第9章电子课本多边形.docx
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第9章电子课本多边形
第9章 多边形2
§9.1 三角形3
1.认识三角形3
2.三角形的外角和5
3.三角形的三边关系8
§9.2多边形的内角和与外角和9
§9.3用正多边形拼地板12
1.用相同的正多边形拼地板12
2.用多种正多边形拼地板13
阅读材料14
多姿多彩的图案14
小 结15
复 习 题16
课题学习17
图形的镶嵌17
第9章 多边形
瓷砖是生活中常见的装饰材料，你见过哪些形状的瓷砖？
它们的形状有什么特点呢？
你知道瓷砖能铺满地面的奥秘吗？
§9.1三角形
走在大街上，进入宾馆或饭店，在许多地方，我们都可以看到由各种形状的地砖或瓷砖铺成的漂亮的地面和墙面，在这些地面或墙面上，相邻的地砖或瓷砖
平整地贴合在一起，整个地面或墙面没有一点空隙,如图9.1.1所示．
在某些公园门口或高速公路两边的护坡上，我们还可以见到如图9.1.2所示的由不规则的图形铺成的地面．
这些形状的地砖或瓷砖为什么能铺满地面而不留一点空隙呢？
换一些其他的形状行不行？
为了解决这些问题，我们有必要研究多边形的有关性质．三角形是最为简单的多边形，让我们从三角形开始，探究一下其中的道理．
1.认识三角形
三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，这三条线段就是三角形的边.
在图9.1.3
（1）中画着一个三角形ABC.三角形的顶点采用大写字母A、B、C或K、L、M等表示，整个三角形表示为△ABC或△KLM（参照顶点的字母）.
如图9.1.3
（2）所示，在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角，如∠ACB；三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角，如∠ACD是与△ABC的内角∠ACB相邻的外角.图9.1.3
（2）指明了△ABC的主要成分.
试一试
图9.1.4中，三个三角形的内角各有什么特点？
第一个三角形中，三个内角均为锐角；第二个三角形中，有一个内角是直角；第三个三角形中，有一个内角是钝角.
三角形可以按角来分类：
所有内角都是锐角――锐角三角形；
有一个内角是直角――直角三角形；
有一个内角是钝角――钝角三角形；
试一试
图9.1.5中，三个三角形的边各有什么特点？
第一个三角形的三边互不相等；第二个三角形有两条边相等；第三个三角形的三边都相等.
我们把两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三条边都相等的三角形称为等边三角形（或正三角形）.
做一做
在图9.1.6中找出等腰三角形、正三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.
练习
1.
在练习本上画出：
（1）等腰锐角三角形；
（2）等腰直角三角形；
（3）等腰钝角三角形.
2.10个点如图所示那样放着.把这些点作为三角形的顶点，可作多少个正三角形？
如图9.1.7所示，取△ABC边AB的中点E，
边结CE，线段CE就是△ABC的一条中线；作△ABC的内角∠BAC的平分线交对边BC于D，线段AD就是△ABC的一条角平分线；过顶点B作△ABC边AC的垂线，垂足为F，结段BF就是△ABC的一条高.
显然，△ABC有三条中线、三条角平分线、三条高.
做一做
下面给出了三个相同的锐角三角形，分别在这三个三角形中画出三角形的三条中线、三条角平分线、三条高.
把锐角三角形换成直角三角形或钝角三角形，再试一试，你发现了什么？
可以发现，三角形的三条中线、三条角平分线、三条高________；直角三角形三条高的交点就是______________；钝角三角形有两条高位于三角形的外部.
练习
1.如图，△ABC是等腰三角形，且AB＝AC.试作出BC边上的中线和高以及∠A的平分线.从中你发现了什么？
2.在一个直角三角形中，画出斜边上的中线，先观察一下图形中有几个等腰三角形，再用刻度尺验证你的结论.
2.三角形的外角和
我们已经知道三角形的内角和等于180°．现在我们讨论三角形的外角及外角和．如图9.1.8所示，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相
邻的内角．
三角形的外角与内角有什么关系呢？
在图9.1.9中，显然有∠CBD（外角）＋∠ABC（相邻内角）＝180°．
那么外角∠CBD与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？
做一做
在一张白纸上画出如图9.2.7所示的图形，然后把∠ACB、∠BAC剪下拼在一起，放到∠CBD上，看看会出现什么结果，与你的同伴交流一下，结果是否一样.
可以发现∠CBD＝∠ACB＋∠BAC，
实际上，因为
∠CBD＋∠ABC＝180°
∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝180°
比较这两个式子，就可以得到你与你的同伴所发现的结论.
由此可知，三角形的外角有两条性质：
1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角.从与每
个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和.如图9.1.10所示，∠1＋∠2＋∠3就是△ABC的外角和.
做一做
在图9.1.10中
∠1＋______________=180°,
∠2+_______________=180°,
∠3+_______________=180°.
三式相加可以得到
∠1＋∠2＋∠3＋______+______+______=_______,
（1）
而 ∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝180°，
（2）
将
（1）与
（2）相比较，你能得出什么结论？
概括
可以得到
∠1＋∠2＋∠3＝360°
由此可知：
三角形的外角和等于360°.
例1如图9.1.11，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC=70°.求：
（1）∠B的度数；
（2）∠C的度数.
解
（1）∵∠ADC是△ABD的外角（已知），∴
∠ADC＝∠B＋∠BAD＝80°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）.
又 ∠B＝∠BAD（已知），
∴ ∠B＝80°×
＝40°（等量代换）.
（2）在△ABC中，∵∠B＋∠BAC＋∠C＝180°（三角形的内角和等于180°），
∴ ∠C＝180°－∠B－∠BAC（等式的性质）
＝180°－40°－70°
＝70°
练习
1.（口答）一个三角形可以有两个内角都是直角吗？
可以有两个内角都是钝角或都是锐角吗？
为什么？
2.求下列各图中∠1的度数.
3．如图，在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD＝35°，求
（1）∠EBC的度数；
（2）∠A的度数.
解：
（1）∵CD⊥AB（已知），
∴∠CDB＝
∵∠EBC＝∠CDB＋∠BCD（）
∴∠EBC＝＋35°＝（等量代换）.
（2）∵∠EBC＝∠A＋∠ACB（）
∴∠A＝∠EBC－∠ACB（等式的性质）.
∵∠ACB＝90°（已知）
∴∠A＝－90°＝（等量代换）.
你能用其他方法解决这一问题吗？
3.三角形的三边关系
做一做 画一个三角形，使它的三条边长分别为7cm、5cm、4cm.
如图9.1.12，先画线段AB＝7cm；然后以点A为圆心，5cm长为半径画圆弧；再以点B为圆心，4cm长为半径画圆弧；两弧相交于点C，连结AC、BC.△ABC就是所要画的三角形.
试一试
以下列长度的各组线段为边，能否画一个三角形？
（1）7cm,4cm,2cm;
（2）9cm,5cm,4cm.
在上述画图的过程中，我们可以发现，并不是任意三条线段都可以组成一个三角形的.在三条线段中，如果两条较短线段的和不大于第三条最长的线段，那么这三条线段就不能组成一个三角形.
换句话说：
三角形的任何两边的和大于第三边.
用三根木条钉一个三角形，你会发现再也无法改变这一个三角形的形状和大小，也就是说，如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了.三角形的这人性质叫做三角形的稳定性.用四根木条钉一个四边形，你会发现可以任意改变这个四边形的形状和大小，这说明四边形具有不稳定性.
三角形的稳定性在生产实践中有着广泛的应用.例如桥梁拉杆、电视塔架底座，都是三角形结构.（如图9.1.13所示）
练习
1.（口答）下列长度的各组线段能否组成一个三角形？
（1）15cm、10cm、7cm；
（2）4cm、5cm、10cm；
（3）3cm、8cm、5cm； （4）4cm、5cm、6cm.
2.画一个三角形，使它的三条边长分别为3cm、4cm、6cm.
3.举两个三角形的稳定性在生产实践中应用的例子.
习题9.1
1.已知△ABC是等腰三角形.
（1）如果它的两条边长的长分别为8cm和3cm,那么它的周长是多少？
（2）如果它的周长为18cm，一条边的长为4cm，那么腰长是多少？
2.按图中所给的条件，求出∠1、∠2、∠3的度数.
3.如图，飞机要从A地飞往B地，因受大风影响，一开始就偏离航线（AB）18°（即∠A＝18°）飞到了C地，经B地的导航站测得∠ABC＝10°.此时飞机必须沿某一方向飞行才能到达能到达B处.那么这一方向与水平方向的夹角∠BCD的度数？
4.如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数.
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）.
解：
∵BP平分∠ABC（已知）
∴∠PBC＝
∠ABC＝
×80°＝40°.
同理可得∠PCB＝
∵∠BPC＋∠PBC＋∠PCB＝180°（）
∴∠BPC＝180°－∠PBC－∠PCB（等式的性质）
＝180°－40°－＝.
§9.2多边形的内角和与外角和
试一试
三角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形（但我们习惯称为三角形）．我们已经知道什么叫三角形，你能说出什么叫四边形、五边形吗？
图9.2.1
（1）是四边形，它是由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形ABCD；图9.2.1
（2）是五边形，它是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为五边形ABCDE．一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，又称为多边形．
注意
我们现在研究的是如图9.2.1所示的多边形，也就是所谓的凸多边形.
与三角形类似，如图9.2.2所示，∠A、∠D、∠C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角，∠CBE和∠ABF都是与∠ABC相邻的外角，两者互为对顶角.
如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形（regularpolygon）.如正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等等.
连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边
形的对角线.例如，图9.2.3
（1）中，线段AC是四边形ABCD的一条对角线；图9.2.3
（2）、（3）中，虚线表示的线段也是所画多边形的对角线.
试一试
由图9.2.3可以看出，从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形划分为若干个三角形．我们已知一个三角形的内角和等于180°，那么四边形的内角和等于多少呢？
五边形、六边形呢？
由此，n边形的内角和等于多少呢？
探索
为了求得n边形的内角和，请根据图9.2.4所示，完成表9.2.1．
图9.2.4
表9.2.1
由此，我们得出
n边形的内角和为_________________．
例1求八边形的内角和的度数．
解 （n－2）×180°=（8－2）×180°=1080°.
试一试
如图9.2.5，在n边形内任取一点P，连结点P与多边形的每一个顶点，可得几个三角形？
（图中取n＝6的情形）你能否根据这样划分多边形的方法来说明n边形的内角和等于（n－2）×180°？
与多边形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角．从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和．如图9.2.6所示，∠1＋∠2＋∠3＋∠4就是四边形ABCD的外角和．
探索根据n边形的每一个内角与它的相邻的外角都互为补角，可以求得n边形的
外角和．为了求得n边形的外角和，请将数据填入表9.2.2．
表9.2.2
因此，任意多边形的外角和都为________．
练习
1.填空：
（1）十边形的内角和是________，外角和是_________；如果十边形的各个内角都相等，那么它的一个内角是_________.
（2）已知一个多边形的内角和是2340°，则这个多边形的边数是_______.
2.在一个多边形中，它的内角最多可以有几个是锐角？
习题9.2
1.先任意画一个五边形，然后画出它所有的对角线，数一数，一共有多少条对角线？
2.在n边形某一边上任取一点P，连结点P与多边形的每一个顶点，可得多少个三角形？
你能否根据这样划分多边形的方法来说明n边形的内角和等于（n－2）×180°？
（图中取n＝5的情形）
（第2题） （第3题）
3.根据上图填空：
（1）∠1＝∠C＋___________，∠2＝∠B＋______________；
（2）∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝_________＋∠1＋∠2＝_________．想一想，这个结论对任意的五角星是否都成立．
4.一个多边形的外角和是内角和的
，求这个多边形的边数．
§9.3用正多边形拼地板
1.用相同的正多边形拼地板
探索使用给定的某种正多边形，它能否拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，
又不相互重叠？
这显然与它的内角大小有关．为了探索哪些正多边形能铺满平
面，请根据图9.3.1，完成表9.3.1．
图9.3.1
表9.3.1
概括当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就
拼成一个平面图形．如正六边形的每个内角为120°，三个120°拼在一起恰好组成周角，所以
全用正六边形瓷砖就可以铺满地面．如图9.1.1
（1）、
（2）所示，你能说明为什么正三角形和正方形能铺满平面
吗?
如图9.3.2所示，正五边形不能铺满平面，正八边形也不能铺满平面．
练习
1．使用给定的某种三角形可以铺满地面吗？
四边形呢？
试试看.
2．在如图9.1.1
（1）中，把相邻两行正三角形分开，添一行正方形，得到右图.它表明把正三角正方形结合在一起也能铺满地面.正三角形、正方形、正六边形两两结合是否都能铺满地面呢？
把正三角形、正方形、正六边形三者结合在一起呢？
请你试试看.
2.用多种正多边形拼地板
如图9.3.3所示，用正三角形和正六边形也能铺满地面.类似的情况还有吗？
图9.3.3
我们还可以发现其他的情况，如图9.3.4~7.
现以图9.3.5为例，观察一下其中的关系.正十二边形的一个内角为
，正六边形的一个内角为120°，正方形的一个内角为90°，三者之和恰为一个周角360°，实际上这三种正多边形结合在一起恰好能铺满地面.
练习
1.试说明本节中几种正多边形铺满地面的理由.
2.试以正五边形和正十边形为例，说明即使满足“围绕一点拼在一起的几种正多边形的内角之和为一个圆周”的条件，也不一定能铺满地面.
习题9.3
1.选择题（可能有多个答案）.
（1）下列正多边形中，能够铺满地面的是（ ）.
A．正方形
B．正五边形
C．正八边形
D．正六边形
（2）下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（ ）.［
A．正八边形和正方形
B．正五边形和正八边形
C．正六边形和正三角形
2.试画出用正三角形和正六边形铺满地面，但与图9.3.3不同的图形.
3.在一个城市的地图上，4个区的轮廓都是三角形形状.如果每个区与其他3个区都有公共边界，各区彼此的位置怎样？
请画出示意图.
阅读材料
多姿多彩的图案
我们已经看到了用正多边形拼成的各种图案，实际上，有许多图案往往是不规则的基本图形拼成的，如图
（1）和图
（2）.
图（3）和图（4）分别说明了相应的图案是如何由基本图形拼成的.
你玩过哪些拼图？
你自己有设计出一幅拼图吗？
小 结
一、知识结构
二、概述
1.体验三角形的外角性质、三角形的外角和、三角形的三边关系、多边形
的内角和与多边形的外角和的探索过程.
2.理解某些正多边形能够铺满地面的道理.
3.欣赏丰富多彩的图案.
复 习 题
A组
1.判断题（对的填“√”，错的填“╳”）：
（1）三角形中至少有两个锐角.（ ）
（2）钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和.（ ）
（3）锐角三角形的三个内角都是锐角.（ ）
（4）钝角三角形的三个内角都是钝角.（ ）
（5）直角三角形的两个锐角互为余角.（ ）
2.已知两条线段a、b，其长度分别为2.5cm 与3.5cm.另有长度分别为1cm、3cm、5cm、7cm、9cm的5条线段，其中能够与线段a、b一起组成三角形的有哪几条？
3.如图，按规定，一块模板中AB、CD的延长线应相交成85°角.因交点不在板上，不便测量，工人师傅边结AC，测得∠BAC＝32°，∠DCA＝65°，此时AB、CD的延长线相交所成的角是不是符合规定？
为什么？
4.如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，∠1＝30°.求∠2、∠B与∠A的度数.
5.求下列多边形的内角和的度数：
（1）五边形；
（2）八边形； （3）十二边形.
6.已知多边形的内角和的度数分别如下，求相应的多边形的边数：
（1）900°；
（2）1980°； （3）2700°.
7.已知在一个十边形中，九个内角的和的度数是1290°，求这个十边形的另一个内角的度数.
8.正八边形的每一个外角是多少度？
9.如果一个正多边形的每个外角是24°，那么这个多边形有多少条边？
B组
10.选择题：
（1）在三角形的三个外角中，锐角最多只有（ ）.
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
（2）（n＋1）边形的内角和比n边形的内角和大（ ）.
A．180° B．360°
C．n·180° D．n·360°
（3）若三角形三个内角的比为1:
2:
3，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
11.在△ABC中，AC＝12cm，AB=8cm，那么BC的最大长度应小于多少？
最小的长度应满足什么条件呢？
12.在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的
，求这个多边形的每一个内角的度数和它的边数.
C组
13.如图，已知DC是△ABC中∠ACB的外角平分线，说明为什么∠BAC＞∠B.
14.在本书第61页练习的第2题中，至少应当去掉多少个点，才能使得留下的任何三点都不能组成一个正三角形？
15.试以“瓷砖中的数学”为题写一篇小论文.
课题学习
图形的镶嵌
我们已经看到不少平面图形可以铺满地面，实际情况还有许多.现在请你参与下面的探索活动.
（1）收集生活中用平面图形铺满地面的实例，看谁收集得多.
（2）想一想，为什么用一种正多边形铺满地面时只有正三角形、正方形和
正六边形的三种.
（3）用任意一种四边形能铺满地面吗？
如果能的话，试画出草图，说说你
的想法.
（4）设计一幅用平面图形铺满地面的美丽图案，与你的小伙伴比一比，看
看谁设计得更有新意.
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