华工数学实验作业3迭代与分形.docx
《华工数学实验作业3迭代与分形.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《华工数学实验作业3迭代与分形.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
华工数学实验作业3迭代与分形
《数学实验》报告
学院：
电子与信息学院
专业班级：
通信工程4班
学号：
************
**********
实验名称：
迭代与分形
实验日期：
2013.04.7
第三次实验
1．实验内容
1.对一个等边三角形，每条边按照Koch曲线的方式进行迭代，产生的分形图称为Koch雪花。
编制程序绘制出它的图形，并计算Koch雪花的面积，以及它的分形维数。
2．实验过程
方法一
仿照Koch曲线代码对三角形的每条边进行Koch曲线化，函数的输入参数有三角形的边长R和迭代次数k,输出Koch雪花图形以及雪花所围面积S.
KochSnow面积推导如下所示：
迭代次数k面积S
0:
S=
1:
S=
R2+
（
R）2*3
2:
S=
R2+
（
R）2*3+
（（
）2R）2*32
3:
S=
R2+
（
R）2*3+
（（
）2R）2*32+
（（
）3R）2*33
``````
N:
S=
R2+
（
R）2*3+
（（
）2R）2*32+
（（
）3R）2*33+…
（（
）nR）2*3n
如此相加下去，当Nà无穷时，S将为无穷大
源代码如下：
functionkochsnow（R,k）%R为正三角形边长，k为迭代次数
p01=[0,0];p02=[R/2,sqrt（3）*R/2];p03=[R,0];%3个起始点
S=0;%S为面积，开始设为0
forline=0:
2%依次对3条边进行Koch曲线运算
ifline==0;
p=[p01;p02];
elseifline==1;
p=[p02;p03];
elseline==2;
p=[p03;p01];
end
n=1;%存放线段的数量，初始值为1
A=[cos（pi/3）,-sin（pi/3）;sin（pi/3）,cos（pi/3）];%变换矩阵用于计算新的结点
fors=1:
k
j=0;%j为行数
fori=1:
n
q1=p（i,:
）;%目前线段的起点坐标
q2=p（i+1,:
）;%目前线段的终点坐标
d=（q2-q1）/3;
j=j+1;r（j,:
）=q1;%原起点存入r
j=j+1;r（j,:
）=q1+d;%新1点存入r
j=j+1;r（j,:
）=q1+d+d*A';%新2点存入r
j=j+1;r（j,:
）=q1+2*d;%新3点存入r
end
n=4*n;%全部线段迭代一次后，线段数量乘4
clearp%清空p，注意：
最后一个终点q2不在r中
p=[r;q2];%一条边的全部结点
clearr
end
ifline==0;%把第一条边的全部结点放在a
a=p;
elseifline==1;%把第二条边的全部结点放在b
b=p;
elseline==2;%把第三条边的全部结点放在c
c=p;
end
end
all=[a;b;c];%三条边全部结点放入all
plot（all（:
1）,all（:
2））%连接各个结点
fill（all（:
1）,all（:
2）,'g'）%填充所围区域
fori=0:
k%计算KochSnow的面积
S=S+（3^（0.5-i））*0.25*（R^2）;
end
S
axisequal
Koch雪花图形输入半径R=2
K=0时是正三角形此时面积为1.7321
K=1时是正六边形此时面积为2.3094
K=2时的koch雪花此时面积为2.5019
K=3时的Koch雪花此时面积为2.5660
K=4时的Koch雪花此时面积为2.5874
分形维数：
根据迭代的规律得到：
相似形个数：
m=6边长放大倍数：
c=3，
1.631
方法2
只生成一次Koch曲线，然后对生成的Koch曲线进行旋转变换，旋转3次即可得到所需图形。
代码略去。
图形如下
第二题
1.实验内容
自己构造生成元（要有创意），按照图形迭代的方式产生分形图，用计算机编制程序绘制出它的图形，并计算其分形维数。
2.实验过程
在原来Koch曲线的基础上修改旋转矩阵，并对一个图形进行旋转，得到如下的一些图形
图形1：
飞镖
代码如下
functionmyPicture（k）%k取4的效果
p=[00;100];%P为初始两个点的坐标,第一列为x坐标,第二列为y坐标
n=2;%n为结点数
A1=[cos（pi/3）,-sin（pi/3）;sin（pi/3）,cos（pi/3）];
A2=[cos（pi/4）,-sin（pi/4）;sin（pi/4）,cos（pi/4）];
A=[0-1;10];%旋转矩阵
fori=1:
k
d=diff（p）/3;%diff计算相邻两个点的坐标之差,得到相邻两点确定的向量
%则d就计算出每个向量长度的三分之一,与题中将线段三等分对应
m=5*n-4;%迭代公式
q=p（1:
n-1,:
）;%以原点为起点,前n-1个点的坐标为终点形成向量
p（6:
5:
m,:
）=p（2:
n,:
）;%迭代后处于5k+1位置上的点的坐标为迭代前的相应坐标
p（2:
5:
m,:
）=q+d;%用向量方法计算迭代后处于5k+2位置上的点的坐标
p（3:
5:
m,:
）=q+d+1*d*A';%用向量方法计算迭代后处于5k+3位置上的点的坐标
p（4:
5:
m,:
）=q+2*d+1*d*A';%用向量方法计算迭代后处于5k+4位置上的点的坐标
p（5:
5:
m,:
）=q+2*d;%用向量方法计算迭代后处于5k位置上的点的坐标
n=m;%迭代后新的结点数目
end
fori=1:
8
p=[p;p*A2'];
end
plot（p（:
1）,p（:
2）,'b'）%绘出每相邻两个点的连线
axisequal
图形2：
叶子
代码：
functionkochfeibiao（R,k）
p01=[0,0];p02=[0,R];p03=[R,R];p04=[R,0];
S=0;
%A1=[cos（pi/4）,-sin（pi/4）;sin（pi/4）,cos（pi/4）];
forline=0:
3
ifline==0;
p=[p01;p02];
elseifline==1;
p=[p02;p03];
elseifline==2;
p=[p03;p04];
elseifline==3;
p=[p04;p01];
end
n=2;%n为结点数
A=[0-1;10];%旋转矩阵
fori=1:
k
d=diff（p）/3;%diff计算相邻两个点的坐标之差,得到相邻两点确定的向量
%则d就计算出每个向量长度的三分之一,与题中将线段三等分对应
m=5*n-4;%迭代公式
q=p（1:
n-1,:
）;%以原点为起点,前n-1个点的坐标为终点形成向量
p（6:
5:
m,:
）=p（2:
n,:
）;%迭代后处于5k+1位置上的点的坐标为迭代前的相应坐标
p（2:
5:
m,:
）=q+d;%用向量方法计算迭代后处于5k+2位置上的点的坐标
p（3:
5:
m,:
）=q+d+0.5*d*A';%用向量方法计算迭代后处于5k+3位置上的点的坐标
p（4:
5:
m,:
）=q+2*d+0.5*d*A';%用向量方法计算迭代后处于5k+4位置上的点的坐标
p（5:
5:
m,:
）=q+2*d;%用向量方法计算迭代后处于5k位置上的点的坐标
n=m;%迭代后新的结点数目
end
ifline==0;
a=p;
elseifline==1;
b=p;
elseifline==2;
c=p;
elseifline==3;
d=p;
end
end
all=[a;b;c;d];
%all=all*A1';
plot（all（:
1）,all（:
2）,'b'）
fill（all（:
1）,all（:
2）,'g'）
holdon
x0=1;y0=1;%画一个圆放置在叶子中间
r=0.1;
theta=0:
pi/100:
2*pi;
x=x0+r*cos（theta）;
y=y0+r*sin（theta）;
plot（x,y,'k'）;
fill（x,y,'w'）;
axissquare;
axisequal
图形三：
地毯
在上面叶子的基础上改变了某些参数得出的
代码如下
functionkochfeibiao（R,k）
%R=2;%半径设为2，面积好计算
p01=[0,0];p02=[0,R];p03=[R,R];p04=[R,0];
S=0;
%A1=[cos（pi/4）,-sin（pi/4）;sin（pi/4）,cos（pi/4）];
forline=0:
3
ifline==0;
p=[p01;p02];
elseifline==1;
p=[p02;p03];
elseifline==2;
p=[p03;p04];
elseifline==3;
p=[p04;p01];
end
n=2;%n为结点数
A=[0-1;10];%旋转矩阵
fori=1:
k
d=diff（p）/3;%diff计算相邻两个点的坐标之差,得到相邻两点确定的向量
%则d就计算出每个向量长度的三分之一,与题中将线段三等分对应
m=5*n-4;%迭代公式
q=p（1:
n-1,:
）;%以原点为起点,前n-1个点的坐标为终点形成向量
p（6:
5:
m,:
）=p（2:
n,:
）;%迭代后处于5k+1位置上的点的坐标为迭代前的相应坐标
p（2:
5:
m,:
）=q+d;%用向量方法计算迭代后处于5k+2位置上的点的坐标
p（3:
5:
m,:
）=q+d+1*d*A';%用向量方法计算迭代后处于5k+3位置上的点的坐标
p（4:
5:
m,:
）=q+2*d+1*d*A';%用向量方法计算迭代后处于5k+4位置上的点的坐标
p（5:
5:
m,:
）=q+2*d;%用向量方法计算迭代后处于5k位置上的点的坐标
n=m;%迭代后新的结点数目
end
ifline==0;
a=p;
elseifline==1;
b=p;
elseifline==2;
c=p;
elseifline==3;
d=p;
end
end
all=[a;b;c;d];
%all=all*A1';
plot（all（:
1）,all（:
2）,'b'）
fill（all（:
1）,all（:
2）,'g'）
holdon
x0=1;y0=1;%画一个圆放置在叶子中间
r=0.1;
theta=0:
pi/100:
2*pi;
x=x0+r*cos（theta）;
y=y0+r*sin（theta）;
plot（x,y,'k'）;
fill（x,y,'w'）;
axissquare;
axisequal
过程中还生成了其它有趣的图形，就不一一画出了。
升级会员 