C．{5}D．{2,5}

答案　B

解析　因为A＝{x∈N|x≤－

或x≥

}，

所以∁UA＝{x∈N|2≤x<

}，故∁UA＝{2}．

5．已知M＝{y|y＝2x}，N＝{（x，y）|x2＋y2＝4}，则M∩N中元素个数为（　　）

A．0B．1C．2D．不确定

答案　A

解析　集合M是数集，集合N是点集，

故其交集中元素的个数为0.

6．（2014·自贡模拟）设集合S＝{x|x>2}，T＝{x|x2－3x－4≤0}，则（∁RS）∩（∁RT）等于（　　）

A．（2,4]B．（－∞，－1）

C．（－∞，2]D．（4，＋∞）

答案　B

解析　因为T＝{x|－1≤x≤4}，

所以（∁RS）∩（∁RT）＝∁R（S∪T）＝（－∞，－1）．

7．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a等于（　　）

A．4B．2C．0D．0或4

答案　A

解析　当a＝0时，显然不成立；

当a≠0时，由Δ＝a2－4a＝0，得a＝4.故选A.

8．已知集合A＝{x∈R||x－1|<2}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于________．

答案　3

解析　A＝{x∈R||x－1|<2}＝{x∈R|－1

集合A中包含的整数有0,1,2，故A∩Z＝{0,1,2}．

故A∩Z中所有元素之和为0＋1＋2＝3.

9．已知集合A＝{3，m2}，B＝{－1,3,2m－1}．若A⊆B，则实数m的值为________．

答案　1

解析　∵A⊆B，∴m2＝2m－1或m2＝－1（舍）．

由m2＝2m－1得m＝1.

经检验m＝1时符合题意．

10．对于E＝{a1，a2，…，a100}的子集X＝{ai1，ai2，…，aik}，定义X的“特征数列”为x1，x2，…，x100，其中xi1＝xi2＝…＝xik＝1，其余项均为0.例如：

子集{a2，a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0，…，0.

（1）子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于________；

（2）若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，pi＋pi＋1＝1,1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1,1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为________．

答案　

（1）2　

（2）17

解析　

（1）由题意，可得子集{a1，a3，a5}的“特征数列”为1,0,1,0,1,0，…，0，所以前3项和为1＋0＋1＝2.

（2）由题意，可知P的“特征数列”为1,0,1,0,1,0，…，0，

则P＝{a1，a3，a5，…，a99}，有50个元素．

即集合P中的元素的下标依次构成以1为首项，2为公差的等差数列，

即这些元素依次取自集合E中的项a2n－1（1≤n≤50，n∈N*）．

Q的“特征数列”为1,0,0,1,0,0,1，…，1，

则Q＝{a1，a4，a7，a10，…，a100}，有34个元素．

即集合Q中的元素的下标依次构成以1为首项，

3为公差的等差数列，

即这些元素依次取自集合E中的项a3n－2（1≤n≤34，n∈N*）．

而P∩Q中的元素是由这两个集合中的公共元素构成的集合，

所以这些元素的下标依次构成首项为1，

公差为2×3＝6的等差数列，

即这些元素依次取自集合E中的项a6n－5，

由1≤6n－5≤100，解得1≤n≤

，

又n∈N*，

所以1≤n≤17，即P∩Q的元素个数为17.

11．已知函数f（x）＝

的定义域为集合A，函数g（x）＝lg（－x2＋2x＋m）的定义域为集合B.

（1）当m＝3时，求A∩（∁RB）；

（2）若A∩B＝{x|－1

解　

（1）当m＝3时，B＝{x|－1

则∁RB＝{x|x≤－1或x≥3}，

又A＝{x|－1

∴A∩（∁RB）＝{x|3≤x≤5}．

（2）∵A＝{x|－1

故4是方程－x2＋2x＋m＝0的一个根，

∴有－42＋2×4＋m＝0，解得m＝8.

此时B＝{x|－2

因此实数m的值为8.

12．已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2

（1）求A∪B；

（2）（∁RA）∩B；

（3）如果A∩C≠∅，求a的取值范围．

解　

（1）因为A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2

所以A∪B＝{x|2

（2）因为A＝{x|3≤x<7}，

所以∁RA＝{x|x<3或x≥7}．

所以（∁RA）∩B＝{x|x<3或x≥7}∩{x|2

（3）如图，当a>3时，A∩C≠∅.

第2练　常用逻辑用语中的“常考题型”

题型一　充分必要条件问题

例1　

（1）若f（x）和g（x）都是定义在R上的函数，则“f（x）与g（x）都为增函数”是“f（x）＋g（x）是增函数”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

（2）已知函数f（x）＝Acos（ωx＋φ）（A>0，ω>0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ＝

”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

破题切入点　

（1）增函数的性质以及互相推出的关键．

（2）三角函数的图象和性质要熟练掌握．

答案　

（1）A　

（2）B

解析　

（1）若f（x）与g（x）都为增函数，

根据单调性的定义易知f（x）＋g（x）为增函数；

反之f（x）＋g（x）为增函数时，

例如f（x）＝－x，g（x）＝2x，f（x）＋g（x）＝x为增函数，

但f（x）为减函数，g（x）为增函数．

故“f（x）与g（x）都为增函数”是“f（x）＋g（x）是增函数”的充分不必要条件．

（2）φ＝

⇒f（x）＝Acos

＝－Asinωx为奇函数，

∴“f（x）是奇函数”是“φ＝

”的必要条件．

又f（x）＝Acos（ωx＋φ）是奇函数⇒f（0）＝0⇒φ＝

＋kπ（k∈Z）D/⇒φ＝

.

∴“f（x）是奇函数”不是“φ＝

”的充分条件．

即“f（x）是奇函数”是“φ＝

”的必要不充分条件．

题型二　逻辑联结词、命题真假的判定

例2　下列叙述正确的个数是（　　）

①l为直线，α、β为两个不重合的平面，若l⊥β，α⊥β，则l∥α；

②若命题p：

∃x0∈R，x

－x0＋1≤0，则綈p：

∀x∈R，x2－x＋1>0；

③在△ABC中，“∠A＝60°”是“cosA＝

”的充要条件；

④若向量a，b满足a·b<0，则a与b的夹角为钝角．

A．1B．2C．3D．4

破题切入点　判定叙述是否正确，对命题首先要分清命题的条件与结论，再结合涉及知识进行判定；对含量词的命题的否定，要改变其中的量词和判断词．

答案　B

解析　对于①，直线l不一定在平面α外，错误；对于②，命题p是特称命题，否定时要写成全称命题并改变判断词，正确；③注意到△ABC中条件，正确；④a·b<0可能〈a，b〉＝π，错误．故叙述正确的个数为2.

总结提高　

（1）充要条件的判断及选择：

首先要弄清楚所要考查的相关知识并将其联系起来；其次充要条件与互相推出的关系，有时以集合形式给出时找集合间的包含关系．牵扯到比较复杂的问题时，要将条件转化之后再判断．

（2）命题真假的判定方法，注意真值表的使用．

（3）四种命题的改写及真假判断．

（4）含有一个量词的命题的否定的改写方法．

1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　若a＝3，则A＝{1,3}⊆B，

故a＝3是A⊆B的充分条件；

而若A⊆B，则a不一定为3，

当a＝2时，也有A⊆B.

故a＝3不是A⊆B的必要条件．故选A.

2．命题“若α＝

，则tanα＝1”的逆否命题是（　　）

A．若α≠

，则tanα≠1

B．若α＝

，则tanα≠1

C．若tanα≠1，则α≠

D．若tanα≠1，则α＝

答案　C

解析　由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：

若tanα≠1，则α≠

.

3．（2014·达州模拟）下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：

p1：

数列{an}是递增数列；

p2：

数列{nan}是递增数列；

p3：

数列

是递增数列；

p4：

数列{an＋3nd}是递增数列．

其中的真命题为（　　）

A．p1，p2B．p3，p4

C．p2，p3D．p1，p4

答案　D

解析　如数列－2，－1,0,1,2，…，

则1×a1＝2×a2，排除p2，

如数列1,2,3，…，则

＝1，

排除p3，故选D.

4．已知p：

<1，q：

（x－a）（x－3）>0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，1）B．[1,3]

C．[1，＋∞）D．[3，＋∞）

答案　C

解析　

－1<0⇒

<0⇒（x－1）（x＋1）<0⇒p：

－1

x<3或x>a；当a<3时，q：

x3.綈p是綈q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，即p⇒q且qD⇒/p，从而可推出a的取值范围是a≥1.

5．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（　　）

A．对任意x∈R，都有x2<0

B．不存在x∈R，使得x2<0

C．存在x0∈R，使得x

≥0

D．存在x0∈R，使得x

<0

答案　D

解析　全称命题的否定是一个特称命题，故选D.

6．若命题p：

函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞），命题q：

函数y＝x－

的单调递增区间是[1，＋∞），则（　　）

A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题

C．綈p是真命题D．綈q是真命题

答案　D

解析　因为函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞），所以p是真命题；

因为函数y＝x－

的单调递增区间是（－∞，0）和（0，＋∞），所以q是假命题．

所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，

綈p为假命题，綈q为真命题，故选D.

7．下列关于命题的说法中错误的是（　　）

A．对于命题p：

∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：

∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0

B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件

C．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：

“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”

D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题

答案　D

解析　对于A，命题綈p：

∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0，因此选项A正确．对于B，由x＝1可得x2－3x＋2＝0；反过来，由x2－3x＋2＝0不能得知x＝1，此时x的值也可能是2，因此“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件，选项B正确．对于C，原命题的逆否命题是：

“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”，因此选项C正确，故选D.

8．下列命题中，是真命题的是（　　）

A．存在x∈

，使sinx＋cosx>

B．存在x∈（3，＋∞），使2x＋1≥x2

C．存在x∈R，使x2＝x－1

D．对任意x∈

，使sinx

答案　D

解析　A中，∵sinx＋cosx＝

sin

≤

，

∴A错误；

B中，2x＋1≥x2的解集为[1－

，1＋

]，故B错误；

C中，Δ＝（－1）2－4＝－3<0，

∴x2＝x－1的解集为∅，故C错误；

D正确，且有一般结论，对∀x∈

，

均有sinx

9．“φ＝π”是“曲线y＝sin（2x＋φ）过坐标原点”的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　当φ＝π时，y＝sin（2x＋π）＝－sin2x，

则曲线y＝－sin2x过坐标原点，

所以“φ＝π”⇒“曲线y＝sin（2x＋φ）过坐标原点”；

当φ＝2π时，y＝sin（2x＋2π）＝sin2x，

则曲线y＝sin2x过坐标原点，

所以“φ＝π”D⇐/“曲线y＝sin（2x＋φ）过坐标原点”，

所以“φ＝π”是“曲线y＝sin（2x＋φ）过坐标原点”的充分而不必要条件，故选A.

10．下列命题中错误的是（　　）

A．命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”

B．若x，y∈R，则“x＝y”是“xy≤

2中等号成立”的充要条件

C．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q中必一真一假

D．对命题p：

∃x∈R，使得x2－2ax－a2<0，则綈p：

∀x∈R，x2－2ax－a2≥0

答案　C

解析　易知选项A，B，D都正确；选项C中，若p∨q为假命题，根据真值表，可知p，q必都为假，故C错．

11．设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是（　　）

A．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件

B．当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件

C．当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件

D．当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件

答案　C

解析　与同一条直线垂直的两个平面平行，反之，当两个平行平面中有一个与一条直线垂直时，另一个也与这条直线垂直，选项A正确；根据平面与平面垂直的判定定理，选择B正确；当直线n⊂α时，直线n不平行于平面α，选项C不正确；根据线面垂直的性质，选项D正确．

12．对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是（　　）

A．逆命题为“周期函数不是单调函数”

B．否命题为“单调函数是周期函数”

C．逆否命题为“周期函数是单调函数”

D．以上三者都不正确

答案　D

解析　根据四种命题的构成可得选项A、B、C中结论均不正确．

第3练　突破充要条件的综合性问题

题型一　充分必要条件的判断方法

例1　“ea>eb”是“log2a>log2b”的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

破题切入点　有关充要条件的判断问题，弄清楚谁是条件谁是结论，然后看谁能推出谁．

答案　B

解析　因为ea>eb⇔a>b，

所以取a＝1，b＝－1，

则a>bD⇒/log2a>log2b；

若log2a>log2b，则a>b.

综上，“ea>eb”D⇒“log2a>log2b”，

但“ea>eb”⇐“log2a>log2b”．

所以“ea>eb”是“log2a>log2b”的必要而不充分条件．

题型二　根据充要条件求参数范围

例2　函数f（x）＝

有且只有一个零点的充分不必要条件是（　　）

A．a<0B．0

C.

1

破题切入点　把函数f（x）的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题，从而求出f（x）有一个零点的充分必要条件，再利用“以小推大”的技巧，即可得正确选项．

答案　A

解析　因为函数f（x）过点（1,0），所以函数f（x）有且只有一个零点⇔函数y＝－2x＋a（x≤0）没有零点⇔函数y＝2x（x≤0）与直线y＝a无公共点．由数形结合，可得a≤0或a>1.

所以函数f（x）有且只有一个零点的充分必要条件是a≤0或a>1，应排除D；当0

时，函数y＝－2x＋a（x≤0）有一个零点，即函数f（x）有两个零点，此时0

是函数f（x）有且只有一个零点的既不充分也不必要条件，应排除B；同理，可排除C，应选A.

总结提高　

（1）充要条件的判断，首先要审清什么是条件，什么是结论，然后再看谁能推出谁，有些还可以先找出条件和结论的等价条件，再看谁能推出谁，还有一些数集或集合形式给出的条件或结论，可以从集合的观点来判断充要条件．

（2）根据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键是合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象等将原问题转化为最值问题、有解问题等，得到关于参数的方程或不等式（组），然后通过解方程（组）或不等式（组）求出参数的值或取值范围．

1．甲：

x≠2或y≠3；乙：

x＋y≠5，则（　　）

A．甲是乙的充分不必要条件

B．甲是乙的必要不充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

答案　B

解析　“甲⇒乙”，即“x≠2或y≠3”⇒“x＋y≠5”，其逆否命题为：

“x＋y＝5”⇒“x＝2且y＝3”显然不正确．同理，可判断命题“乙⇒甲”为真命题．所以甲是乙的必要不充分条件．

2．设命题p：

|4x－3|≤1；命题q：

x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（　　）

A.

B.

C．（－∞，0）∪

D．（－∞，0）∪

答案　A

解析　綈p：

|4x－3|>1；

綈q：

x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）>0，

解得綈p：

x>1或x<

；綈q：

x>a＋1或x

若綈p⇐綈q，则

或

即0≤a≤

.

3．设a>0且a≠1，则“函数f（x）＝ax在R上是减函数”是“函数g（x）＝（2－a）x3在R上是增函数”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　由题意知函数f（x）＝ax在R上是减函数等价于0

∴“函数f（x）＝ax在R上是减函数”是“函数g（x）＝（2－a）x3在R上是增函数”的充分不必要条件．

4．（2014·湖北）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　C

解析　若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC，则可以推出A∩B＝∅；

若A∩B＝∅，由Venn图（如图）可知，存在A＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁UC.

故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充要条件．

5．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　当α⊥β时，由于α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，由面面垂直的性质定理知，b⊥α.

又∵a⊂α，∴b⊥a.∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分条件．

而当a⊂α且a∥m时，∵b⊥m，∴b⊥a.

而此时平面α与平面β不一定垂直，

∴“α⊥β”不是“a⊥b”的必要条件，故选A.

6．“m＝－1”是“直线l1：

2x－my＝2m－1与直线l2：

x＋2my＝m－2垂直”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　若m＝－1，则直线l1、l2垂直；

若直线l1、l2垂直，则有m＝±1，

所以“m＝－1”是“直线l1：

2x－my＝2m－1与直线l2：

x＋2my＝m－2垂直”的充分不必要条件．选A.

7．给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　由题意知：

綈p⇐q⇔（逆否命题）p⇒綈q.

8．已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是（　　）

A．p：

m≤－2或m≥6；q：

y＝x2＋mx＋m＋3有两