含参数的一元二次方程的整数根问题.docx

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含参数的一元二次方程的整数根问题

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　　例1m是什么整数时，方程

（m2-1）x2-6（3m-1）x＋72＝0

　　有两个不相等的正整数根．

　　解法1首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36（m-3）2＞0，所以m≠3．用求根公式可得

　　由于x1，x2是正整数，所以

m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，

　　解得m=2．这时x1=6，x2=4．

　　解法2首先，m2-1≠0，m≠±1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知

　　所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即

m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，

　　只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5．

　　经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根．

　　说明一般来说，可以先把方程的根求出来（如果比较容易求的话），然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法．

　　例2已知关于x的方程

a2x2-（3a2-8a）x＋2a2-13a＋15=0

　　（其中a是非负整数）至少有一个整数根，求a的值．

　　分析“至少有一个整数根”应分两种情况：

一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根．我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来．

　　解因为a≠0，所以

　　所以

　　所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5．

　　例3设m是不为零的整数，关于x的二次方程

mx2-（m-1）x＋1＝0

　　有有理根，求m的值．

　　解一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令

Δ=（m-1）2-4m＝n2，

　　其中n是非负整数，于是

m2-6m+1=n2，

　　所以（m-3）2-n2=8，

（m-3＋n）（m-3-n）＝8．

　　由于m-3＋n≥m-3-n，并且

（m-3＋n）+（m-3-n）=2（m-3）

　　是偶数，所以m-3＋n与m-3-n同奇偶，所以

　　说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．

　　例4关于x的方程

ax2+2（a-3）x+（a-2）=0

　　至少有一个整数解，且a是整数，求a的值．

　　解当a=0时，原方程变成-6x-2=0，无整数解．

　　当a≠0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式

Δ＝4（a-3）2-4a（a-2）＝4（9-4a）

　　为完全平方数，从而9-4a是完全平方数．令9-4a=n2，则n是正奇数，

　　要使x1为整数，而n为正奇数，只能n=1，从而a=2．要使x2为整数，即n-3｜4，n可取1，5，7，从而a=2，-4，-10．

　　综上所述，a的值为2，-4，-10．

　　说明本题是前面两种方法的“综合”．既要用判别式是平方数，又要用直接求根．有时候，往往是几种方法一同使用．

　　例5已知关于x的方程

x2＋（a-6）x＋a=0

　　的两根都是整数，求a的值．

　　解设两个根为x1≥x2，由韦达定理得

　　从上面两式中消去a得

x1x2+x1+x2＝6，

　　所以（x1＋1）（x2+1）=7，

　　所以a=x1x2=0或16．

　　说明利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于x1，x2的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的．

　　例6求所有有理数r，使得方程

rx2+（r+1）x＋（r-1）=0

　　的所有根是整数．

　　分析首先对r=0和r≠0进行讨论．r=0时，是关于x的一次方程；r≠0时，是关于x的二次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效．可用韦达定理，先把这个有理数r消去．

　　解当r=0时，原方程为x-1=0，所以x=1．

　　当r≠0时，原方程是关于x的一元二次方程，设它的两个整数根为x1，x2，且x1≥x2，则

　　消去r得

x1x2-x1-x2＝2，

　　所以（x1-1）（x2-1）=3．

　　例7已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程

ax2＋2（2a-1）x＋4（a-3）=0

　　至少有一个整数根，求a的值．

　　解将原方程变形为

（x＋2）2a=2（x＋6）．

　　显然x＋2≠0，于是

　　由于a是正整数，所以a≥1，即

　　所以x2+2x-8≤0，

（x＋4）（x-2）≤0，

　　所以-4≤x≤2（x≠-2）．

　　当x=-4，-3，-1，0，1，2时，得a的值为1，6，10，3，

　　说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4，2；当a=3，6，10时，方程只有一个整数根．有时候，在关于x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解．

　　例8已知方程x2+bx+c=0与x2+cx＋b=0各有两个整数根x1，x2

（2）求证：

b-1≤c≤b＋1；

　　（3）求b，c的所有可能的值．

　　解

（1）由x1x2＞0知，x1与x2同号．若x1＞0，则x2＞0，

（2）由

（1）知，x1＜0，x2＜0，所以x1≤-1，x2≤-1．由韦达定理

　　c-（b-1）=x1x2＋x1＋x2＋1

　　　　　=（x1＋1）（x2+1）≥0，

　　所以c≥b-1．

　　同理有

　　所以c≤b+1，

　　所以b-1≤c≤b+1．

　　（3）由

（2）可知，b与c的关系有如下三种情况：

　　（i）c=b＋1．由韦达定理知

x1x2=-（x1＋x2）＋1，

　　所以（x1＋1）（x2＋1）=2，

　　解得x1＋x2=-5，x1x2=6，所以b=5，c=6．

　　（ii）c=b．由韦达定理知

x1x2=-（x1＋x2），

　　所以（x1+1）（x2＋1）=1，

　　所以x1=x2=-2，从而b=4，c=4．

　　（iii）c=b-1．由韦达定理知

　　所以

　　综上所述，共有三组解：

（b，c）=（5，6），（4，4），（6，5）．

练习二十六

　　1．填空：

（1）方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1，x2，

（2）已知k为整数，且关于x的方程

（k2-1）x2-3（3k-1）x＋18=0

　　有两个不相同的正整数根，则k=____．

　　（3）两个质数a，b恰好是关于x的方程x2-21x＋t=0的两个根，

　　（4）方程x2+px＋q=0的两个根都是正整数，并且p+q=1992，则方程较大根与较小根的比等于____．

　　（5）已知方程（a2-1）x2-2（5a+1）x＋24=0有两个不相等的负整数根，则整数a的值是____．

　　2．设m为整数，且4＜m＜40，又方程

（x2-2（2m-3）x+4m2-14m+8＝0

　　有两个整数根，求m的值及方程的根．

　　3．已知关于x的一元二次方程

x2+（m-17）x+m-2=0

　　的两个根都是正整数，求整数m的值．

　　4．求使关于x的方程a2x2＋ax＋1-7a2=0的两根都是整数的所有正数a．

　　5．求所有的整数a，使得关于x的二次方程

ax2＋2ax＋a-9＝0

　　至少有一个整数根．